新人教版九级数学上册第章一元二次方程导学案.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第 21 章 一元二次方程教材内容1本单元教学的主要内容。概念。解一元二次方程的方法。一元二次方程应用题2本单元在教材中的位置与作用一元二次方程是在学习一元一次方程、二元一次方程 、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法学好一元二次方程是学好二次函数不行或缺的，是学好高中数学的奠基工程应当说，一元二次方程是本书的重点内容教学目标1学问与技能明白一元二次方程及有关概念。把握通过配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程。把握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法。应用娴熟把握以上学问解决

2、问题2过程与方法（ 1）通过丰富的实例，让同学合作探讨，老师点评分析，建立数学模型.依据数学模型恰如其分的给出一元二次方程的概念（ 2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等（ 3）通过把握缺一次项的一元二次方程的解法直接开方法，.导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程2（ 4）通过用已学的配方法解ax +bx+c=0（a 0）导出解一元二次方程的求根公式，接着争论求根公222式的条件： b -4ac0 ，b -4ac=0 ，b -4ac0 ，即（ m-4） 2+1 0不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程【练习】 2712四、自主总结

3、拓展新知1、a0 是 ax2+bx+c=0 成为一元二次方程的必要条件，否就，方程ax2+bx+c=0 变为 bx+c=0，就不是一元二次方程。2、找一元二次方程中的二次项系数、一次项系数、常数项，应先将方程化为一般形式。五、课堂作业P28 1 2 5 6 7（课堂内外对应练习）教学理念 / 教学反思第 2 课时一元二次方程（2）学习1、会进行简洁的一元二次方程的试解。懂得方程解的概念。目标2、会估算实际问题中方程的解，并懂得方程解的实际意义。学习重点一元二次方程解的探究。学习难点一元二次方程近似解的探究。教学互动设计设计意图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选

4、- - - - - - - - - -第 3 页，共 37 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、自主学习感受新知【问题 1】把方程 3xx 1=2 x+2+8 化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。【问题 2】判定以下方程哪些是一元二次方程？为什么？复习巩固一元二次方程的相关概念。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x2+4x+=0 x2

5、+3x 2= x22x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x2 2xy 3=0 a x2 +bx+c=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、自主沟通探究新知【探究 】推测方程x2x560 的解是什么？探究一元二次方程根的概念以及作用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【归纳 】使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解，又叫作一元二次方程的根【问题 3】下面哪些数是方程2x2+10 x+12=0 的根？-4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3，4【分析 】要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可解：

6、将上面的这些数代入后，只有-2 和-3 满意方程的等式，所以x=-2 或x=-3 是一元二次方程2x2+10x+12=0 的两根【问题 4】仔细观看以下方程的结构形式，试写出以下方程的根，并说出你的理由。 x2-16=0 x+3 x-2=0 x-22=49 x2-2x+1=25【分析 】要求出方程的根，就是要求出满意等式的数，可用直接观看结合平方根或两个数的积为0 的意义来摸索解题解： x2-16=0 x+3 x-2=0 x2=16 x+3=0 或 x-2=0 x=4 x=-3 或 x=2 x-2 2=49 x2-2x+1=25 x-2= 7 x-12=25 x=9 或 x=-5 x-1= 5

7、 x=6 或 x=-4进一步巩固方程的根的含义 方程的根可以起到检验的作用检验一个数是否是方程的根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、自主应用巩固新知【例 1】如 x 2 是方程ax24 x50 的一个根，你能求出a 的值吗？方程的根的另一个作用代入可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【分析 】依据根的定义可以知道，如一个数是方程的根，那么把这个数代入方程后，等号必定成立，于是可以构造出关于a 的一元一次方程，进而解即可方 程 使 等 号 成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： x2 是方程ax24x

8、50 的一个根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 4a850 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 37 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解之得：3a4+bx+c=0 a 0的一个根，求【例 2】如 x=1 是关于 x 的一元二次方程ax2代数式 2007a+b+c的值。【分析 】假如一个数是方程的根，那么把该数代入方程肯定能使左右两边相等，这种解决问题的思维方法常

9、常用到，同学们要深刻懂得。解： x=1 是关于 x 的一元二次方程ax2+bx+c=0a 0的根 a+b+c=0 2007a+b+c=0【练习】 2812四、自主总结拓展新知1、一元二次方程根的概念。2、要会判定一个数是否是一元二次方程的根。3、要会用一些方法求一元二次方程的根五、课堂作业P28 3 4 8（课堂内外对应练习）【补充练习 】1、方程 x（ x-1） =2 的两根为【】A x1=0， x2=1B x1=0， x2= -1C x1=1， x2=2D x1=-1 ， x2=222、方程 x -81=0 的两个根分别是x1= ， x2= 3、已知方程5x2+mx-6=0 的一个根是x=

10、3，就 m 的值为 4、如一元二次方程ax2 +bx+c=0a 0有一个根为1，就 a+b+c=。如有一个根是-1， 就 b 与 a、c 之间的关系为。如有一个根为0，就 c=。5、假如 x=1 是方程 ax2+bx+3=0 的一个根，求（a-b） 2+4ab 的值教学理念 / 教学反思第 3 课时解一元二次方程配方法（1）学习1、使同学会用直接开平方法解一元二次方程。目标2、渗透转化思想，把握一些转化的技能。学习重点把握直接开平方法解一元二次方程。学习难点敏捷运用直接开平方法解一元二次方程。教学互动设计设计意图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、自主学习感受新知【问题 1】一

11、桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶漆恰好刷 完 10 个同样的正方体外形的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？创设问题情境，激发同学爱好，引出本节内容列出方程后，让可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 37 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设正方体的棱长为xdm，就一个

12、正方体的表面积为6x2dm2，依据一桶油漆可刷的面积列出方程：106x2=1500由此可得： x2=25依据平方根的意义，得x= 5即 x1=5， x2=-5可以验证5 和-5 是方程的两根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为 5dm。二、自主沟通探究新知【探究 】对比问题1 解方程的过程，你认为应当怎样解方程2x-12 =5 及方程 x2+6 x+9=4.方程 2x-12=5 左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，依据平方根同学争论方程的解法，由于所列出的方程形式比较简洁，可以运用平方根的定义（即开平方法） 来 求 出 方 程 的解勉励同学独立解决问题，在解决问题的过程中体会解简洁的一元

13、二次方程的思想可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的 意 义 ， 可 将 方 程 变 形 为 2x15 ， 即 将 方 程 变 为 2x15 和“降次”把可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x15 两 个 一 元 一 次 方 程 ， 从 而 得 到 方 程 2x-1 2=5的 两 个 解 为二次降为一次，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x1=515， x2=。22进而解一元一次方程即可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元

14、一次方程，这样问题就简洁解决了。方程 x2+6 x+9=4 的左边是完全平方式，这个方程可以化成 x+ 3 2=4，进行降次，得到x+3=2 ，方程的根为x1= -1 ， x2= -5 。【归纳 】在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即，假如方程能化成x2p 或 mxn2p p0 的形式，那么可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xp 或 mxnp 三、自主应用巩固新知【例 1】解以下方程： 2y2=82 x-82=50帮忙同学把握并巩固一元二次方程的解法，同时

15、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2 x-12+4=0 4x2-4x+1=0【 分 析 】 引 导 学 生 观 察 以 上 各 个 方 程 能 否 化 成x2p 或通过老师规范的板书引导同学不仅要会解方程仍可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 mxn 2p p0 的形式，如能，就可运用直接开平方法解。要留意正确的解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 2y2=8 2x-82=50题格式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2y =4x-82=25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y=2x-8= 5 y1=2， y2=-2x-

16、8=5 或 x-8=-5x1 = 13， x2= -3 2 x-12+4=0 4x2-4x+1=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 x-122=-402 x-1 =0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原方程无解2 x-1=01 x1= x2=2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 37 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载

17、精品名师归纳总结【例 2】 市区内有一块边长为15 米的正方形绿的，经城市规划，需扩大绿化面积，估计规划后的正方形绿的面积将达到300 平方米，这块绿的的边长增加了多少米？（结果保留一位小数）解：设这块绿的的边长增加了x 米。依据题意可列方程：（ 15+x） 2=30015+x= 103即 15+ x=103 或 15+ x=- 103 x1=-15+103 2.3， x1=-15-103 负根不合题意，舍去答：这这块绿的的边长增加了2.3 米。【例 3】市政府方案2 年内将人均住房面积由现在的10m2 提高到 14.4m2，求每年人均住房面积增长率【分析 】设每年人均住房面积增长率为x一年后

18、人均住房面积就应当是 10+.10x=10 （ 1+x） m2。二年后人均住房面积就应当是10（1+x） +10（ 1+x） x=10（ 1+ x） 2 m2解：设每年人均住房面积增长率为x，依题意可列方程：210（ 1+ x） =14.4（ 1+x） 2=1.441+x= 1.2即 1+x=1.2 或 1+ x=-1.2 x1=0.2=20% ， x2= -2.2 负根不合题意，舍去答：每年人均住房面积增长率应为20%【练习】 311强调所求未知数的值要使实际问题有意义，让同学能进行根的取舍。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、自主总结拓展新知1、用直接开平方解一元二次方程。

19、2、懂得“降次”思想。3、懂得x2=p 或mx+n2=pp0为什么 p 0？五、课堂作业P42 1（课堂内外对应练习）教学理念 / 教学反思第 4 课时解一元二次方程配方法（2）1、会用配方法解数字系数的一元二次方程。学习2、把握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程。目标3、渗透转化思想，把握一些转化的技能学习重点把握配方法解一元二次方程。学习难点把一元二次方程转化为形如（x-a） 2=b 的过程。教学互动设计设计意图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、自主学习感受新知【问题 1】填空（ 1） x2-8x+_16 = （ x-_4_）2 。（2） 9x2+12x+_4

20、=（ 3x+_2_） 2。 2熟 悉 完 全 平 方式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） x2+px+p=（ x+2p ） 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【问题 2】如 4x2-mx+9 是一个完全平方式，那么m 的值是 12。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 37 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精

21、品名师归纳总结【问题 3】要使一块矩形场的的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场的的长和宽分别是多少？设场的的宽为x m，就长为（ x 6） m，依据矩形面积为16 m2，得到方程 x（ x 6） 16，整理得到x2+6x 16 0。实例引入，发觉问题。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、自主沟通探究新知+6 x+9=2 ，可以发觉方程x【探究 】怎样解方程x2+6x-16=0 ？ 对比这个方程与前面争论过的方程x22+6x+9=2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，

22、可以直接降次解方程。而方程 x2+6 x-16=0 不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？解：移项得： x2+6x=16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两边都加上9 即 6 22，使左边配成x2+bx+b2 的形式，得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2+6x+9=16+9左边写成平方形式，得： x+3 2=25开平方，得：x+3= 5（降次）即 x+3=5 或 x+3= -5解一次方程，得：x1=2 ，x2=-8【归纳 】通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法。配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为

23、两个一元一次方程 三、自主应用巩固新知【例 1】用配方法 解以下方程： x222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结-8x+1=0x -4x+1=09x+6x-3=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【分析 】明显这两个方程的左边不是一个完全平方式，因此， 要按前面的方法化为完全平方式。解： x2-8x+1=0 x2-4x+1=0 9x2 +6x-3=0移项得：移项得：移项得：在同学解决问题的过程中，适时让同学争论解决可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x -8x= -1x -4x= -19x+6x=3

24、遇到的问题（比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结配方得：配方得：配方得：x2-8x+ 16= -1 + 16x2-4x+4= -1+49x2+6 x+1=3+1即 x-42=15即x-2 2=3即3x+12=4两边开平方得：两边开平方得：两边开平方得：x-4=15x-2=33x+1= 2 x1=415 ， x1=23 x1= 1 ，3x2=415x2=2-3x2= -1【例 2】 如图，在RtACB 中， C=90 ， AC=8 m， CB=6 m，点 P、 Q同时由 A ， B.两点动身分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都 是 1m/s， .几秒后 PCQ.的

25、面积为Rt ACB 面积的一半如遇到二次项系 数不是1 的情形该如何处理） ，然后分析归纳利用 配方法解方程时 应 该 遵 循 的 步骤。应用提高、拓展创新，培育同学应用意识可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 37 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【分析 】设 x 秒后 PCQ 的面积为Rt ABC面积的一半，PCQ 也是直角三角形

26、.依据已A知列出等式P解：设 x 秒后 PCQ 的面积为Rt ACB 面积的一半依据题可列方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 （ 8-x）（ 6-x） = 1 221 8 62CQB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即： x2-14x+24=0（ x-7） 2=25x-7= 5 x1=12 ， x2=2x1=12 ， x2=2 都是原方程的根，但x1=12 不合题意，舍去答： 2 秒后 PCQ 的面积为Rt ACB 面积的一半【练习】 3412（ 12）四、自主总结拓展新知左边不是含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非

27、负数，可以直接降次解方程的方程五、课堂作业P42 2 3（ 1 2 ） （课堂内外对应练习）教学理念 / 教学反思第 5 课时解一元二次方程配方法（3）1、使同学进一步会用配方法解数字系数的一元二次方程。学习2、使同学把握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程。目标3、渗透转化思想，把握一些转化的技能。学习重点把握配方法解一元二次方程。=b 的过程。学习难点把一元二次方程转化为形如（x-a） 2教学互动设计设计意图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、自主学习感受新知【问题 1】填上适当的数，使以下各式成立，并总结其中的规律。 x2+ 6x+=x+32x2+8x+=x+2复

28、习相关内容，实行学问储备。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x2-12x+=x-2x 2- 25x+= x-2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a2+2ab+= a+2 a2-2ab+= a-2【问题 2】解以下方程： x2-4x+7=0 2x2-8x+1=0复习基本方法，逐步加深难度。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 37 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、自主沟通探究新知【探究 】利用配方法解以下方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？ 3x 6x + 4 = 0。 2x22+1=3 x2 x-1 x+3=5 【归纳 】利用配方法解方程时应当遵循的步骤：（ 1）把方程化为一般形式a