数学竞赛训练题 .docx

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1、精品名师归纳总结2x函数与极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 设函数 yy x 中意 y x1 yxye , 且 y01.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 limy xxa, 就a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知f xeb在 xe处为无穷间断点, 在 x1处可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x xa xb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为可去间断点, 就b .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11ax1 x可编辑资料 - -

2、- 欢迎下载精品名师归纳总结3. 求lim， 其中 a0, a1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xxa1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、设当 x0 时，方程 kx11 有且仅有一个解，求 k 的取值范畴 .2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5求lim 11 cos2t12dt .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 0 nn4t1h6。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、设 f x 在上连续 a, b ，证明：lim22 f xdxf 0可编辑资料 - - - 欢

3、迎下载精品名师归纳总结h00 hx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3证明：f x在上连续 a,b ，因而有界，所以M0 ，当 x a, b 时有f xM 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7.已知 lim1ln1f x4, 就 limf x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx 0 211cosxx 0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8、 设 函 数，求1f x, yn可 微 ，f x , x, yf x,y,f 0, 21， 且 满 足可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limf 0, y ncot yef x

4、,y 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nf 0, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9求曲线 yx1 x1xx x0 的斜渐近线方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10 、 设 函 数f x在 a, b上 连 续 ， 在 a,b内 二 阶 可 导 ， 且f af b0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f a0, fb0 ，证明：1 ,2a, b，使得f 10, f20 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料

5、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结11、设函数f x 中意f 11 ，且对 x1时，有f x122xf x，证明：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) limxf x 存在。2 limxf x1。42 f2 f可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12、设f u, v具有二阶连续的偏导数，且中意222 ，用变量代换 uxy ，uv可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 2 g2 g可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结v x2y2 将 f u,v 变成 g x, y ，试求中意 abx2y2 的

6、常数 a 和 b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13. 设 fxxsin 1x0 xn，试争辩 fx在 x0 处的连续性。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limnnxx0 nx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xy tanx2y2 , x, y0,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14. 设f x, yx2y2，证明：f x,y 在 0,0处可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0, x, y0,0可编辑资料

7、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结微，并求df x, y 0,0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2xn12n 1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15 求 lim 1n0 n 02 2 ntdt1.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x3 3 1xxe 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n分析：由于112 n 12 11 t2n 1=2 sinttR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nt3nn 02 2n1.n 02 n1.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

8、名师归纳总结33x 1xxe x 4 1xx1 ex1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 1x且： limx11 e1112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22x0x33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结16试求nnlimn的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ni 1 j1 ni nj 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结导数与微分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 设ux2y2z2 , 求函数 u 在点 M1,1,1 处沿曲面 2 zx2y2 在点 M

9、 处的外法线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方向 n 的方向导数un M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结z2、设0uxyxyuuu,其中函数 zu,zx, y 具有二阶连续偏导数，证明：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 z2 z222 z20.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xyx y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结223. 设 zf x, y 中意zxy, 且f x,0x , f 0, yy,可编辑资料 - - -

10、欢迎下载精品名师归纳总结xy就 f x, y.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 已知函数 uu x, y, z可微 , 且dux 22 y z dx y 22 xz dy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 z2x y dz, 就u x, y, z.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 已知函数f x3x1x 2f 2 xd x, 就 f x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6f / sin 2 xtan2x ，求f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料

11、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 已知f / xx f/ x1 ，求f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 设f u在u内可导，且f 00 ，又可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f / ln x1x0x1，求x1f u可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 设 yf x 在 x 处的转变量为yyxo1xx x0 ， y01，求y / 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -

12、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结10. 由方程y2et dtx 2 sin tdt1 x0确定 y 是 x 的函数，求 dy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x000tdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1011. yy x 是由 xy x e t 2 dt10 确定的函数，求y / /可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf yf z222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12、设函数 uf x , y, z是可微函数， 假如, 证明：u 仅为rxyz可编辑资料 - - - 欢迎下载

13、精品名师归纳总结xyz的函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中值定理与导数的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 设函数fx，y 可微，且对任意x,y,t,中意f tx, tyt 2 f x, y ，P0 1,2,2 是曲面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结: zfx, y 上的一点，求当f x 1, 24 时，在点P0 处的法线方程 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 设连续函数f u在 u=0 处可导 , 且f 00 ， f

14、03 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结试求：lim1 4f x2y2z2dxdydz .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tt0x2y 2z2 t2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、设函数f x 在 1, 上可微，且对 x1 中意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xx2f 2 x22证明：lim f xx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x fx1x可编辑资料 - -

15、- 欢迎下载精品名师归纳总结4、设二元函数u x, y75x2y2xy ，其定义域为 D x, y x2y2xy75可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1设点M x0 ,y0 D, 求过点M 0 的方向向量 l ，使u为最大，并记此最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结l M 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为 gx0 , y0 .2设 M0在 D 的边界 x2y2xy75 上变动，求 g x , y 的最大值 .005、设函数得f x 在a, b 上连续，且存在ca, b 使得 f c0 ，证明：

16、a,b 使f f f a 。ba6.设 D : x2ry 2r 2 , 就 limr01r 22exy 2 cosxy d x dy .D r7设函数足的条件。f x, ye x axby2 ，假设 f 1,0 为 f x, y 的极大值，求常数a, b 满八.10分证明方程x2x 21有且仅有三个实根.9、设函数 f x 在 a,b 上有连续的导数，且存在ca, b ，使得 f c0 ，证明：存在a, b ，使得 f f f aba10、设在上半空间 z0 上函数有连续的二阶偏导数，且 ux2 xyzx r , uyxy r , uzxzz r ,其中 rx2y2z2，可编辑资料 - - -

17、 欢迎下载精品名师归纳总结limr 存在，limr0 x, y ,z0,0,0u x, y, z0 ， div gradu x, y, z0 ，求ux,y, z的表达可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11. 设f x在a, 上二阶可导，且f a0, f a0, 而当 xa 时,f x0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明在 a, 内，方程 f x0 有且仅有一个实根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12. 设f x, y有 二 阶 连续 偏导 数,g x, yf exy , x 2y 2 ,且可编

18、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x, y1xyox12y2 , 证明g x, y在 0,0 取得极值 , 判定此极值是极可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结大值仍是微小值 , 并求出此极值 .13. 设 f x在 0,1上连续 , f 0= f 1 , 求证 :对于任意正整数 ，必存在 xn0,1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结使 f xn f xn1 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14. 设f x 有连续的二阶导数, f 0f 0

19、0, 且 fx0, 求limu x 0f t dt,其中 u x 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x0f t dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结曲线 yf x 在点 x,f x 处切线在x轴上的截距 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15、 10 分 争辩是否存在 0,2 上中意以下条件的函数 , 并阐述理由 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x 在 0,2上有连续导数 ,f 0 = f 2=1,| f x | 1,2|f xdx | 1.0可编辑资料 - - - 欢迎下

20、载精品名师归纳总结不定积分与定积分1求不定积分dxy2，其中：y x2yx .2.2. 设曲线是平面 xyz1 与球面 x2y2z21 的交线，试求积分 xy2ds .13、求最小的实数 C，对于连续函数 f x ，总有0f xdxC| f x | dx 成立。104、设球1 : x2y2z2R2和球2 : x2y2z22RzR0 的公共部分体积为5时，12求 1 的外表位于2 内的部分 S1 的面积 .x5设 f x1t t dt , x1 ，求曲线 f x 与 x 轴所围封闭图形的面积S.6、是否存在 0, 上的连续函数 f x ，使得：0f xsin xdx2342与0f xcos xd

21、x3 成立47、设在上半平面 D x, y y0 内，函数 f x, y 具有连续偏导数，且对任意的t0都有 f tx, tyt 2 f x, y .证明：对 D 内的任意分段光滑的有向简洁闭曲线L,都有yf x, ydxxf x, y dy0 .L可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8、设函数f x在区间 0,1 上具有连续导数，f 01 ，且中意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x, y dxdyf t dxdy ，DtDt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 Dtx, y 0ytx,0xt 0t1 .求 f x 的表达式 .9设是由锥面 zx

22、2y2与半球面 zR2x2y2围成的空间区域，是的整个边界的外侧，运算x d y d zy d zd xzd xd y。x2,xy10 、 设 二 元 函 数 f x, y1x2y 2,1xy1,2, D x, y | xy2 ， 求f x, yd。D211设 f x 为周期函数， 证明：0f acosxbsin xd x22f a2b sin xd x。2212设: x2y2z21 ，运算2 xa2y2b2z2c2 d v 。13 、 求 曲 线 积 分 IL y2z2d x z2x2 d yx2y2 d z ， 其 中 L 是 球 面x2y2z22bx 与柱面 x2y22ax0ab 的交线

23、在 z0 的部分， L 的方向规定为：从 z 轴正向往下看曲线 L 所围成的球面部分总在 L 的左边。14设是由锥面 zx2y2与半球面 zRx22y2围成的空间区域，是的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结整个边界的外侧，试求：xdydzydzdxzdxdy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结微分方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5设二阶线性微分方程yaybyce a,b, c 均为常数 有特解ye x 1xe2x ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x求此方程的通解 .可编辑资料 - -

24、 - 欢迎下载精品名师归纳总结6 、 设 函 数y1x 1n113 n12 nxn1, n0,1,2,y2 x是 方 程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2 yyex sin x 中意条件y00, y 01的特解，求广义积分3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结min0y1 x,y2 xd x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 求方程 22x y2x yyx ln2x 的通解 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 求以函数y xxex3sin 3 x 为特解的四阶常系数齐次线性微分方程的表达式和通可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解。9.10.11.12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载