新人教版高中数学知识点总结2.docx

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1、精品名师归纳总结20XX年新人教版高中数学学问点总结高中数学 必修 1 学问点第一章 集合与函数概念【1.1.1 】集合的含义与表示（ 1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2） ）常用数集及其记法N 表示自然数集,N或 N 表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R表示实数集 .（3） ）集合与元素间的关系对象 a 与集合 M 的关系是 aM ,或者 aM ,两者必居其一 .（4） ）集合的表示法自然语言法：用文字表达的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合.描述法： x | x 具有的性质 ,其中 x为集合的代表元素.图示法：用数

2、轴或韦恩图来表示集合.（5） ）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集. 含有无限个元素的集合叫做无限集. 不含有任何元素的集合叫做空集.【1.1.2 】集合间的基本关系（6） ）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB子集A 中的任一元素都属于B(1) AA2AABBA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（或 BA(3) 如 A(4) 如 AB 且 BC ,就 ACB 且 BA ,就 AB或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结真子集ABAB ,且 B 中至少有一（

3、 1 ）A（ A 为非空子集）BA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（或 BA）元素不属于 A2如 AB 且 BC ,就 AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结集合A 中的任一元素都属于B, BAB相等中的任一元素都属于A(1) AB(2) BAAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（7） ）已知集合A有 nn1 个元素,就它有2个子集,它有21 个真子集,它有21个非空子集,它有22 非空真子集 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【

4、1.1.3 】集合的基本运算（8） ）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图（ 1） AAA（ 2） A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结交集AB x | xA, 且 xB并集AB x | xA, 或 xB（ 3） ABAABABB（ 1） AAA（ 2） AA（ 3） ABAABABB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 AeU A2 AeU AU可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结补集eU A x | xU ,且xA痧U AB UA.U B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结痧U AB U A .U B【补充学问】含肯定值的不等式与一元二

5、次不等式的解法（ 1 ）含肯定值的不等式的解法不等式解集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| x |aa0 x|axa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| x |aa0x | xa 或 xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| axb |c,| axb |cc0把 axb 看成一个整体, 化成 | x |型不等式来求解a , | x |aa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2 ）一元二次不等式的解法判别式b24ac000可编辑资料 - -

6、- 欢迎下载精品名师归纳总结yax2二次函数bxca0O的图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一元二次方程2x1,2bb22a4acb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结axbxc的根0 a0（其中 x1x2 x1x22a无实根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2axbxc的解集0 a0 x | xx1 或x x2 x | xb 2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2axbxc的解集0a0 x

7、| x1xx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.2 函数及其表示【1.2.1 】函数的概念（1） ）函数的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 A、 B 是两个非空的数集,假如依据某种对应法就f ,对于集合A中任何一个数x,在集合 B 中都有唯独确定的数f x和它对应,那么这样的对应（包括可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结集合 A, B以及 A到 B 的对应法就f ）叫做集合A到 B 的一个函数,记作f : AB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数的三要素 : 定义域、值域和对应

8、法就只有定义域相同,且对应法就也相同的两个函数才是同一函数（2） ）区间的概念及表示法设 a, b 是两个实数, 且 ab ,满意 axb 的实数 x 的集合叫做闭区间, 记做 a,b 。满意 axb 的实数 x的集合叫做开区间,记做 a, b 。满意 axb ,或 axb 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做 a,b , a,b 。满意 xa, xa, xb, xb的实数 x 的集合分别记做 a, a, b, b 留意： 对于集合 x| axb 与区间 a,b,前者 a 可以大于或等于b ,而后者必需ab （3） ）求函数的定义域时,一般遵循以下原就： f x 是整式时,定义域是全体

9、实数 f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数 f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ytan x 中, xkkZ 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结零（负）指数幂的底数不能为零如 f x 是由有限个基本初等函数的四就运算而合成的函数时,就其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于求复合函数定义域问题,一般步骤是：如已知f x 的定义域为 a,b ,其复合函数f

10、g x 的定义域应由不等式agxb 解出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结R对于含字母参数的函数,求其定义域,依据问题详细情形需对字母参数进行分类争论由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,仍要符合问题的实际意义（4） ）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上,假如在函数的值域中存在一个最小（大）数,这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结观看法：对于比较简洁的函数,我们可以通过观看直接得到值域或最值配方法：将函数

11、解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后依据变量的取值范畴确定函数的值域或最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结判别式法：如函数yf x 可以化成一个系数含有y 的关于 x 的二次方程a y x2b y xc y0 ,就在a y0 时,由于x, y 为实可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数,故必需有b2 y4a yc y0 ,从而确定函数的值域或最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值

12、问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【1.2.2 】函数的表示法（5） ）函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6） ）映射的概念设 A、 B 是两个集合,假如依据某种对应法就f ,对于集合 A中任何一个元素,在集合B 中都有唯独的元素和它对应,那么这样的对应（包括集合A, B 以及可编辑资料

13、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结A到 B 的对应法就f ）叫做集合A到 B 的映射,记作f : AB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结给定一个集合A到集合 B的映射,且aA,bB 假如元素 a和元素 b 对应,那么我们把元素b 叫做元素 a的象,元素 a叫做元素 b 的原象1.3 函数的基本性质【1.3.1 】单调性与最大（小）值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1 ）函数的单调性定义及判定方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数的性 质定义图象判定方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

14、归纳总结假如对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1 、x 2, 当 x1 x2 时,y y=fXfx2 （1） ）利用定义（2） ）利用已知函数的单调性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结都有 fx 1fx 2 ,那么就说 fx 在这个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数的 区间上是 增函数 fx1 ox1x2 x（3） ）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4） ）利用复合函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结单调性假如对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、 x2

15、,当 x1 fx 2 ,那么就说 fx 在间图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 这个区间上是 减函数 ox1fx2 x2 x象下降为减）（4） ）利用复合函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于复合函数yf g x ,令 ug x ,如y f u 为增, ug x 为增, 就yf gx 为增。 如yf u 为减, ugx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎

16、下载精品名师归纳总结为减 ,就yf g x为 增 。 如yf u为 增,ug x 为 减 , 就yf g x为减 。 如yf u为 减 , ug x 为 增, 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf g x 为减y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ）打“”函数f xxa a x0 的图象与性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x 分别在 ,a 、 a , 上为增函数,分别在a ,0、 0,a 上为减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

17、纳总结（3） ）最大（小）值定义一般的,设函数yf x 的定义域为 I ,假如存在实数M 满意：（ 1 ）对于任意的xI ,都有f xM 。ox可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2 ） 存 在 x0I , 使 得f x0 M 那 么 , 我 们 称 M 是 函 数f x的 最 大 值, 记 作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f max xM 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一般的,设函数yf x 的定义域为I ,假如存在实数m 满意：（ 1 ）对于任意的xI ,都有f xm 。（ 2）存在x0I,

18、 使 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x0m那么,我们称m 是函数f x 的最小值,记作f max xm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【1.3.2 】奇偶性（4） ）函数的奇偶性定义及判定方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数的性 质定义图象判定方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如对于函数fx 定义域内任意一个x,（ 1）利用定义（要先判肯定义都有 f x= fx ,那么函数 fx 叫做奇可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 函数域是否关于原点对称）（ 2）

19、利用图象（图象关于原点对称）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇偶性假如对于函数 fx 定义域内任意一个 x, 都有 fx=fx,那么函数 fx 叫做 偶函数（1） ）利用定义（要先判肯定义域是否关于原点对称）（2） ）利用图象（图象关于y 轴对称）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如函数f x 为奇函数,且在x0 处有定义,就f 00 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反

20、在公共定义域内,两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数）,两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积（或商） 是奇函数补充学问函数的图象（1） ）作图利用描点法作图：确定函数的定义域。化解函数解析式。争论函数的性质（奇偶性、单调性）。画出函数的图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用基本函数图象的变换作图：要精确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平移变换yfxh 0,左移 h个单位h 0,右移 | h|个单位yf xhyf x

21、k 0,上移 k个单位k 0,下移 | k|个单位yf xk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结伸缩变换yf x01,伸1,缩yf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf x0 A 1,缩yAf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 1,伸可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对称变换yf xx轴yf xyf xy轴yf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf x原点yf xyf x

22、直线y xyf 1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf x去掉y轴左边图象保留y轴右边图象,并作其关于y轴对称图象yf |x|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf x保留x轴上方图象 将x轴下方图象翻折上去y| f x |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ）识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范畴、变化趋势、对称性等方面争论函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,留意图象与函数解析式中参数的关系（3） ）用图函数图象形象的显示了函数

23、的性质,为争论数量关系问题供应了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法其次章基本初等函数 2.1 指数函数【2.1.1 】指数与指数幂的运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1 ）根式的概念假如 xna,aR, xR, nn1,且 nN,那么 x叫做 a的 n次方根当 n是奇数时, a 的 n次方根用符号a 表示。当 n是偶数时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正数 a 的正的 n次方根用符号n a 表示,负的 n 次方根用符号n a 表示。 0 的 n次方根是 0。负数 a 没有 n次方根式子 n a 叫做根式,

24、这里n 叫做根指数, a叫做被开方数当n为奇数时, a 为任意实数。当n 为偶数时, a0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnnnnnaa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结根式的性质：a a 。当 n 为奇数时,aa 。当 n 为偶数时,a| a |aa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ）分数指数幂的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正数的正分数指数幂的意义是：ma nn am a0,m, nN, 且 n1 0 的正分数指数幂等于0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m mn 1 nn1 m可编辑资料 -

25、- - 欢迎下载精品名师归纳总结正数的负分数指数幂的意义是：aaaa0, m, nN, 且 n10 的负分数指数幂没有意义留意口诀： 底数取倒可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数,指数取相反数rs（3） ）分数指数幂的运算性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r aasar s a0, r , sR a ars a0,r , sR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r abar br a0,b0, rR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4） ）指数函数【2.1.2 】指数函数及其性质可编辑资

26、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数名称指数函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义函数yax a0 且 a1) 叫做指数函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a10a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yya x图象y10,1yayxy10,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OxOx定义域R值域0,过定点图象过定点 0,1 ,即当 x0 时, y1奇偶性非奇非偶单调性在 R上是增函数在 R上是减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数值的变化情形ax1 x0xa1 x0ax1 x0ax1 x0xa1 x0ax

27、1 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a变化对图象的影响在第一象限内,a越大图象越高。在其次象限内,a越大图象越低2.2 对数函数【2.2.1 】对数与对数运算（1） ）对数的定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 axN a0,且a1 ,就 x叫做以 a为底 N 的对数,记作xlog aN ,其中 a叫做底数, N 叫做真数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结负数和零没有对数对数式与指数式的互化：xlog aNa xN a0, a1, N0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料

28、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ）几个重要的对数恒等式log a 10 , loga ab1 , log a ab 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） ）常用对数与自然对数常用对数： lg N ,即 log 10 N 。自然对数： ln N ,即 log e N （其中 e2.71828 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4） ）对数的运算性质假如 a0,a1,M0, N0 ,那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

29、- 欢迎下载精品名师归纳总结加法： loga Mloga Nlog a MN 减法： log a Mlog a NMlog aN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数乘：n log a Mlog aM n nRlog a NaN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an log b Mnlog aM b0, nR换底公式：log a Nlog b N b0, 且b1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结blog b a【2.2.2 】对数函数及其性质（5） ）对数函数函数对数函数名称可编辑资料 - - - 欢迎下载

30、精品名师归纳总结定义函数 ylog ax a0 且 a1叫做对数函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1yx1yloga x0a1yx1 yloga x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图象O1,0x1,0Ox可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义域0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值域R过定点图象过定点 1,0 ,即当 x1 时, y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇偶性非奇非偶单调性在 0, 上是增函数在 0, 上是

31、减函数logax0 x1logax0 x1logax0 x1logax0 x1logax00x1logax00x1函数值的变化情形a 变化对图象的影响在第一象限内,a越大图象越靠低。在第四象限内,a越大图象越靠高6 反函数的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设函数yf x 的定义域为A ,值域为C ,从式子yf x中解出 x ,得式子x y假如对于y 在 C 中的任何一个值,通过式子可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x y, x在 A 中都有唯独确定的值和它对应,那么式子x y表示 x 是 y 的函数,函数x y叫做函数yf x的反函数,记作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xf 1 y ,习惯上改写成yf 1 x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 7）反函数的求法确定反函数的定义域,即原函数的值域。从原函数式1yf x 中反解出 xf1 y 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1将 xf y 改写成 yfx ,并注明反函数的定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（8