数学分析中求极限的方法总结.docx

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1、精品名师归纳总结数学分析中求极限的方法总结1 利用极限的四就运算法就和简洁技巧极限的四就运算法就表达如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 1.1 ：假如lim f（ x）=, lim g（ x）=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx 0xx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） limxx0f xg xlimxx 0f xlimxx0g x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）limf （ x）g（ x）= lim f（ xlimg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精

2、品名师归纳总结xx 0xx 0xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）如 B0就：limf xlimxx0f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx0gxlimxx0gx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）lim cf xc limf xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx 0xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5） limxx0nf xlimxx0nf xn （ n 为自然数）可编辑资料 - - -

3、欢迎下载精品名师归纳总结i上述性质对于 x, x, x也同样成立由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。2例 1.求lim x5 的极限x2x3解：由定理中的第三式可以知道可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x25limx25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limx2x2x3limx3x2lim x2lim5x2x2lim xlim3x2x22259可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2.求lim23x12 的极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x3x3解：分子分母同时乘以x12可编辑资料

4、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x12x12x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limlim可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x3x3x3x3x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结l i mx3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x3x3x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式,直接求极限即可x111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n,求x例 3.已知 n1223limn1nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：观看1=111=

5、111=11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1222323n1nn - 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此得到111223n1 n11111112233n1 n1 n11nxn11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 lim xn1lim11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数 fx 在x0 邻近有定义,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yfx0xfx0可编辑资料 - -

6、 - 欢迎下载精品名师归纳总结假如limyx0xlimx0fx0xfx x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结存在,就此极限值就称函数 fx在点即x0 的导数记为f x0。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x0limx0fx0xfx0 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在这种方法的运用过程中, 第一要选好 fx。然后把所求极限都表示成 fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在定点x0 的导数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4.求 limx2ctg2x 的极限可编辑资

7、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx2解： limx2ctg2x11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xxx2limtg 2 xtg 2xtg2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx2 xlim2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2xx2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limfxf21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx2xf 22123利用两个重要极限公式求极限两个极限公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） ） limsin x1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0

8、xx（2） lim11exx但我们常常使用的是它们的变形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） limsinx1,x0,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） lim1x1 e,xx求极限。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例5：lim 112 x x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x01x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：为了利用极限lim 11x xe 故把原式括号内式子拆成两项, 使得第一项为 1,可编辑资料

9、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0其次项和括号外的指数互为倒数进行配平。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim 12 x 1x= lim113 x x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x01x x01x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结= lim11 x 13x3x3x x 1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x01x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例6： lim1=cosxlimx 101x33 x 3 x 1xe31x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

10、归纳总结x0x 2解：将分母变形 后再化成“ 0/0 ”型 所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim1cosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0=limx0x 22 sin2x2x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim 112x x=lim1x02sin2x21 x 222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7:求 x0的极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim 112 x 2x112x 2xe2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 =

11、x0利用这两个重要极限来求函数的极限时要认真观看所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。4利用函数的连续性由于一切初等函数在其定义区间内都是连续的, 所以假如 f x 是初等函数 , 且 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的定义区间内的点 ,就limf xf x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是 f xxx0。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例8：limx1arcsin2 x16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 : 由于复合函数 arcsin

12、是初等函数 , 而 x1 是其定义区间内的点 , 所以极限值就等于该点处的函数值 . 因此可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limx1arcsin2 x16arcsin2 x161可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例8：求limlnx2sin x= arcsin=26可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 复合函数的函数值ln sin x 在x2 处是连续的,所以在这点的极限值就等于该点处可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

13、 欢迎下载精品名师归纳总结即有 limlnx2=0sin xlnlimsin2sin2ln 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5利用两个准就求极限。（ 1）函数极限的迫敛性：如一正整数N, 当 nN时,有 xnynzn 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim xnlim zna,就有 lim ynaxxx。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用夹逼准就求极限关键在于从xn 的表达式中,通常通过放大或缩小的方法找出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

14、归纳总结两个有相同极限值的数列yn和zn,使得 ynxnzn 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nx11.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 21n 22n 2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 9 ： 求 xn 的极限解：由于 xn 单调递减,所以存在最大项和最小项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nx11.1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n2nn2nn 2nn 2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nx11.1n可编辑资料 - - - 欢迎下载

15、精品名师归纳总结n21xn就n 2nnn21nn 21n 21n 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于nnlimlim1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xn 2nxn21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim xn1x（ 2 ）单调有界准就：单调有界数列必有极限,而且极限唯独。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 12：设 x110, xn 16xnn1,2, n 。试证数列xn的极限存在 ,并求此可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结极限。解:由x110 及 x24

16、知 x1x2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设对某个正整数 k有 xkxk 1 , 就有 xk 16xk6xk 1xk 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而由数学归纳法可知 ,对一切自然数 n ,都有 xnxn 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即数列 xn 单调下降 ,由已知易见 xn0 n1,2. 即有下界 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依据“单调有界的数列必有极限”这肯定理可知存在。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 lim xnnA 对xn 16

17、xn两边取极限,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2有6所以有60 解得A=3,或2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0 n1,2.0lim xn3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 n,所以,舍去2 , 故n6利用洛必达法就求未定式的极限定义 6.1 ：如当 xa （或 x）时,函数 fx 和Fx 都趋于零 或无穷大 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结l i mf x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 xF就极限 xa x 可能存在、也可能不存在, 通常称为0 型和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

18、纳总结型未定式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如：limx0tanxx0, 0型;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limln sin ax, 型.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0 lnsin bx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 6.2 ：设 （ 1）当 x时,函数 fx 和 Fx 都趋于零 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）在 a 点的某去心邻域内 ,f x 和F x 都存在且 F x0 ;可编辑资

19、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结l imf x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）Fxa x x 存在 或无穷大 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就limf x limf x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xa F x xaF x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义 6.3 ：这种在肯定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法就 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例10：

20、limx0sin2xxx 2 sin22cosx2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： limsinxx cos xsinxx cos x= limsinxx cos xlimsinxx cos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4x0xx0x3x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=2limcos xcos xxsin x =2 limsin x = 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结02x3x3 x0x3可编辑资料 - - - 欢

21、迎下载精品名师归纳总结在利用洛比达法就求极限时, 为使运算更加快捷削减运算中的诸多不便, 可用适当的代换,并留意观看所求极限的类型如下例,xlimx例 11：求 x01e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limxtxlim 1et1limet1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： x01e= t0t0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结洛必达法就通常适用于以下类型：0型：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim例 12求 xxarctan x 2.arctan x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 原式lim 2x1li

22、mx1x21lim11x11.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx2x2型：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limsecxtan x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 13 求 xsecx2tan x.1sin x1sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解cos xcos xcos x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim1 sin xlimcosx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故原式 xcosxxsin x.可编辑资料 - - - 欢迎下载

23、精品名师归纳总结2200型：lim xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 14求 x 0.limex ln x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limln xxelimexln xex 0 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 原式 x0x0.1型：xlim 1e例 15求 xx.x e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim1eeee可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 原式 xx.0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结型：1lim tan x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 16求 x

24、 0x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 tan xlim etan x ln x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ln x tan x ln x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim elimeex 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 原式 x0x0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim tan xln xtan xxlim x ln x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而x0x 0,因此：原式 =1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 用泰勒展式来求极限用此法必需熟记基本初

25、等函数的绽开式 , 它将原先函数求极限的问题转化为求多项式或有理分式的极限问题。 对于和或差中的项不能用其等价无穷小代替的情形, 有时可用项的泰勒绽开式来代替该项 , 使运算非常简便。x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例17： limcos xe2 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x解：由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos xx 2x2x412.4.x21ox4 x4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e 21*2.2.4.所以ox4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

26、名师归纳总结12x44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limcosxe 24limxo x 1124可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xx0x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例18：lim xxx 2 ln 11 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由于当 x时, 10 所以x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ln11 x从而11 *x2 1 2xo1 2 xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2 ln 11 x于是x1o1x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim xx

27、2 11 lim 1o11xxx22留意：假如该题利用其他方法就不简洁做了。8. 利用定积分求极限由于定积分是一个有特别结构和式的极限, 这样又可利用定积分的值求出某一和数的极限 . 如要利用定积分求极限, 其关键在于将和数化成某一特别结构的和式。凡每一项可提 1/n, 而余下的项可用通式写成 n项之和的形式的表达式 , 一般可用定积分的定义去求 。利用定积分可求如下二种形式的极限 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limf 1 nf 2 n.f n n型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xn定理8.1 ：设 fx 在0 , 1 上可积,就有可编辑资料 - - -

28、 欢迎下载精品名师归纳总结limf 1 nf 2 n.f n n1f x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例19：求极限x1limnxn02.nnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：令 fxx , fx 在0,1上可积。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12.n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limxnnnn11xdx02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim n xf 1 nf 2 n.f n 型n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理8.2 ：

29、如 f x 在0,1上可积,就12n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim nf f .f epxlnf xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xnnn0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例20：求limxnn . n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n n.12n解： lim= lim n*.*xnxnnn令 fxx , 就有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn .12n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limxnlimxn*.*nnnepxln0xdxe可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

30、归纳总结例 21： 求111nlim n1n22n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：把此极限式化为某个积分和的极限式, 并转化为运算运算定积分, 为此作如下变形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nJlimn11i 1 1in n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不难看出,其中的和式是函数发f x11x 在区间0,1上的一个积分和。（这可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结里所取的是等分分割,x1 ,iiinni1i,nn（ i1.2.n.）, 所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结J1dx1ln1xln 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0 1x01f x1,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当然,也可把 J 看作