文科立体几何知识点方法总结高三复习.docx

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1、精品名师归纳总结立体几何学问点整理一直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行方法二：用面面平行实现。/l /l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结l方法三：用平面法向量实现。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结符号表示：l如 n 为平面的一个法向量, nl 且 l,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 线面相交就 l /。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 面面平行：lA方法一：用线线平行实现。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结符号表示：nll / l 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 线在面内l二平行

2、关系：符号表示：用线面平行实现。lm/ m l , ml , m/且相交且相交/方法二：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.线线平行：方法一：用线面平行实现。lm /ml , ml/且相交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ll /lml / mmm三垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法二：用面面平行实现。llACmlABl可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结l/ACABA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结llmm/ mAC , AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

3、纳总结方法三：用线面垂直实现。方法二：用面面垂直实现。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 l, m,就 l / m 。ml可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法四：用向量方法：l如向量 l 和向量 m 共线且 l、m 不重合,就 l / m 。CABl m,l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 线面平行：方法一：用线线平行实现。l / m2. 面面垂直：方法一：用线面垂lC直实现。mAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m l /l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lll(1) 定义： 直线 l 上任取一点 P（交点除

4、外） ,作 PO 于O,连结 AO ,就 AO 为斜线 PA在面 内的射影, PAO 图中 为直线 l 与面 所成的角。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法二：运算所成二面角为直角。P3. 线线垂直：O方法一：用线面垂直实现。A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lllm mm(2) 范畴：0 ,90 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法二：三垂线定理及其逆定理。PPOlOAlPAlAO当0时, l或 l /当90 时, l(3) 求法：方法一：定义法。步骤 1：作出线面角,并证明。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结l步骤 2：解三角形

5、,求出线面角。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法三：用向量方法：如向量 l 和向量 m 的数量积为 0,就 lm 。三夹角问题。一 异面直线所成的角：三二面角及其平面角1定义：在棱 l 上取一点 P,两个半平面内分别作l 的垂线（射线） m、n,就射线 m 和 n 的夹角为二面角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 范畴：0 ,90 l的平面角。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 求法：方法一：定义法。步骤 1：平移,使它们相交,找到夹角。Pn

6、 mPlAOn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结步骤 2：解三角形求出角。 常用到余弦定理 余弦定理：(2) 范畴：(3) 求法：0 ,180 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosac222abc方法一：定义法。步骤 1：作出二面角的平面角三垂线定理 ,并证明。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2abb运算结果可能是其补角方法二：向量法。转化为向量的夹角运算结果可能是其补角：步骤 2：解三角形,求出二面角的平面角。方法二：截面法。步骤 1：如图,如平面POA 同时垂直于平面和,就交线 射线 AP 和

7、AO 的夹角就是二面角。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosAB ACABAC步骤 2：解三角形,求出二面角。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二 线面角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P和等面积法。换点法 A2线面距、面面距均可转化为点面距。O3异面直线之间的距离方法三：坐标法 运算结果可能与二面角互补。方法一：转化为线面距离。mn1n2n如图, m 和 n 为两条异面直线, n且 m /,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结步骤一：运算cosnnn1 n2就异面直线 m 和 n 之间的距离可转化为直线m 与平面可编辑资料 - -

8、- 欢迎下载精品名师归纳总结12n1n2之间的距离。方法二：直接运算公垂线段的长度。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结步骤二： 判定与四距离问题。n1 n2的关系, 可能相等或者互补。方法三：公式法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BaAm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1点面距。方法一：几何法。Pc dnDmbC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如图, AD 是异面直线 m 和 n 的公垂线段,OA就异面直线 m 和 n 之间的距离为：m/ m ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

9、师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结步骤 1：过点 P 作 PO于 O,线段 PO 即为所求。步骤 2：运算线段 PO 的长度。 直接解三角形。等体积法d c 2a 2b 22ab cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AA1CDC1BB1高考题典例考点 1点到平面的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 如图,正三棱柱ABCA1B1C1 的全部棱长都为2 , D 为 CC1 中点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求证：AB1 平面A1BD 。（）求二面角AA1DB 的大

10、小。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求点 C 到平面A1BD 的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解答过程 （）取 BC 中点 O ,连结 AO ABC 为正三角形,AO BC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正三棱柱ABCA1 B1C1 中,平面 ABC 平面BCC1 B1 ,AA1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AO 平面的中点,BCC1B1 连结B1O BD ,B1O ,在正方形AB1 BD BB1C1C 中, O, D 分

11、FCODC1别 为 B C,C 1C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在正方形ABB1 A1 中,AB1 A1B ,AB1 平面A1BD BB1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）设AB1 与A1B 交于点 G ,在平面A1BD 中,作GF A1 D于 F, 连 结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AF ,由（）得AB1 平面A1 BD AF A1 D , AFG 为二面角AA1 DB的平面角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -

12、- - 欢迎下载精品名师归纳总结在 AA1 D 中,由等面积法可求得AF4 5 ,5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 AG1AB12 ,sinAFGAG210 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2AF4 545可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以二面角AA1DB 的大小为arcsin10 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（） A1BD 中,BDA1D5,A1 B22,S A1 BD6 , S BCD1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在正三棱柱中,A1 到平面BCC1B1 的距离为3 可编辑资料 - - - 欢迎

13、下载精品名师归纳总结设点 C 到平面A1 BD 的距离为 d 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由VA BCDVC A BD ,得 1 S31 Sd ,3S BCD2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11 BCD33 A1BDdS A1BD2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1点 C 到平面 A BD 的距离为2 2考点 2异面直线的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 已知三棱锥 SABC ,底面是边长为42 的正三角形,棱SC 的长为 2,且垂直于底面 . E、D 分别可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为 BC

14、、AB的中点,求 CD 与 SE 间的距离 .解答过程 ： 如下列图,取 BD 的中点 F,连结 EF , SF,CF ,EF 为 BCD 的中位线,EF CD ,CD 面 SEF ,CD到平面 SEF 的距离即为两异面直线间的距离. 又线面之间的距离可转化为线 CD 上一点 C 到平面 SEF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的距离,设其为 h,由题意知, BC14 2 ,D 、E、F 分别是 AB 、BC 、BD 的中点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CD26, EFCD26 , DF2, SC2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -

15、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结VS CEF11EFDFSC116 323222233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 RtSCE中, SESC2CE 22 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 RtSCF 中, SFSC2CF 2424230可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又EF6,SSEF3由于 VCSEFVS CEF1S SEF3h ,即 13 h32323,解得 h33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 CD 与 SE 间的距离为 23 .3考点 3直线到平面的距离可编辑

16、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3 如图,在棱长为 2 的正方体AC1 中, G 是AA1 的中点,求 BD 到平面GB1D1 的距离 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路启发 ：把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解.D1CO11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解答过程 ：解析一BD 平面GB1D1 ,A1B1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BD 上任意一点到平面GB1D1 的距离皆为所求,以下求HG可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 O 平面B1D1GB1D1 的距离 ,A1C1 , B1D1A1

17、 A,B1D1DCO平面 A1 ACC1 ,AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又B1D1平面 GB1D1平面 A1ACC1GB1 D1 ,两个平面的交线是O1G ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作 OHO1 G 于 H ,就有 OH平面GB1 D1,即 OH 是 O 点到平面GB1D1 的距离 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 O1OG 中,S O1OG11O1OAO222 .22可编辑资料 -

18、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 S O1OG1 OH 21O1G23 OH2 ,OH26 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 BD 到平面GB1D126的距离等于.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析二BD 平面GB1D1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BD 上任意一点到平面GB1D1 的距离皆为所求,以下求点B 平面GB1D1 的距离 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编

19、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设点 B 到平面GB1D1 的距离为 h,将它视为三棱锥BGB1D1 的高,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结VB GB1D1VD1GBB1,由于SGB 1D112236,2V D1 GBB1112224,323可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结h42 6 ,63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 BD 到平面GB1D126的距离等于.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小结 ：当直线与平面平行时, 直线上的每一点到平面的距离都相等,都是线面距

20、离 .所以求线面距离关键是选准恰当的点, 转化为点面距离 .本例解析一是依据选出的点直接作出距离。解析二是等体积法求出点面距离.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考点 4异面直线所成的角例 4 如图,在 RtAOB 中,OAB,斜边 AB64 Rt AOC可以通过 Rt AOB 以直线 AO 为轴旋转可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得到,且二面角 BAOC 的直二面角D 是 AB 的中点（ I）求证：平面 COD平面 AOB。（ II）求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小解答过程 ：（ I）由题意, COAO ,

21、 BOAO , BOC 是二面角 BAOC 是直二面角,COBO ,又AOBOO,CO平面 AOB,又 CO平面 COD 平面 COD平面 AOB（ II）作 DEOB ,垂足为 E ,连结 CE （如图）,就 DE AO ,CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角ADzOEB AC2D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 RtCOE 中, COBO2 , OE1 BO1 ,22CECOOE5 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 DE1 AO3 在 RtCDE 中,

22、tanCDECE515 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为arctanDE33OBy15 xC3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小结 ： 求异面直线所成的角经常先作出所成角的平面图形,作法有：平移法：在异面直线中的一条直线上挑选“特殊点” ,作另一条直线的平行线,如解析一,或利用中位线,如解析二。补形法：把空间图形补成熟识的几何体,其目的在于简单发觉两条异面直线间的关系,如解析三 .一般来说, 平移法是最常可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用的,应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特殊留意异面直线所成的

23、角的范畴：考点 5直线和平面所成的角例 5 . 四棱锥 SABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, 侧面 SBC底面 ABCD 已知 ABC0,.245 ,AB2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BC22 ,SASB3 S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）证明 SABC 。（）求直线 SD 与平面 SAB所成角的大小解答过程：（） 作 SO BC ,垂足为 O ,连结 AO ,由侧面 SBC DAB,得 SO 底面 ABCD 由于 SASB,所以 AOBO ,

24、CB底面AS可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 ABC45, 故A O B为 等 腰 直 角 三 角 形 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AO BO,由三垂线定理,得SA BC （）由（）知SA BC ,依题设 AD BC ,DCOBA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 SA AD ,由ADBC2 2 ,SA3 ,AO2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 SO1 , SD11 SA

25、B的面积 S11 ABSA221 AB2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结连结 DB ,得DAB 的面积 S21 AB AD222sin1352可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 D 到平面 SAB的距离为 h ,由于VD SABVS ABD ,得 1 h S1 SO S ,解得 h2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 SD 与平面 SAB所成角为,就sinh222 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以,直线 SD与平面 SBC所成的我为SDarcsin111122 11可

26、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小结 ：求直线与平面所成的角时,应留意的问题是（1 ）先判定直线和平面的位置关系。（ 2）当直线和平面斜交时,常用以下步骤：构造作出斜线与射影所成的角,证明论证作出的角为所求的角,运算常用解三角形的方法求角,结论点明直线和平面所成的角的值.考点 6二面角例 6 如图,已知直二面角PQ, APQ , B, C, CACB ,C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BAP45 ,直线 CA 和平面所成的角为 30 （ I）证明 BC PQPAQ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ II）求二面角 BACP 的大小B可编辑资料 -

27、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结过程指引 ：（ I）在平面内过点 C 作 CO PQ 于点 O ,连结 OB CHPAQBO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于,PQ ,所以 CO , 又由于 CACB ,所以 OAOB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而BAO45 ,所以ABO45 ,AOB90 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而 BO PQ ,又 CO PQ ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 PQ 平面 OBC 由于 BC平面 OBC ,故 PQ BC （ II）由（

28、 I）知, BO PQ ,又 ,PQ ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BO,所以 BO 过点 O 作 OH AC 于点 H ,连结 BH ,由三垂线定理知,BH AC 故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BHO 是二面角 BACP 的平面角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由（ I）知, CO ,所以CAO 是 CA 和平面所成的角,就CAO30 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不妨设 AC2 ,就 AO3 , OHAO sin 303 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

29、总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 RtOAB 中 ,ABOBAO45, 所 以B OA O3 , 于 是 在 Rt BOH中 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结t a n BHOBO3OH322故二面角 BACP 的大小为 arctan2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小结 ：此题是一个无棱二面角的求解问题. 解法一是确定二面角的棱,进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：由二面角两个面内的两条相交直线确定棱,由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱,补形构造几何体发觉棱。解

30、法二就是利用平面对量运算的方法,这也是解决无棱二面角的一种常用方法,即当二面角的平面角不易作出时,可由平面对量运算的方法求出二面角的大小.考点 7利用空间向量求空间距离和角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7 如图,已知ABCDA1B1C1D1 是棱长为 3的正方体,D1A11CB1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 E 在 AA 上,点 F 在 CC 上,且AEFC1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1（ 1）求证：11FEE, B, F, D1 四点共面。M2DA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）如点 G 在 BC 上

31、, BG,点 M 在 BB1 上, GM BF ,3CH垂 足 为GB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结H ,求证： EM 平面 BCC1B1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）用表示截面EBFD 1 和侧面BCC1B1所成的锐二面角的大小,求tan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结过程指引 ：（ 1 ）如图,在DD1上取点 N ,使 DN1,连结 EN , CN ,D1A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 AEDN1 , CFND12 B1C1可编辑资料 - - - 欢迎下载精

32、品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 AE DN , ND1 CF,所以四边形 ADNE , CFD 1N 都为平行四FNE M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结边形从而 EN AD ,FD1 CN DAH可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于 AD BC,所以 EN BC,故四边形 BCNE 是平行四边形,由此CGB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推知 CN BE ,从而FD1 BE因此,E, B, F, D1 四点共面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可

33、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）如图, GM BF ,又 BM BC ,所以BGMCFB ,BC23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BMBG tan BGMBGtanCFBBG1 CF32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 AE BM ,所以 ABME 为平行四边形,从而AB EM 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 AB 平面BCC1B1 ,所以 EM 平面BCC1B1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）如图,连结 EH 由于 MH BF,EM BF,所以 BF 平面 EMH ,得 EHBF于是 EHM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结