数值分析总结.docx

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1、精品名师归纳总结第一章 绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差是 的肯定误差,是 的误差, 为 的肯定误差限（或误差限）为的相对误差,当较小时,令相对误差肯定值得上限称为相对误差限记为：即： 肯定误差有量纲,而相对误差无量纲如近似值的肯定误差限为某一位上的半个单位,且该位直到的第一位非零数字共有n 位,就称近似值有 n 位有效数字,或说精确到该位。例：设 x=3.1415926 那么, 就 有效数字为 1位,即个位上的 3,或说精确到个位。科学计数法： 记其中如,就有 n位有效数字,精确到。由有效数字求相对误差限： 设近似值（）有 n 位有效数字, 就其相对误差限为由

2、相对误差限求有效数字： 设近似值（）的相对误差限为为就它有 n 位有效数字（）令、是、的近似值,且、1.x+y 近似值为且（）和的误差（限）等于误差（限）的和2. x-y 近似值为3. xy 近似值为且（）4.1. 防止两相近数相减2. 防止用肯定值很小的数作除数3. 防止大数吃小数4. 尽量削减运算工作量其次章 非线性方程求根1. 逐步搜寻法设 f a 0 ,有根区间为 a,b ,从 x0=a 动身, 按某个预定步长 例如h= b- a/ N 一步一步向右跨,每跨一步进行一次根的搜寻,即判别f xk= f a+kh 的符号, 如 f xk 0 而 f xk -1 0,就有根区间缩小为 xk

3、-1 , xk 如 f xk=0 , xk 即为所求根 ,然后从xk -1 动身,把搜寻步长再缩小,重复上面步骤,直到满意精度：| xk - xk -1 | E 为止,此时取x* xk+xk-1 /2作为近似根。2. 二分法设 f x 的有根区间为 a, b= a0, b0,f a0. 将 a0, b0 对分,中点 x0= a0+b0/2,运算 f x0 。对于给定精度,即, 可得所需步数,3. 比例法一般的,设 ak, bk 为有根区间,过 ak,f ak 、 bk,f bk 作直线,与 x 轴交于一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 xk , 就：1. 试位法每次迭代比二分

4、法多算一次乘法,而且不保证收敛。2. 比例法不是通过使求根区间缩小到0 来求根,而是在肯定条件下直接构造出一个点列（递推公式） ,使该点列收敛到方程的根。 这正是迭代法的基本思想。事先估量 :事后估量局部收敛性判定定理：设为方程的根,在 的某一邻域内连续, 且,就该迭代局部收敛局部收敛性定理对迭代函数的要求较弱,但对初始点要求较高,即初始点必需选在精确解的邻近Steffensen迭代格式：Newton 法：Newton 下山法：是下山因子弦割法：抛物线法：令可化为其中：就：设迭代 xk+1 = g xk收敛到 g x的不动点（根） x*设 ek = xkx* 如, 就称该迭代为p （不小于 1

5、）阶收敛,其中C 不为 0 称为渐进误差常数第三章 解线性方程组直接法列主元 LU 分解法：运算主元,选主元可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结,（,（,即为上式主元,对于 Ax=b,三角分解 A=LU,Doolittle分解： L 为单位下三角矩阵, U为上三角矩阵。 Crout 分解： L 为下三角矩阵, U 为单位上矩阵。可分解为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结,下三角方程组,上三角方程组如利用紧凑格式可化为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结,（）Cholesky平方根法：系数矩阵A 必需对称正定其中,改进 Cholesky 分解法：,。由,

6、逐行相乘,（为削减运算量,令,可改为：,（可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结,等价于其中：追逐法： Ax=dA=LU, 可化为 Ly=d,Ux=y,（,范数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量范数：,范数或欧氏范数,范数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵范数：,列范数,谱范数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结,行范数谱半径 :为特点值 且如 为对称阵就： 收敛条件：谱半径小于1条件数：,第四章 解线性方程组的迭代法Jacobi迭代：基于 Jacobi迭代的 Gauss-Seidel迭代

7、 :迭代收敛：谱半径小于1,范数小于 1 能推出收敛但不能反推可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结逐次超放松迭代（SOR）:或：当=1 时,就是基于 Jacobi迭代的 Gauss-Seidel迭代（加权平均） 。第五章 插值法Lagrange插值法：,就,构造插值函数：,令就：如记：（）就可改为：,就就插值余项：逐次线性插值法 Aitken（埃特金法） ：Newton插值法：Nx=a0+a1x-x0+a2x-x0x-x1+ +anx-x0x-x1 x-xn并满意 Nx=fx差商的函数值表示：差商与导数的关系： 就：等距节点 Newton 插值公式：Newton向前插值：,其中余项

8、：,Newton向后插值： 余项：Hermite插值：,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可得：插值余项：待定系数：三次样条插值： （三弯矩构造法）记对积分两次并满意插值条件,对于附加弯矩约束条件：,对于附加转角边界条件：,对于附加周期性边界条件：,上式保证了 sx 在相邻两点的连续性第六章 函数靠近与曲线拟合主要求法方程第七章 数值积分与数值微分求积公式具有 m次代数精度的充要条件：,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结插值型求积公式求积系数公式：,Newton-Cotes（等分）梯形求积公式（ n=1）,具有 1 次代数收敛精度误差公式：抛物型求积公式（Simps

9、on 求积公式, n=2）,具有 3 次代数收敛精度误差公式（ ）Newton求积公式（ Simpon3/8 法就） 具有 3 次代数收敛精度,Cotes求积公式（ n=4）,具有 5 次收敛精度,误差公式（ ）节点数为奇数时,代数精度为n; 为偶数时,代数精度为n+1。代数精度都是奇数。复化梯形求积公式：截断误差：复化 Simpson 公式： 截断误差：复化 Cotes 求积：截断误差：如一个复化积分公式的误差满意且 C0,就称该公式是p 阶收敛的。复化求积公式（需要2n+1 个求积节点）Romberg求积算法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结复化梯形求积公式：复化 Cote

10、s 求积公式：Gauss型求积公式： 内积公式：截断误差：,（）高斯求积公式代数精度为2n+1Gauss-Legendre求积公式（留意区间（ -1,1 ）,变换可得）：形如：求积系数可通过代数精度或插值型求积公式求积系数公式求出,亦可由下式求得：,截断误差：,（）Gauss-Chebyshev求积公式：形如：求积系数： 必为正 截断误差：,（）Gauss-Laguerre求积公式：形如： 求积系数：,截断误差：,（ ,）Gauss-Hermite求积公式：形如： 求积系数：,截断误差：,（,） 三点数值微分公式：,（可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结泰勒级数绽开：第八章 常微分方程求解Euler法：,为一阶法（ fx,y为 y 的导数） 梯形方法（改进 Euler法）：, 四级四阶经典 Runge-Kutta公式,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Welcome . 欢迎您的下载, 资料仅供参考！可编辑资料 - - - 欢迎下载