数列的极限知识点方法技巧例题附答案和作业题.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -数列的极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、学问要点1 数列极限的定义：一般的，假如当项数n 无限增大时，无穷数列 an 的项an 无限趋近于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结某 个 常 数 a （ 即 |an a|无 限 的 接 近 于0 ）， 那 么 就 说 数 列 an 以 a 为 极 限 记 作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nl i mana （ 注：

2、a 不肯定是 an中的项 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 几个重要极限：1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） limnn0 （ 2） lim CnC （ C是常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） lim a n n0a11,a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不存在，a1,或a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0ss1（ 4） lima n t1a nt 10at 1nata0st st 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bnn0b1 nbs 1nbsb0可编辑资料 - - - 欢

3、迎下载精品名师归纳总结3.数列极限的运算法就:不存在st 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如 lim a n nA, lim bnnB, 那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nlim anbn AB limna nbn AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim ann.bn A.Blim an nbnA B0 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4无穷等比数列的各项和公比的肯定值小于1 的无穷等比数列前n 项的和， 当 n 无限增大时的极限，叫做这个可编辑资料 - - - 欢迎下载

4、精品名师归纳总结无穷等比数列各项的和，记做Slim Snn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n Slim Sna1,0| q |11q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、方法与技巧只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限.运用数列极限的运算法就求数列极限应留意法就适应的前提条件.（参加运算的数列都有极限，运算法就适应有限个数列情形）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求数列极限最终往往转化为1mN nm或qnq1 型的极限 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载

5、精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -求极限的常用方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分子、分母同时除以nm 或 an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用已知数列极限（如nlim qn0 q1 , lim 1nn0等） .可编辑资料 - - - 欢

6、迎下载精品名师归纳总结含参数问题应对参数进行分类争论求极限. ,0 0, 0 等形式，必需先化简成可求极限的类型再用四就运算求极限0题型讲解例 1 求以下式子的极限：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 n3n 22n12n12n2n7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 lim。 lim2nnnn1。 lim2nn1。 lim2;n5n7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） lim （n 2nn n） ;（ 3）2lim （2 nn4+n 22n ）n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

7、结例 2 lim annA, lim bnnB是 limanbnnAB 的（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 充分必要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分又不必要条件ana1a2an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3数列 a n 和b n 都是公差不为0 的等差数列，且lim=3,求nbnlim的nnb2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn例4求 lim aa（ a0;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结na na n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

8、师归纳总结例5已知lim n1anb2nn11 ,求实数 a,b 的值 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例6已知等比数列 an 的首项为a1,公比为 q,且有lim （na1 qn ）=1q1 , 求 a12的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - -

9、- - - - - -例 7已知数列 an是由正数构成的数列，a13，且满意lgan lgan 1lg c，其中 n 是大于 1 的整数， c 是正数（ 1）求数列 an的通项公式及前n 和 Sn。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）求limn2n 12 nanan 1的值数列极限课后检测可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 以下极限正确的个数是（）12n3n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 limnn=0（ 0） limnnq =0 limn n2n = 13lim C=C（ C 为常数）n可编

10、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 2B 3C 4D 都不正确3 以下四个命题中正确选项（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 如 lim a2 A2，就lim a AB 如 a0，lim a A，就 A0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnnn nnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C 如 lim an A，就nlim an2 A2D 如lim （an b） 0，就nlim annlim bnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n3 n2n5 如数列 an 的通项公式是an=1 n 3 n22 n ,n=1,2,就 l

11、im （ a1+a2+an）n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等于（）A11B2417C2419D 252424可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6 数列 an 中, a 的极限存在， a1= 1 ,an+an+1=6,n N*, 就lim （ a1+a2+an）等于（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 2 B5n2 C 1 D47425n255n 1nn22n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7 limn12=lim nn2n23 = 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

12、lim n（ 11 ）（11 ）（1 1 ）（ 11） =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n345ancn2bn 2can2c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8 已知 a、b、c 是实常数，且limnbn=2,climncn 2=3, 就blimncn2的值是（）a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9 an 中 a1=3，且对任意大于1 的正整数n,点（an ,an 1）在直线x y3 =0 上，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anlim2 = nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10 等比数列 an 公比 q=

13、1 ,且2lim （ a1+a3+a5+a2n 1）= n8 , 就 a1 = 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -11 已知数列 an满意（ n 1）an+1=（ n+1 ）（an1）且 a2=6,设 bn=an+n（ nN * ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）求 bn 的通项公式。 （ 2）求1lim （nb2+1

14、2 b3+12b4+12bn）的值2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12 已知 an 、 bn 都是无穷等差数列,其中 a1=3, b1=2, b2 是 a2 与 a3 的等差中项 ,且limnan = 1 ,bn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求极限lim（n1a1b11+a2b2+1）的值an bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题解析答案例 1 分析：1nn的分子有界，分可以无限增大，因此极限为0。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

15、总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3n 22nn 211的分子次数等于分母次数，极限为两首项最高项 系数之比。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 lim2nnn 21的分子次数小于于分母次数，极限为01n221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13n2n13nn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：lim0 。 lim2lim3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn21n1n11n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 limlim 2n1n21limn

16、n201可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评：分子次数高于分母次数，极限不存在。分析 :（ 4）由于分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法就，可通过变形分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结子分母同除以n2 后再求极限。 （ 5）因n 2n 与 n 都没有极限，可先分子有理化再求极限。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（6）由于极限的运算法就只适用于有限个数列，需先求和再求极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解:（ 1）limn2n 25n 21n72n= lim7n5

17、72n= 275可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）lim（n 2 nn n） =limnnn2n= limnn1= 11112n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）原

18、式 =lim2462n =limnn1 =lim （ 1+ 1 ） =1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn2nn2nnlim 2n 2n7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评：对于（1 ）要防止下面两种错误：原式=n=1, lim可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2n22lim 5n 27nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结+n+7） , lim （5nn+7）不存在，原式无极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于（ 2）要防止显现下面两种错误：lim （n 2 nn n） =limnn2n lim n=n可编辑

19、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 =0;原式 =limnnn lim n=不存在2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于（ 3）要防止显现原式=例 2Blimn22 + lim nn42 + lim nn2n=0+0+0=0 这样的错误n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3数列 a n 和b n 都是公差不为0 的等差数列，且lim an=3,求lim a1a2an 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nbnnnb2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

20、 - 欢迎下载精品名师归纳总结值为解：由12，lim an =3d =3dnbnnann1 d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1a2an121d13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 lim= lim=点评：化归思想可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnb2nnnb12 n1d 2 4d 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn例 4求 lim aana na n（ a0;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a n解： limnnalimnnna=0alimn11a 2na 2n1a 2n11a 2n111a1, a1,

21、0a1.点评：留意分类争论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5已知lim n12nn1anb 1 ,求实数 a,b 的值 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 ： lim 1na n 2ab n n1b1=1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

22、总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1a0aba=1,b= 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6 已知等比数列 an 的首项为 a1,公比为 q,且有limn（a1 qn） =1q1 , 求 a12的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解: lim（na1 qn） = 1 ,1q2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 lim qn 肯定存在 0 |q | 1

23、 或 q=1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 q=1 时，a1 1= 1 , a221=3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 0 |q| 1 时，由lim （na1 qn） =1q1 得a1=2 1q1 ,2a21 1= q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 0 |2a11| 1 0 a1 1 且 a1 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上 ,得 0a11 且 a11 或 a1=32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7 已知数列 an 是由正数构成的数列，a1 3，且满意 lgan lgan 1 lgc，其

24、中 n 是大于1 的整数， c 是正数（ 1）求数列 an的通项公式及前n 和 Sn。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）求limn2n 12 nanan 1的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n解:（ 1）由已知得an an 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 an是以 a1 3，公比为c 的等比数列，就a 3n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 Sn3n 311c n c c1c0且 c1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精

25、品名师归纳总结（ 2）lim2n 1 nan lim2 n 1 n3c n 1 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n2a n 1n23c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 c=2 时，原式当 2 时，原式1 ;4limn2 n 1c2 2 n 1c31;3cc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

26、总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 0 2 时，原式 =lim13 c n 12 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n23c c n 122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评：求数列极限时要留意分类争论思想的应用试卷解析1答案 :B3 解析 : 排除法，取an （） n，排除 A 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取 an1 ，排除。取an bn n，排除 D 答案 :Cn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载

27、精品名师归纳总结3 n5解析 :an=3 n2 n3 n22 n3 n2 n 2 n n为奇数,2 n即 an=3 nn为奇数 , n为偶数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 a 1 n为偶数 , 3 5 2 4 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1+a2+an=（2+2+2+） +（3+3+3+）11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 lim （ a1+a2+an）=2n12 23 213 22+9111149= 19 . 答案 :C24166可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6解析 :2（ a1+a2+an）=a1+（ a1

28、+a2）+（ a2+a3）+（ a3+a4）+（an 1+an）+an=65 + 5 2+ 53 +可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结61+ an 原式 =5 n21 +255115+ lim an = 1 （n21 + 3 +510lim an ）n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a +a6=,lim a+ lim a=0 lim a=0 答案 :C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn+15n 1nn2nn+1nnn12nn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7 解析 :原式 =limnnn2= lim=01n1n222可编辑资料

29、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limnn 22n2n 231= limn2n= 132n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析 : lim n（ 1 1 ）（ 11 ）（ 11 ）（ 11）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n345n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结= lim nn2 3 344 n5n1 = lim2 n2n=2答案 :Cn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8 解析 : 答案 :D由anlimnbnc =2, 得 a=2bc可编辑资料 - - - 欢迎下载

30、精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 limnbn 2cn2c=3,得 b=3 c, c=b1 b 3a =6 climnan2cn2ac= limancc2n= a=6acn 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9 析:由题意得an an 1=3（ n 2） an 是公差为3 的等差数列，a1 =3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an=3 +（ n 1）3 =3 n an=3n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 liman= lim3n22= lim3=3可编辑资料 -