新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结.docx

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1、精品名师归纳总结推理与证明学问归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结合情推理推理推演绎推理理与证明直接证明证明间接证明归纳推理类比推理综合法分析法数 学 归 纳反证法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第一部分合情推理学习目标：明白合情推理的含义（易混点）懂得归纳推理和类比推理的含义,并能运用它进行简洁的推理（重点、难点） 明白合情推理在数学进展中的作用（难点）一、学问归纳：合情推理可分为归纳推理和类比推理两类： 归纳推理 :1. 归纳推理 : 由某类事物的部分对象具有某些特点,推出该类事物的全部对象具有这些特点的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳

2、推理. 简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.2. 归纳推理的一般步骤:第一步,通过观看个别情形发觉某些相同的性质;其次步,从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）.摸索探究 :1. 归纳推理的结论肯定正确吗.2. 统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估量总体,是否属归纳推理.题型 1用归纳推理发觉规律1、观看：7152 11 。 5.516.52 11 。331932 11 。 . 对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于任意正实数a, b ,试写出访a b211 成立的一个条件可以是 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点拨：前面所列式

3、子的共同特点特点是被开方数之和为22,故 a2、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似的看作是一个正六边形,如图为一组蜂 巢的截面图 .其中第一个图有 1 个蜂巢,其次个图有 7 个蜂巢,第三个图有19 个蜂巢,按此规律,以b 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f n 表示第 n 幅图的蜂巢总数 . 就f 4=;f n =.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解题思路】找出f nf n1 的关系式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 解析 f 11, f 216,f 31612,f 416

4、121837可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f n1612186n13n 23n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结总结：处理“递推型”问题的方法之一是查找相邻两组数据的关系类比推理1. 类比推理 : 由两类对象具有某些类似特点和其中一类对象的某些已知特点,推出另一类对象也具有这些特点的推理. 简言之,类比推理是由特别到特别的推理.2. 类比推理的一般步骤:第一步：找出两类对象之间可以准确表述的相像特点。其次步：用一类对象的已知特点去估量另一类对象的特点,从而得出一个猜想.摸索探究 :1. 类比推理的结论能作为定理应

5、用吗.2.1圆有切线, 切线与圆只交于一点,切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何类比到球体.2 平面内不共线的三点确定一个圆. 由此结论如何类比得到空间的结论.题型 2用类比推理猜想新的命题 例 已知正三角形内切圆的半径是高的1 ,把这个结论推广到空间正四周体,类似的结论3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是.【解题思路】从方法的类比入手 解析 原问题的解法为等面积法,即S1 ah231 ar 2r1 h ,类比问题的解法应为3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等体积法,V1 Sh341 Sr 3r1 h 即正四周

6、体的内切球的半径是高144可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结总结：（ 1）不仅要留意形式的类比,仍要留意方法的类比（2）类比推理常见的情形有：平面对空间类比。低维向高维类比。等差数列与等比数列类比。实数集的性质向复数集的性质类比。圆锥曲线间的类比等合情推理1. 定义 : 归纳推理和类比推理都有是依据已有的事实,经过观看、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理. 简言之,合情推理就是合乎情理的推理 .2. 推理的过程 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从 具 体 问 题 动身观看、分析、 比较、联想归纳、类比提出猜想可编辑资

7、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结摸索探究 :1. 归纳推理与类比推理有何区分与联系. 1）归纳推理是由部分到整体,从特别到一般的推理。通常归纳的个体数目越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题也会越牢靠,它是一种发觉一般性规律的重要方法。 2）类比推理是从特别到特别的推理,是查找事物之间的共同或相像性质。类比的性质相像性越多,相像的性质与估量的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越牢靠。其次部分演绎推理学习目标：懂得演绎推理的含义（重点）把握演绎推理的模式,会利用三段论进行简洁推理（重点、难点） 合情推理与演绎推理之间的区分与联系一、学问归纳： 演绎推理的含义 :1. 演绎推理

8、是从一般性的原理动身,推出某个特别情形下的结论.演绎推理又叫规律推理 .2. 演绎推理的特点是由一般到特别的推理.摸索探究 :演绎推理的结论肯定正确吗.演绎推理的模式1. 演绎推理的模式采纳“三段论”:(1) 大前提已知的一般原理M 是 P;(2) 小前提所讨论的特别情形S 是 M;(3) 结论依据一般原理,对特别情形做出的判定S 是 P.2. 从集合的角度看演绎推理:(1) 大前提 :x M且 x 具有性质 P;(2) 小前提： y S 且 SM(3) 结论： y 具有性质 P.演绎推理与合情推理合情推理与演绎推理的关系:(1) 从推理形式上看,归纳是由部分到整体、个别到一般的推理,类比是由

9、特别到特说的推理。演绎推理是由一般到特别的推理.(2) 从推理所得的结论来看,合情推理的结论不肯定正确,有待进一步证明。演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论肯定正确.第三部分直接证明与间接证明学习目标：1、明白直接证明的两种基本方法：分析法和综合法。明白分析法和综合法的摸索过程、特点。2、明白间接证明的一种基本方法反证法。明白反证法的摸索过程、特点。学问归纳：三种证明方法 :综合法、分析法、反证法分析法和综合法是思维方向相反的两种摸索方法。在数学解题中, 分析法是从数学题的待证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结结论或需求问题动身, 一步一步的探究下去, 最

10、终达到题设的已知条件。综合法就是从数学题的已知条件动身, 经过逐步的规律推理, 最终达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说,分析法表现为执果索因,综合法表现为由果导因, 它们是寻求解题思路的两种基本摸索方法,应用非常广泛。反证法：它是一种间接的证明方法. 用这种方法证明一个命题的一般步骤：(1) 假设命题的结论不成立。(2) 依据假设进行推理, 直到推理中导出冲突为止(3) 断言假设不成立(4) 确定原命题的结论成立用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为：1 反设。 2 归谬。 3 结论。重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中,挑选好证明方法并运用三种证明方法

11、分析问题或证明数学命题考点 1综合法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在锐角三角形ABC 中, 求证 :sin Asin BsinCcos AcosBcosC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 解析 ABC 为锐角三角形,ABAB ,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ysin x 在 0,2上是增函数,sin Asin2BcosB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同理可得sin BcosC ,

12、 sin Ccos A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin Asin Bsin Ccos AcosBcosC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考点 2分析法已知 ab0 , 求证abab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 解析 要证abab ,只需证 ab 2ab 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 ab2abab ,只需证 bab ,即证 ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

13、总结明显 ba 成立,因此abab 成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结总结：留意分析法的“格式”是“要证- 只需证 - ”,而不是“由于 -所以 -”考点 3反证法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知 f xaxx2 ax11 ,证明方程f x0 没有负数根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解题思路】“正难就反” ,挑选反证法,因涉及方程的根,可从范畴方面查找冲突可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 解析 假设x0 是f x0 的负数根,就x00 且 x01 且 a x0x02x01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0

14、ax 010x02x011 ,解得 12x02 ,这与 x00 冲突,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故方程f x0 没有负数根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结总结：否定性命题从正面突破往往比较困难,故用反证法比较多第四部分数学归纳法学习目标：1. 明白数学归纳法的原理,懂得数学归纳法的一般步骤。2. 把握数学归纳法证明问题的方法,能用数学归纳法证明一些简洁的数学命题3. 能通过“归纳 - 猜想- 证明”处理问题。学问归纳：数学归纳法的定义：一般的 , 当要证明一个命题对于不小于某正整数N的全部正整数 n 都成立时 , 可以用以下两个步骤 :(1) 证明当 n=

15、n0 时命题成立 ;(2) 假设当 n=k（ . .+ ,且 . .0）时命题成立 , 证明 n=k+1 时命题也成立 .在完成了这两个步骤后, 就可以确定命题对于不小于n0 的全部正整数都成立 . 这种证明方法称为数学归纳法 .1. 数学归纳法的本质：无穷的归纳有限的演绎（递推关系）2. 数学归纳法步骤：（1）（递推奠基） ：当 n 取第一个值 n0 结论正确。*（2）（递推归纳） ：假设当 n=k k N,且 k n0 时结论正确。（归纳假设）证明当 n=k+1 时结论也正确。 （归纳证明）由 1 , 2 可知,命题对于从n0 开头的全部正整数n 都正确。可编辑资料 - - - 欢迎下载精

16、品名师归纳总结 例 1 已知 n 是正偶数,用数学归纳法证明时,如已假设n=k（ k为真,就仍需证明（）A.n=k+1 时命题成立B. n=k+2时命题成立C. n=2k+2时命题成立D. n=2（ k+2 ）时命题成立2 且为偶数）时命题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 解析 因 n 是正偶数, 故只需证等式对全部偶数都成立,因 k 的下一个偶数是k+2,应选 B总结：用数学归纳法证明时,要留意观看几个方面：（ 1）n 的范畴以及递推的起点（2）观可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结察首末两项的次数（或其它） ,确定 n=k 时命题的形式f k （ 3）从f k1

17、 和f k 的差可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结异,查找由 k 到 k+1 递推中,左边要加（乘）上的式子可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2、用数学归纳法证明不等式1 22 3nn11 n212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 解析 （ 1）当 n=1 时,左 =2,右 =2,不等式成立12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）假设当 n=k 时等式成立,即1 22 3kk1k12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就1 22 3kk1 k1k21 k21 2k1k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12k12 k1 k2k222k1 k2k1k221 22 3kk1 k1k21 k21120当 n=k+1 时, 不等式也成立综合（ 1）（2）,等式对全部正整数都成立总结：（ 1）数学归纳法证明命题,格式严谨,必需严格按步骤进行。（2） 归纳递推是证明的难点,应看准“目标”进行变形。（3） 由 k 推导到 k+1 时,有时可以“套”用其它证明方法,如：比较法、分析法等,表现出数学归纳法“敏捷”的一面可编辑资料 - - - 欢迎下载