高等数学职教教案第三章.docx

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1、高等数学教学教案第三章 一元微分学及其应用授课序号01教 学 基 本 指 标教学课题第三章 第一节 导数的概念及基本求导公式课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点导数定义，导数的集合意义，可导和连续之间的关系，导数的四则运算教学难点导数的定义，用导数定义求极限参考教材同济版高等数学职教武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求理解导数的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。掌握导数的四则运算法则教 学 基 本 内 容一、基本概念：1、导数的定义定义 设函数在的某个邻

2、域内有定义，当在处增量为（在该邻域内）时，相应的函数有增量，如果存在，则称该极限为在点处的导数, 记为，或.这时也称函数在点处可导. 如果该极限不存在，称函数在点处不可导. 特别地，如果时，也称函数在点处的导数为无穷大.2、左右导数的定义若存在，则称其为函数在处的右导数，记作；若存在，则称其为函数在处的左导数，记作；二、定理与性质：定理1 若函数在处可导，则函数在处必连续.定理2 若、在点处的导数均存在，则它们的和、差、积、商的导数也都存在，且有（1）；（2）；（3）（）.*定理3 如果单调函数在某一区间内可导，且，则它的反函数在对应的区间内也可导，且.三、主要例题：例1 求函数在点处的切线斜

3、率.例2 求函数在点处的导数.例3 已知函数 讨论函数在点处的导数.例4 求函数在处的导数.例5 求（为常数）的导数.例6 求的导数.例7 求的导数.例8 求的导数.例9 求的导数.例10 已知，求及.例11求曲线在点处的切线斜率，并写出切线及法线方程.例12 计算下列函数的导数：（1）； （2）；（3）； （4）； (5) ； (6) .授课序号02教 学 基 本 指 标教学课题第三章 第二节 导数的计算法则课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点复合函数求导，高阶导数，隐函数求导，参数方程求导教学难点复合函数求导，隐函数和参数方程导数参考教材同

4、济版高等数学职教武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求掌握复合函数的求导法。掌握基本初等函数的导数公式。掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。会求隐函数和参数式所确定的函数的导数。教 学 基 本 内 容一、基本概念：1、二阶导数的概念如果函数的导数仍是的可导函数，那么就称的导数叫做函数的二阶导数， 二阶导数记作，或，即 ， ，或.二、定理与性质：定理1（复合函数求导法则） 如果在点处可导，在点处可导，则复合函数在点处可导，且有. （即）设方程确定了一个函数，将“代入”方程，便得到恒等式，因此若要求，则在该恒等式两边关于求导，且将看作

5、是的函数，从而解得.考虑由参数方程（其中为参数）确定的函数的导数.如果的反函数为，且它满足反函数的求导条件，则可将看作是与的复合函数，利用反函数的求导法则，得，这里是反函数的求导法则中的条件之一.三、主要例题：例1 求下列函数的导数：（1）; （2）;（3）; (4) ； （5）； （6）； 例2 求的导数. 例3 求函数的导数.例4 设，求例5 证明满足关系式例6求的阶导数.例7设，求例8 求的阶导数.例9 设方程所确定的隐函数为，求.例10 求由方程所确定的函数在点处的切线方程.例11 已知圆的参数方程为，求例12 设参数方程为，求例13计算参数方程的一阶导数.授课序号03教 学 基 本

6、指 标教学课题第三章 第三节 微分的概念与应用课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点微分的定义，四则运算，和导数的关系教学难点一阶微分的形式不变性参考教材同济版高等数学职教武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。教 学 基 本 内 容一、基本概念：定义 设函数在某区间内有定义，如果函数的增量可表示成，其中为不依赖于的常数，而是比的高阶无穷小，那么称函数在点处是可微的， 而叫做函数在点相应于自变量增量的微分，记作，即. 如果函数在区间内每一点

7、都可微，则称是内的可微函数. 函数在任意一点处的微分就称为函数的微分，记为，即有 .取（函数即为自变量），则有，即，这样微分可记为，并且有.二、定理与性质：定理 函数在处可微的充分必要条件是在处可导.三、主要例题：例1 一块正方形金属薄片因受温度变化的影响，其边长由变到，问此薄片的面积改变了多少？例2 设，求（1）；（2）及.例3 求函数在时，分别等于和 时的增量与微分.例4 设，求.例5 设，求.例6 设，求.例7 设是由方程确定的隐函数，求.例8 利用微分计算的近似值. 例9 计算的近似值. 授课序号04教 学 基 本 指 标教学课题第三章 第四节 洛必达法则课的类型新知识课教学方法讲授、

8、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点洛必达法则教学难点洛必达法则参考教材同济版高等数学职教武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求掌握洛必达(LHospital)法则求不定式的极限。教 学 基 本 内 容一、 基本概念：未定式二、定理与性质：定理1 (洛比达法则) 设（1）当时，函数, 都趋于零； （2）在点的某邻域内（点本身可以除外）, 都存在，且； （3）存在（或为无穷大），则（或为无穷大）.定理2 如果（1）当时，函数, 都趋于零； （2）存在，当时，, 都存在，且； （3）存在（或为无穷大），则（或为无

9、穷大）.三、主要例题：例1 求极限.例2 求例3 求 .例4 求.例5 求极限（）.例6 求极限（）.例7 求极限（）. 例8 求极限.例9 求 ().例10 求 授课序号05教 学 基 本 指 标教学课题第三章 第五节 函数的性态与图形课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点极值定义及求法，凹凸性及拐点求法教学难点图形描绘参考教材同济版高等数学职教武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐

10、点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。教 学 基 本 内 容一、基本概念：1、单调性： 设函数的定义域为，区间，如果对于区间上任意两点、，当时，恒有，则称函数在区间上单调增加；当时，恒有，则称函数在区间上单调减少. 单调增加或单调减少的函数统称单调函数.2、极值： 设函数在内有定义，如果存在着点的一个邻域，当时，恒有（或），则称为的极大值（或极小值）， 称为的极大值点（或极小值点）.3、凹凸性：如果在曲线的图形上任意弧段位于所张弦的下方，这样的曲线称为凹弧；如果在曲线的图形上任意弧段位于所张弦的上方，这样的曲线称为凸弧设函数在区间上连续，如果对区间上的任意两点、，恒有，则称的图形（曲线

11、）是凹的；如果对区间上的任意两点，恒有，则称的图形（曲线）是凸的4、图形描绘：要利用导数描绘函数的图形，其一般步骤如下:第一步 确定函数的定义域, 研究函数特性如: 奇偶性、周期性、有界性等, 求出函数的一阶导数和二阶导数;第二步 求出一阶导数和二阶导数在函数定义域内的全部零点，并求出函数的间断点和导数和不存在的点, 用这些点把函数定义域划分成若干个部分区间;第三步 确定在这些部分区间内和的符号, 并由此确定函数的增减性和凹凸性，极值点和拐点;第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其它变化趋势;第五步 算出和的零点以及不存在的点所对应的函数值，并在坐标平面上定出图形上相应的点；有时还需适当

12、补充一些辅助作图点(如与坐标轴的交点和曲线的端点等)； 然后根据第三、四步中得到的结果，用平滑曲线联接而画出函数的图形.5、求最大值和最小值:（1）找出内所有驻点及不可导点；（2）比较及与的大小；（3）；.二、定理与性质：定理1（单调性的判别法） 设函数在区间上连续，且在内可导，若在内，则在上单调增加；若在内，则在上单调减少.定理2（极值的必要条件） 设函数在点处可导，且在点处取得极值，则必有.定理3 （极值第一充分条件）设函数在的邻域内连续，在内可导，（1）如果在的左邻域内有，在的右邻域内有，则在点处取得极大值；（2）如果在的左邻域内有，在的右邻域内有，则在点处取得极小值；（3）如果，恒正或

13、恒负，则函数在点处无极值.定理4（极值第二充分条件）设函数在点处具有二阶导数，且，则当时，函数在点处取得极大值；当时，函数在点处取得极小值.定理5 设函数在区间上连续，在内具有一阶及二阶导数，则（1）若在内，则在上的图形是凹的；（2）若在内，则在上的图形是凸的.三、主要例题：例1 讨论函数的单调性. 例2 讨论函数在内的单调性.例3 讨论函数的单调性. 例4 判定函数的单调区间.例5 函数在导数不存在，显然函数在内严格单调减少，在内严格单调增加.例6 函数在导数不存在，而也是单调区间的一个分界点. 事实上，该函数在内严格单调增加，在内严格单调减少.例7 求出函数的单调区间和极值.例8 判断曲线的凹凸性.例9 判断曲线的凹凸性.例10 指出曲线的拐点及凹凸区间.例11 证明曲线没有拐点.例12 求曲线的拐点.例13 作函数的图形.例14 求函数在区间上的最大值和最小值.例15 已知铁路长为公里，工厂距公里（见图2-34），现要在铁路线上选一点，向工厂修筑公路，已知铁路与公路每公里费用之比，为使货物从到的运费最省，求的位置. 例16 某房地产公司有50套公寓要出租, 当租金定为每月1800元时, 公寓会全部租出去. 当租金每月增加100元时, 就有一套公寓租不出去, 而租出去的房子每月需花费200元的整修维护费. 试问房租定为多少可获得最大收入?