数列的通项公式的几种常用求法文科.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、 公式法：等差数列、等比数列的通项公式的求法：an 1q, q0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如在已知数列中存在：an 1and （常数）或an的关系，可采纳求等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结差、等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项。2、非等差、等比数列的通项公式的求法。（ 1）观看法： 通过观看数列中的项与项数的关系，找出项an 与项数 n

2、的关系。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）累差法：如在已知数列中相邻两项存在：求通项。an 1anf n 的关系， 可用“类差法”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1 , aa1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a 1n 1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例、在数列n中，aa24n11 ，求数列的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1分析： 由已知n4n 21 ， n 取 1， 2， 3 ，然后把 n-1 个等式相加。可编辑资料 - - - 欢迎下

3、载精品名师归纳总结aa11 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1解： 由已知得：n4n 2122n12n1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aa1 11 , aa1 11 , aa1 11 , aa1 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结213253nn 12323525722n32n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a5a 4111,257, anan 1 1122n312n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结把上面（ n-1 ）个等式相加得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aa1 11a4n

4、3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n122nn14 n2an 1g n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）累积法：如在已知数列中相邻两项存在：an通项。的关系，可用“累积法”求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例、在数列 an 中， an0 ， a11,且有： an1, an ,bn, an1 ， a, b 共线，求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列的通项anan 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： 依据a, b 共线，得：ann1 ，然后利用累积法求通项。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

5、结解： 由已知得：an 1nann1a2a3a4a1a2a3anan 1123n1234n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nan1 , a1a1nn 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 ： 如 在 已 知 数 列 中 存 在 ：Snf an或Snf n的 关 系 ， 可 以 利 用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anSnSn 1 n2 求数列的通项。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎

6、下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备a12S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例、已知数列 an n的各项都是正数，且ann，求数列 an 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： 依据已知条件：求出求出数列的通项。1Sn 与 n 的关系式，再依据an1SnSn1 , n2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an解： 由an2Sn- （ 1 ）得：an 1an 12Sn1- （ 2）可编辑资料 - - - 欢迎

7、下载精品名师归纳总结SS12S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aSSn 1nSSn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S12把n 1n 1n 代入（ 2）得：n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S2整理得：n 1n，易求得 S11 ，由此可知：数列 S2 2S1 为首项， 1 为公可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n是以差的等差数列。22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 SnS1n11nSnn ，即 anSnSn 1nn1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

8、师归纳总结而且 n=1 时，也满意上式。对一切的 nN，都有 annn1 。1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例. 数列an前 n 项和 Sn4 a nn 2 . （ 1）求 an21 与 an 的关系。（ 2）求通项公式an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（ 1）由 Sn4a n1得：2 n 2Sn 14an 112 n 1，于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sn 1Sn a na n 1 1 2n 212 n 1所以 a n 1a nan 11an2n 12 n 1a n 11 a1.2n2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

9、师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）应用类型4 的方法，上式两边同乘以2n 1 得：n 12n a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 a1S1nn4a1121 2a11 . 于是数列n2n a是以 2 为首项， 2 为公差的等差数列，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所 以 2 an22n12na nn 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 帮助数列法：对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特别的转化方法与

10、特别数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 1递推公式为an 1panq （其中 p，q 均为常数， pq p10 ） 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法：转化为：an 1tpant ，其中tq，再利用换元法转化为等比数1p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结列求解。2006. 重庆 .14 ）数列an中，如 a11, an 12an3n1 ，就通项 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

11、结例.已知数列an中， a11， an 12an3 ，求an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设递推公式an 12an3 可以转化为an 1t2ant 即 an 12antt3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精

12、品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 递推公 式为an 132an3,令bnan3 ，就b1a134 ,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bn 1bna n 13a n32 . 所 以bn是 以 b14 为 首 项 ， 2为 公 比 的 等 比 数 列 ， 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bn42n 12 n1 ,所以 a2n 13 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n例、数列 an 满意 a1=1， a n1=an 12+1（n 2），求数列 a n 的通项公式。可编

13、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由 a n= 1 an21 +1（ n 2）得 an2= 1 （ an 122），而 a12=1 2=1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列 an 2 是以1 为公比， 1 为首项的等比数列2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a n 2=（1n 1）2 a n =2（1n 1）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变形 .递推式 ：an 1panf n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法：只需

14、构造数列bn，消去fn 带来的差异可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例设数列an： a14, an3an 12n1, n2 ，求an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设 bnanAnB，就anbnAnB ，将an , an1 代入递推式，得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bnAnB3 bn 1An1B2n1A3 A2A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3bn 13A2n3B3A1B3B

15、3 A1B1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取bnann1（） 就 bn3bn1 , 又 b16 ，故 bn63n 123n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结代入（）得an2 3nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说 明：（ 1 ）如f n为 n 的二 次式 ，就 可设 bnaAn2BnC;2本 题也可由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nan

16、3an 12n1,an 13an 22n11（n3 ）两式相减得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anan 13an 1an 2 2 转化为 bnpbn 1q 求之 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备可编辑

17、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 2 形如 : a nman 1递推式，考虑函数倒数关系有1k 11 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k an 1banan 1m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1k1ana n 1k 令 b1 就nmanbn可归为an 1panq 型。 取倒数法 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例： anan 13 an 1,a111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1解：取倒数：a n3an 11an 113a n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精

18、品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1是等差数列，1anan1n a11 31 n1 31an3n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 3递推公式为an 1panq n（ 其中 p，q 均为常数 ， pq p1 q10 ） 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（或 aparq n , 其中 p，q, r均为常数）n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法：该类型较类型3 要复杂一些。一般的，要先在原递推公式两边同除以n 1q，得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

19、纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1q n 1p a n1q q nq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结引入帮助数列bn（其中 bna nn ），得：qbn 1p 1 再应用类型3 的方法解决。bnq q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例.已知数列an中， a15 , an161 an31) n 1 ， 求2an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：在an 11 a1 nn321两边乘以2n 1 得： 2 n 1an 12 2 n3a n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载

20、精品名师归纳总结n令 b2nan ，就 bn 12 b1 , 应用例 7 解法得： bnn332 2 n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 anbn3 1 n2 n22 1 nn13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 已知数列an满意 a11， an3n2an2) ， 求 an 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n解： 将 an32an1 两边同除3 n ，得 a n3n2an 11 3na n13n2 a n 13 3n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 ba n，就 b1 2 b令 bt2 bt b2 b1 t可编辑资料

21、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n3nnn 1nn 133nn 133可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结t3 条件可化成bn32 bn133) ，数列bn3 是以 b13a1338为首项，3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备可编辑资料 - - - 欢

22、迎下载精品名师归纳总结n2 为公比的等比数列b338 2 nn331 因 ba n ,n3n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nanbn 33 n 8 2 n 1333a3n12n 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 4递推公式为an 2pan 1qan （ 其中 p，q 均为常数）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法：先把原递推公式转化为an 2san 1t an 1san 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

23、 欢迎下载精品名师归纳总结其中 s， t 满意stpstq，再应用前面类型3 的方法求解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例.已知数列an中， a11, a22 , a n 221aan 1n ，求33an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由an 22a n 131可转化为an3an 2san 1t an 1san 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 an 2 st an 1sstan1st23st13s 1s1t 1 或33t1s1可编辑资料

24、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结这 里 不 妨 选 用t1 （ 当 然 也 可 选 用33 ， 大 家 可 以 试 一 试 ）， 就t1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a n 2a n 11 an13an an 1an是以首项为a2a11，公比为1的等比数列 ,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 a n 1an1 n31 , 应用类型1 的方法，分别令n1,2,3, n1 ，代入上式得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1个等式累加之，即ana11 031 131 n 2311 n 13113可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

25、又a11 ，所以 a n73 441 n 1 。3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 5双数列型解法：依据所给两个数列递推公式的关系，敏捷采纳累加、累乘、化归等方法求解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 例11.已 知 数 列an中 ， a11 。 数 列bn中 ， b10 。 当 n2 时 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nna1 2a31bn1 , bn1 an312bn1 ，求an ,bn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - -

26、 - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：因anbn12 an 13bn 1 1an 132bn 1 an 1bn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 anbna1b11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1bn 1an 2bn 2a2b21（1）即 anbn可编辑资料 - - - 欢

27、迎下载精品名师归纳总结又由于 anbn1 2 an31bn 1 1 an312bn 1 1 an31bn 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 anbn1 an31 bn 1 1 2 an23bn 2 1 n31 ab1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 1 n 1 . 即 ab3nn(1) n 13（2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由（ 1）、（ 2）得： an1 12 1 n31 ，b1 1n2 1 n 1 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 、 通 过 分 解 系 数 ， 可 转 化 为 特 殊 数 列 anan

28、 1 的 形 式 求 解 。 这 种 方 法 适 用 于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 2pan 1qan型的递推式，通过对系数p的分解，可得等比数列 anan1 ：设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 2kan 1han 1kan ，比较系数得hkp,hkq ，可解得h, k 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例： 已知数列a满意 a1, a3,a3a2a nN * .可编辑资料 - - - 欢

29、迎下载精品名师归纳总结n12n 2n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ I ）证明：数列an 1an是等比数列。（II ）求数列an的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例、数列an满意 a12,a25,an 23an 12 an =0，求数列 a n 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：递推式an 23an 12an0 中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料

30、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结间一项an 1 的系数分解成1 和 2，适当组合，可发觉一个等比数列 anan1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由an 23an 12an0得 an 2an 12 an 1an 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 an 2an 12an 1an），且a2a1523 an 1an 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是以 2 为公比， 3 为首项的等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 an 1an3 2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用逐差法可得an 1an 1an anan 1 a2a1 a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精