高等数学职教教案第五章.doc

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1、高等数学教学教案第五章 多元函数微分学授课序号04教 学 基 本 指 标教学课题第五章 第一节 常见曲面与曲线课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点二次曲面的方程及其图形教学难点交线的投影参考教材同济版高等数学职教武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程，了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解曲面的交线在坐标平面上的投影教 学 基 本 内 容一、基本概念：1、 空间直角坐标系

2、：过空间一个定点，作三条互相垂直的数轴，它们都以为原点且具有相同的长度单位，这三条数轴分别称为轴（横轴）、轴（纵轴）、轴（竖轴）、统称坐标轴. 其正向符合右手规则. 这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系. 设、为空间两个点，通过、各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面，这六个平面组成一个以、为对角线的长方体，由此可得，即.2、曲面方程的概念 如果曲面，与三元方，程满足下列关系：（1）曲面上的任一点的坐标都满足方程；（2）不在曲面上的点的坐标都不满足方程，则称为曲面的方程，而曲面称为方程的图形.3、柱面平行于定直线并沿定曲线移动的直线形成的轨迹叫做柱面. 其中定曲线称为柱面的准线，动直线称为柱面的

3、母线.一般地，设有一柱面，准线是面上的曲线，则其方程为 4、二次曲面我们将三元二次方程所表示的曲面就叫做二次曲面.1）、椭球面: 2）、二次锥面（椭圆锥面）由方程、所确定的曲面称为二次锥面（椭圆锥面）.3）、抛物面由方程所确定的曲面称为椭圆抛物面.由方程所确定的曲面称为双曲抛物面（马鞍面）.4）、双曲面由方程,确定的曲面称为单叶双曲面.由方程,所确定的曲面称为单叶双曲面.5、空间曲线及其方程1）、空间曲线的一般方程空间曲线可看作是两个相交曲面的交线，即若设二个相交曲面的方程分别是和，则就表示其交线的方程.2）、空间曲线的参数方程空间曲线也可以将其看作空间点移动的轨迹而形成曲线的参数方程. 即有

4、其中，是连续的.6、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线方程为 消去可得方程， 因此曲线在面上的投影曲线为二、 定理与性质：三、 主要例题： 例1 求点和点的距离. 例2 求证以、三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 例3 设点在轴上, 它到的距离和到点的距离相等, 求点的坐标.例4 建立球心在点，半径为的球面的方程.例5 求到两定点和等距离的点的几何轨迹.例6 方程表示什么样的曲面？例7方程组 表示怎样的曲线?例8 求上半球面和锥面的交线在面上的投影曲线.授课序号02教 学 基 本 指 标教学课题第六章 第二节 二元函数的概念、极限与连续课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发

5、、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点极限与连续的概念和性质教学难点极限不存在的情况参考教材同济版高等数学 职教武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求理解多元函数的概念，了解二元函数的极限与连续性的概念，了解有界闭区域上连续函数的性质教 学 基 本 内 容一、 基本概念：1、多元函数的概念表示坐标平面，设与为平面上的两点，则表示与的距离.坐标平面上具有某种性质的点的集合，称为平面点集，记作，设是平面上的点集，如果中的点满足下面两个条件，则称为开区域.(1) 对于中的任意一点P，如果都能找到它的一个邻域（见图6-2），使得邻域能够包

6、含在点集中（这样的点P称为点集的内点）.(2) 对于中的任意两点，都能用包含在中的折线连接起来，即折线上的点都在中，见图6-3.开区域简称区域.2、二元函数的概念 设D是平面上的一个非空点集，如果对于内的任一点， 按照某种法则，都有唯一确定的实数与之对应，则称是上的二元函数，它在处的函数值记为，即，其中称为自变量，称为因变量. 点集称为该函数的定义域，数集称为该函数的值域.3、二元函数的极限定义2设函数在点的某一去心邻域内有定义（见图4-27），如果当点以任意的方式无限趋于点时，函数无限趋于一个常数，则称为函数当时的极限. 记为,或 ,也记作 或 .4、二元函数的连续性定义3 设二元函数在点的

7、某一邻域内有定义，是邻域内任意一点，如果,则称在点处连续. 如果函数在点处不连续，则称函数在处间断.由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤而得到的可用一个式子表示的函数称为多元初等函数.二、定理与性质：性质1 （有界性与最大值最小值定理）若函数在有界闭区域上连续，则在上必有界，且能取得最大值和最小值.性质2 （介值定理）若函数在有界闭区域上连续，则必取得介于最大值和最小值之间的任何值.三、主要例题：例1 求二元函数的定义域.例2 求函数的定义域例3 已知函数， 求的表达式，并求的值.例4 求极限 .例5 求极限.例6 求.例7 求例8 求极限.授课序号03教 学

8、 基 本 指 标教学课题第五章 第三节 二元函数的偏导数与全微分课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点偏导数和全微分的概念教学难点全微分存在的必要和充分条件参考教材同济版高等数学职教武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件教 学 基 本 内 容一、 基本概念：1、偏导数设函数在点的某一邻域内有定义, 当y 固定在, 而x在处有增量时, 相应的函数有增量 .如果存在, 则称此极限为函数在点处对的偏导数, 记为或.例如，.类似地

9、，函数在点处对的偏导数为,记为 或.二元函数偏导数的定义可以类推到三元及三元以上的函数.如果函数在区域内每一点处对的偏导数都存在，那么这个偏导数是的二元函数，那么称为函数对自变量的偏导函数，简称为偏导数，记作 或.同样，函数对自变量的偏导数记作 或.2、高阶偏导数设函数在区域内具有偏导数 则在内和都是,的函数. 如果这两个函数的偏导数存在，则称它们是函数的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的不同，共有下列四个二阶偏导数：其中第二、第三两个偏导称为混合偏导数. 3、微分的定义如果函数在点的全增量可以表示为 其中不依赖于而仅与有关,则称函数在点可微分, 称为函数在点的全微分, 记为, 即. 若函数在

10、区域内各点处可微分，则称这函数在内可微分. 二、定理与性质：定理1如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续, 则在该区域内有.定理2 (必要条件) 如果函数在点处可微分, 则（1）该函数在点连续；（2）该函数的两个的偏导数都存在, 且在点处的全微分. 定理3 (充分条件) 如果函数的偏导数在点存在且连续, 则函数在该点处可微分.三、主要例题：例1设函数，求及.例2 求在点处的偏导数.例3 求的偏导数.例4 设, 求例5 求的二阶偏导数.例6 求函数的全微分.例7 计算函数在点(2, 1)处的全微分.授课序号04教 学 基 本 指 标教学课题第六章 第四节 二元函数的极值课的类型新知识课教学

11、方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点极值与条件极值教学难点条件极值参考教材同济版高等数学职教武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求了解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题教 学 基 本 内 容一、基本概念：设函数在点的某一邻域内有定义, 对于该邻域内异于的任意一点, 如果则称函数在有极大值；如果则称函数在有极小值； 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.二、定理与性质：1. 极值的求法定理1

12、(必要条件) 设函数在点具有偏导数, 且在点处有极值, 则它在该点的偏导数必然为零，即 定理2 (充分条件) 设函数在点的某邻域内有直到二阶的连续偏导数，又 令.(1) 当时，函数在处有极值，且当时有极小值；时有极大值；(2) 当时，函数在处没有极值；(3) 当时，函数在处可能有极值，也可能没有极值.2. 二元函数的最大值与最小值 一般步骤为: （1）求函数在内所有驻点处的函数值; （2）求在的边界上的最大值和最小值; （3）将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值, 最小者即为最小值.3. 条件极值 拉格朗日乘数法求函数在条件的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为：(1) 构造拉格朗日函数其中为某一常数;(2) 由方程组解出，就是所求条件极值的可能的极值点.三、主要例题：例1 函数在点处有极小值. 从几何上看，表示一开口向上的椭圆抛物面，点是它的顶点.例2 函数在点(0,0)处有极大值. 从几何上看，表示一开口向下的半圆锥面，点是它的顶点.例3 函数 在点处无极值. 从几何上看，它表示过原点的平面.例4 求函数的极值.例5 求函数的极值.例6 某厂要用铁板做成一个体积为的有盖长方体水箱. 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省.例7 求表面积为而体积为最大的长方体的体积.12