数列知识点总结及题型归纳4.docx

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1、精品名师归纳总结数列一、数列的概念（ 1）数列定义：按肯定次序排列的一列数叫做数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an ,在数列第一个位置的项叫第1 项（或首项）,在其次个位可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结置的叫第 2 项,序号为 n的项叫第 n 项（也叫通项）记作an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列的一般形式：a1 , a2 , a3 ,an ,简记作an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：判定以下各组元素能否构成数列（ 1） a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;2

2、2022年各省参与高考的考生人数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）通项公式的定义：假如数列叫这个数列的通项公式。 an 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如： 1 , 2 , 3 , 4, 5,： 1 1 1 1 1, , , , 2 3 4 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列的通项公式是an =n （ n7, nN ）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列的通项公式是a =1（ nN ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn说明：可编辑资

3、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 an表示数列,an 表示数列中的第 n 项,an =fn 表示数列的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 同一个数列的通项公式的形式不肯定唯独。例如,a = 1n =1,n1,n2k1kZ 。2k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不是每个数列都有通项公式。例如,1, 1.4 , 1.41 , 1.414 ,（ 3）数列的函数特点与图象表示：序号： 123456项： 456789上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看, 数列实质上是定义域为正整数集N （或它的有限子集）的

4、函数f n 当自变量 n 从 1 开头依次取值时对应的一系列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数值f 1, f 2,f 3, ,f n ,通常用an 来代替 fn ,其图象是一群孤立点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：画出数列an2 n1 的图像 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4）数列分类：按数列项数是有限仍是无限分：有穷数列和无穷数列。按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摇摆数列。例：以下的数列,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摇摆数列？（1） 1, 2,3, 4, 5, 6,210, 9, 8,

5、7, 6, 5,3 1, 0, 1, 0, 1, 0,4a, a, a, a, a,S1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）数列 a n 的前 n 项和Sn 与通项a n 的关系： anSnSn 1 n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：已知数列 an 的前 n 项和 sn2n 23 ,求数列 an 的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习：1. 依据数列前 4 项,写出它的通项公式：（ 1）1, 3, 5,7。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22（ 2）2132,

6、3142,41521,。5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）1 1*21,2*3,13*41,。4*5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）9, 99, 999, 9999（ 5）7, 77,777, 7777, 68, 88, 888, 88882可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 数列an中,已知 annn1 nN 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）写出a1, a 2 , a3 , an1 , an2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料

7、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） 792 是否是数列中的项？如是,是第几项？3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3（ 2003 京春理 14,文 15）在某报自测健康状况的报道中,自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观看表中数据的特点,用适当的数填入表中空白（ ）内。4、由前几项猜想通项：依据下面的图形及相应的点数,在空格及括号中分别填上适当图形和数,写出点数的通项公式.（ 1）（ 4）（ 7）（）（）5. 观看以下各图,并阅读下面的文字,像这样,10 条直线相交,交点的个数最多是（）,其通项公式为.A40 个B 45 个C 50 个D 55 个可编辑资料 -

8、- - 欢迎下载精品名师归纳总结2 条 直 线 相交,最多有1个交点3 条 直 线 相交,最多有 3 个交点4 条 直 线 相交,最多有 6 个交点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、等差数列题型一 、等差数列定义：一般的,假如一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个 数 列 就叫 等 差 数 列 , 这 个 常 数 叫 做 等 差 数 列 的公 差 , 公 差 通常 用 字 母 d 表 示 。 用 递 推 公 式 表示 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anan 1d n2 或 an 1and n1 。可编辑资料 - - - 欢迎下

9、载精品名师归纳总结例：等差数列 an2n1 , anan 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型二 、等差数列的通项公式：ana1 n1d 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性： d0 为递增数列,d0 为常数列, d0为递减数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例： 1. 已知等差数列an中, a7a 916, a 41,就 a12 等于（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 15B 30C 31D 64可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. an是首项a11 ,公差

10、d3的等差数列,假如an2005 ,就序号 n 等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ A） 667（ B）668（ C） 669（D） 670可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 等差数列 an“递减数列” ）2 n1, bn2n1 ,就an 为bn 为（填“递增数列”或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型三 、等差中项的概念：定义：假如 a , A, b 成等差数列,那么A 叫做 a 与b 的等差中项。其中Aab2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a , A , b 成等差数列Aab 2即： 2an 1anan 2（ 2anan

11、 man m ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：1（ 06 全国 I ）设 an是公差为正数的等差数列,如 a1a2a315 ,a1a2a380 ,就 a11a12a13（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 120B 105C 90D 75可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 设数列 an是单调递增的等差数列,前三项的和为12,前三项的积为 48,就它的首项是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 1B.2C.4D.8题型四 、等差数列的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）在等差数列（ 2）在等差数

12、列an 中,从第 2 项起,每哪一项它相邻二项的等差中项。an 中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）在等差数列a中,对任意 m , nN , aanmd , danammn 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）在等差数列nnman 中,如 m , n , p , qN 且 mnpq ,就 amnmanapaq 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型五 、等差数列的前 n 和的求和公式： Snna1an na1n n1) d1 n 2（ a1d） n

13、。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 SnAn 2Bn A, B为常数 2222an是等差数列 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结递推公式： Sna1an n 2aman m21 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例： 1. 假如等差数列an中, a3a4a512 ,那么 a1a2.a7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ A）14（ B） 21（ C）28（ D）35可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢

14、迎下载精品名师归纳总结2. （2022 湖南卷文）设Sn 是等差数列an的前 n 项和,已知a23 , a611,就S7 等于 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A13B35C 49D 63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. （2022 全国卷理）设等差数列an的前 n 项和为Sn ,如S972 , 就 a2a4a9 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. （2022 重庆文）（ 2）在等差数列an 中, a1a910 ,就a5 的值为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ A） 5

15、（ B） 6（ C） 8（ D） 105. 如一个等差数列前3 项的和为 34,最终 3 项的和为 146,且全部项的和为390,就这个数列有（）A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 已知等差数列an的前 n 项和为Sn ,如S1221,就 a2a5a 8a11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. （2022 全国卷理）设等差数列an 的前 n 项和为Sn ,如S9a55a3 就S5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8（98 全国）已知数列bn是等差数列

16、, b1=1, b1+b2+b10=100.（）求数列 bn的通项 bn。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 已知an 数列是等差数列,a1010 ,其前 10 项的和S1070 ,就其公差 d 等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 23B. 1C.31D.233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10. （ 2022 陕西卷文）设等差数列an的前 n 项和为sn , 如 a6s312 , 就 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sn11（ 00 全国）设 an为等差数列, Sn

17、为数列 an的前 n 项和,已知 S77, S15 75,Tn 为数列n的前 n 项和,求 Tn。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12. 等差数列an 的前 n 项和记为Sn ,已知a1030, a2050可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求通项an 。如Sn =242,求 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13. 在等差数列 an 中,（ 1）已知 S848, S12168, 求a1和d。（ 2）已知 a610, S55, 求a8和S8 。 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知 a3a1540,求S17可编辑资料 - - - 欢

18、迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型六 . 对于一个等差数列：（ 1）如项数为偶数,设共有2n 项,就 S 偶S 奇nd 。 S奇S偶an。an 1S奇n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）如项数为奇数,设共有2n1项,就 S 奇S 偶ana中 。S偶n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型七 . 对与一个等差数列,Sn , S2nSn , S3nS2n 仍成等差数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例： 1. 等差数列 an 的前 m项和为 30,前 2m

19、项和为 100,就它的前 3m项和为（）A.130B.170C.210D.2602. 一个等差数列前n 项的和为 48,前 2 n 项的和为 60,就前 3 n 项的和为。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 已知等差数列an的前 10 项和为 100,前 100 项和为 10,就前 110 项和为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 设 Sn 为等差数列an的前 n 项和, S414, S10S730,就 S9 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5（

20、06 全国 II ）设 Sn 是等差数列 an的前 n 项和,如S3 1 ,就S63S6 S12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3111A. BCD10389题型八 判定或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1and 常数）（ nN ）an是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中项法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2an 1anan 2（ nN an 是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结通项公式法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anknbk ,b

21、为常数 an 是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结前 n 项和公式法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SAn2Bn A, B为常数 a是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例： 1. 已知数列 an满意 anan 12 ,就数列 an 为 （）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知数列 an的通项为 an2n5 ,就数列 an 为 （）可编辑资料 -

22、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 已知一个数列 an 的前n 项和sn2n 24 ,就数列 an 为（）A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定4. 已知一个数列A. 等差数列 an 的前 n 项和B.等比数列snC.2n 2 ,就数列 a 为（）n既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 已知一个数列 an 满意 an 22 an 1an0 ,就数列 an为（）可编辑资料 - - - 欢迎

23、下载精品名师归纳总结A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 数列 an满意 a1 =8, a42,且 an 22an 1a n0 （ nN ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求数列an 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7（01 天津理, 2）设 Sn 是数列 an 的前 n 项和,且S =n2,就 a 是（）nnA. 等比数列,但不是等差数列B.等差数列,但不是等比数列C.等差数列,而且也是等比数列D.既非等比数列又非等

24、差数列题型九 . 数列最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） a10 , d0 时,Sn 有最大值。a10 , d0 时,Sn 有最小值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） Sn 最值的求法：如已知Sn ,Sn 的最值可求二次函数Snan 2bn 的最值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可用二次函数最值的求法（nN ）。或者求出an 中的正、负分界项,即：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

25、师归纳总结如已知an ,就Sn 最值时 n 的值（ nN ）可如下确定an0或an 10an0。an 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例： 1等差数列an中,a10, S9S12 ,就前项的和最大。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2设等差数列an的前 n 项和为Sn ,已知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a312, S120, S130可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求出公差 d 的范

26、畴,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结指出S1, S2, S12 中哪一个值最大,并说明理由。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*3（ 02 上海）设 an（ n N ）是等差数列, Sn 是其前 n 项的和,且 S5 S6, S6 S7 S8 ,就以下结论错误的是（）A. d 0B. a7 0C.S9 S5D. S6 与 S7 均为 Sn 的最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 已知数列nan 的通项n98 （ n99N ）,就数列an 的前 30 项中最大项和最小项分别是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 已知 an 是等

27、差数列,其中a131 ,公差 d8。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）数列 an从哪一项开头小于0？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）求数列 an 前 n 项和的最大值,并求出对应n 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 已知 an 是各项不为零的等差数列,其中a10 ,公差 d0 ,如S100 , 求数列 an前 n 项和的最大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 在等

28、差数列 an 中,a125 ,S17S9 ,求Sn 的最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型十 . 利用 anS1nSnSn 1 n1求通项2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1. 数列 a 的前 n 项和Sn21 （ 1）试写出数列的前5 项。（ 2）数列 a 是等差数列吗？（ 3）你能写出数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn列 an的通项公式吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可

29、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知数列an的前 n 项和 Snn 24 n1,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nS =2n3. 设数列 a 的前 n 项和为 n2,求数列 an 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 已知数列an中, a13,前 n 和 Sn1 n21an11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证：数列an 是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

30、师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求数列an的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. （ 2022 安徽文）设数列 an 的前 n 项和Sn 2,就a8 的值为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n（ A） 15B 16C49（ D） 64等比数列等比数列定义一般的, 假如一个数列从其次项起 ,每一项与它的前一项的比等于同一个常数 ,那么这个数列就叫做等比数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结列,这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母q 表示 q0 ,即：an 1： a

31、nqq0) 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、递推关系与通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结递推关系：an 1anq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结通项公式： anaqn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1推广： ann mamq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 在等比数列an中, a14, q2 ,就 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 在等比数列an中, a712, q2 , 就

32、a19 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结33. （ 07 重庆文）在等比数列 an 中, a2 8, a1 64,就公比 q 为（）（ A）2（ B）3（ C）4（ D）8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 在等比数列an 中, a22 , a 554 ,就a8 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 在各项都为正数等比数列 an中,首项a13 ,前三项和为21,就 a3a4a5（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 33B 72C 84D 189可编辑资料 - - - 欢迎下载

33、精品名师归纳总结二、等比中项：如三个数a, b, c 成等比数列,就称 b 为 a与c 的等比中项,且为 bac,注： b 2ac 是成等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结比数列的必要而不充分条件.例： 1. 23 和 23 的等比中项为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 A1B1C 1D 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. （ 2022 重庆卷文） 设an 是公差不为 0 的等差数列,a12 且 a1, a3, a6 成等比数列, 就 an的前 n 项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结和 Sn =（）可编辑资料