2022年《概率论与数理统计》课后习题参考答案.pdf

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1、精心整理概率论与数理统计习题及答案习题一1略.见教材习题参考答案. 2.设 A，B，C 为三个事件，试用A，B，C 的运算关系式表示下列事件：（1）A 发生， B，C 都不发生；（2）A 与 B 发生， C 不发生；（3）A，B，C 都发生；（4）A，B，C 至少有一个发生；（5）A，B，C 都不发生；（6）A，B，C 不都发生；（7）A，B，C 至多有 2 个发生；（8）A，B，C 至少有 2 个发生 .【解】（1）ABC（2）ABC（3）ABC（4）ABC=ABCABCABCABCABCABCABC=ABC(5)ABC=ABC(6)ABC(7)ABCABCABCABCABCABCABC=A

2、BC=ABC(8)ABBCCA=ABCABCABCABC3.略.见教材习题参考答案4.设 A，B 为随机事件，且P（A）=0.7,P(A B)=0.3，求 P（AB）.【解】 P（AB）=1 P（AB）=1 P(A) P(A B) =1 0.7 0.3=0.6 5.设 A，B 是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1）当 AB=A 时， P（AB）取到最大值为0.6. （2）当 AB=时， P（AB）取到最小值为0.3. 6.设 A，B，C 为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1

3、/3 且 P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C 至少有一事件发生的概率.【解】 P（ABC）=P(A)+ P(B)+P(C) P(AB) P(BC) P(AC)+P(ABC) =14+14+13112=347.从 52 张扑克牌中任意取出13 张，问有5 张黑桃， 3 张红心， 3 张方块， 2 张梅花的概率是多少？【解】 p=5332131313131352C C C C/C8.对一个五人学习小组考虑生日问题：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 45 页

4、 - - - - - - - - - - 精心整理（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；（3）求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1）设 A1= 五个人的生日都在星期日，基本事件总数为75，有利事件仅1 个，故P（A1）=517=（17）5（亦可用独立性求解，下同）（2）设 A2= 五个人生日都不在星期日，有利事件数为65，故P（A2） =5567=(67)5(3)设 A3= 五个人的生日不都在星期日 P（A3） =1 P(A1)=1 (17)59.略.见教材习题参考答案. 10.一批产品共N 件，其中 M 件正品 .从中随机地取出n 件（ n3

5、0.如图阴影部分所示. 22.从（ 0，1）中随机地取两个数，求：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 45 页 - - - - - - - - - - 精心整理（1）两个数之和小于65的概率；（ 2）两个数之积小于14的概率 . 【解】 设两数为 x,y，则 0 x,y1. （1）x+y65. (2)xy=14. 23.设 P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5，求 P（BAB）【解】()( )()()()( )()()P ABP AP ABP B ABP ABP

6、AP BP AB24.在一个盒中装有15 个乒乓球，其中有9 个新球，在第一次比赛中任意取出3 个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3 个球，求第二次取出的3 个球均为新球的概率. 【解】 设 Ai= 第一次取出的3 个球中有 i 个新球 ，i=0,1,2,3.B= 第二次取出的3 球均为新球 由全概率公式，有25.按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格 .据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：（ 1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】 设 A= 被

7、调查学生是努力学习的，则A= 被调查学生是不努力学习的. 由题意知P（A）=0.8， P（A）=0.2，又设 B= 被调查学生考试及格.由题意知 P（B|A）=0.9，P（B|A）=0.9，故由贝叶斯公式知（1）() ()()()( )( ) ()( ) ()P A P B AP ABP A BP BP A P B AP A P B A即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2)() ()()()( )( ) ()( )()P A P B AP ABP A BP BP A P B AP A P B A即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%. 26.将两信息分别编码为A

8、和 B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而 B 被误收作 A 的概率为 0.01.信息 A 与 B 传递的频繁程度为21.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A 的概率是多少？【解】 设 A= 原发信息是A，则 = 原发信息是B C= 收到信息是A，则 = 收到信息是B 由贝叶斯公式，得27.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）【解】 设 Ai= 箱中原有 i 个白球 （i=0,1,2） ，由题设条件知P（Ai）=13,i=0,1,2.又设 B= 抽出一球为白球.

9、由贝叶斯公式知28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 45 页 - - - - - - - - - - 精心整理【解】 设 A= 产品确为合格品，B= 产品被认为是合格品 由贝叶斯公式得29.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”， “一般的”， “冒失的” .统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的

10、概率依次为0.05,0.15 和 0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%， “一般的”占50%， “冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】 设 A= 该客户是“谨慎的” ，B= 该客户是“一般的”，C= 该客户是“冒失的”，D= 该客户在一年内出了事故 则由贝叶斯公式得30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】 设 Ai= 第 i 道工序出次品 （i=1,2,3,4）. 31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须

11、进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9? 【解】 设必须进行n次独立射击 . 即为(0.8)0.1n故 n11 至少必须进行11 次独立射击 . 32.证明：若 P（AB）=P(AB)，则 A，B 相互独立 . 【证】(|)(|)P A BP A B即()()( )( )P ABP ABP BP B亦即() ()()( )P AB P BP AB P B因此()() ()P ABP A P B故 A 与 B 相互独立 . 33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率. 【解】 设 Ai= 第 i 人能破译 （i=1,2,3） ，则

12、34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为 0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率 . 【解】 设 A= 飞机被击落 ，Bi= 恰有 i 人击中飞机 ，i=0,1,2,3 由全概率公式，得=(0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7)0.2+ (0.40.50.3+0.40.50.7+0.60.50.7)0.6+0.40.5 0.7 =0.458 35.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10 个病人服用，且

13、规定若10 个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：（ 1）虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率. （ 2）新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】（1）3101100C(0.35) (0.65)0.5138kkkkp精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 45 页 - - - - - - - - - - 精心整理(2)10102104C(0.25) (0.75)0.2241kkkkp36.一架升降机开始时有6 位乘客，并等可能地停

14、于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（ 1）A=“某指定的一层有两位乘客离开”；（ 2）B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；（ 3）C=“恰有两位乘客在同一层离开”；（4）D=“至少有两位乘客在同一层离开”. 【解】 由于每位乘客均可在10 层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种. （1）2466C 9()10P A，也可由 6 重贝努里模型：（2）6 个人在十层中任意六层离开，故（3）由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有26C种离开方式 .其余 4 人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式

15、：4人中有 3 个人在同一层离开，另一人在其余8 层中任一层离开，共有131948C C C种可能结果；4 人同时离开，有19C种可能结果；4 个人都不在同一层离开，有49P种可能结果，故（4）D=B.故37.n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：（1）甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；（2）甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3）如果 n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】（1）111pn(2)23!(3)!,3(1)!npnn(3)12(1)!13!(2)!;,3!nnppnnnn38.将线段 0，a任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】 设这

16、三段长分别为x,y,a x y.则基本事件集为由0 xa,0ya,0a x y正正（甲乙 ）=（甲正乙正）=（n+1 甲反n 乙反）=（甲反1+乙反）=（甲反乙反）由对称性知P（甲正乙正）=P（甲反乙反）因此 P(甲正乙正)=12精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 45 页 - - - - - - - - - - 精心整理46.证明“确定的原则” （Sure thing） ：若 P（A|C） P(B|C),P(A|C)P(B|C)，则 P（A） P(B). 【证】 由 P（A|C）

17、 P(B|C),得即有()()P ACP BC同理由(|)(|),P A CP B C得()(),P ACP BC故()()()()()()P AP ACP ACP BCP BCP B47.一列火车共有n 节车厢，有k(kn)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设 Ai= 第 i 节车厢是空的 ， （i=1,n）,则其中 i1,i2,in 1是 1，2， n 中的任 n 1 个. 显然 n 节车厢全空的概率是零，于是故所求概率为48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为0.试证明：不论0 如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则 A 迟早会出现的概率为1

18、.【证】在前 n 次试验中， A 至少出现一次的概率为49.袋中装有 m 只正品硬币， n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】 设 A= 投掷硬币r 次都得到国徽 B= 这只硬币为正品 由题知( ),()mnP BP Bmnmn则由贝叶斯公式知50.巴拿赫（ Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又有多少？【解】

19、以 B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有121()()2P BP B.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2n r 次，设 n 次取自 B1盒（已空），n r 次取自 B2盒，第 2n r+1 次拿起 B1，发现已空。把取2n r 次火柴视作2n r 重贝努里试验，则所求概率为式中 2 反映 B1与 B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空） . （ 2）前 2n r 1 次取火柴，有n 1 次取自 B1盒， n r 次取自 B2盒，第 2n r 次取自 B1盒，故概率为51.求 n 重贝努里试验中A 出现奇数次的概率. 【解】 设在一次试验中A 出现的概率为p.则由以上两式相减

20、得所求概率为若要求在 n 重贝努里试验中A 出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得211(1 2 ) 2npp. 52.设 A，B 是任意两个随机事件，求P（A+B） （A+B） （A+B） （A+B） 的值 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 45 页 - - - - - - - - - - 精心整理【解】 因为（ AB）（AB）=ABAB（AB）（ AB） =ABAB所求()()()()ABABABAB()()ABABABAB故所求值为0. 53.设两两相互独立的三事件，

21、A，B 和 C 满足条件：ABC= ，P(A)=P(B)=P(C)1/2，且 P（ABC）=9/16，求 P（A）. 【解】 由()( )()()()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC故1( )4P A或34,按题设 P（A）12,故 P（A）=14. 54.设两个相互独立的事件A 和 B 都不发生的概率为1/9，A 发生 B 不发生的概率与B 发生 A 不发生的概率相等，求 P（A）. 【解】1()()1()9P ABP ABP AB()()P ABP AB故()()()()P AP ABP BP AB故()( )P AP B由 A,B 的独立性，及、

22、式有故11( )3P A故2( )3P A或4( )3P A（舍去）即 P（A）=23. 55.随机地向半圆0y0,P(A|B)=1,试比较 P(A B)与 P(A)的大小 .(2006 研考 ) 解： 因为()()()()P ABP AP BP AB所以()( )()()()P ABP AP BP BP A. 习题二1.一袋中有 5 只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3 只，以 X 表示取出的3 只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律 . 【解】故所求分布律为X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6 2.设在 15 只同类型零件中有2 只为次品，在其中取3 次，每次任取1

23、 只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求：（1）X 的分布律；（2）X 的分布函数并作图；(3) 133,1,1,12222P XPXPXPX. 【解】故 X 的分布律为X 0 1 2 P （2）当 x0 时， F（x）=P（Xx）=0 当 0 x1 时，F（x）=P（Xx）=P(X=0)=2235当 1x2 时，F（x）=P（Xx）=P(X=0)+P(X=1)=3435当 x2 时，F（x）=P（Xx）=1 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 45 页 - - - -

24、- - - - - - 精心整理故 X 的分布函数(3) 3.射手向目标独立地进行了3 次射击，每次击中率为0.8，求 3 次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求 3 次射击中至少击中2 次的概率 . 【解】设 X 表示击中目标的次数.则 X=0，1，2，3. 故 X 的分布律为X 0 1 2 3 P0.008 0.096 0.384 0.512 分布函数4.（1）设随机变量X 的分布律为PX=k=!kak，其中 k=0，1，2，0 为常数，试确定常数a. （2）设随机变量X 的分布律为PX=k= a/N，k=1，2， N，试确定常数a.【解】（1）由分布律的性质知故ea(2)由分布律

25、的性质知即1a. 5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投 3 次，求：（1）两人投中次数相等的概率; （2）甲比乙投中次数多的概率. 【解】 分别令 X、Y 表示甲、乙投中次数，则Xb（3，0.6）,Yb(3,0.7) (1)()(0,0)(1,1)(2,2)P XYP XYP XYP XY33121233(0.4) (0.3)C 0.6(0.4) C 0.7(0.3)+ (2)()(1,0)(2,0)(3,0)P XYP XYP XYP XY=0.243 6.设某机场每天有200 架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该

26、机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】 设 X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则Xb(200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有即2002002001C(0.02) (0.98)0.01kkkkN利用泊松近似查表得 N9.故机场至少应配备9 条跑道 . 7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有 1000 辆汽车通过，问出事故的次数不小于2 的概率是多少（利用泊松定理）？【解】 设 X 表示出事故的次数，则Xb（1000，0.0001）

27、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 45 页 - - - - - - - - - - 精心整理8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足 PX=1= PX=2 ，求概率PX=4. 【解】 设在每次试验中成功的概率为p，则故13p所以4451210(4)C ( )33243P X. 9.设事件 A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当 A 发生不少于3 次时，指示灯发出信号，（1）进行了 5 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2）进行了 7 次独立试验，试求指示灯发出信号的

28、概率. 【解】（1）设 X 表示 5 次独立试验中A 发生的次数，则X6（5，0.3）(2)令 Y表示 7 次独立试验中A 发生的次数，则Yb（7，0.3）10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为 （1/2）t 的泊松分布， 而与时间间隔起点无关（时间以小时计）. （1）求某一天中午12 时至下午 3 时没收到呼救的概率；（2）求某一天中午12 时至下午 5 时至少收到1 次呼救的概率 . 【解】（1）32(0)eP X(2)52(1)1(0)1eP XP X11.设 PX=k=kkkpp22)1(C,k=0,1,2 PY=m=mmmpp44)1 (C,m=0,

29、1,2,3,4 分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P X1=59，试求 PY1. 【解】 因为5(1)9P X，故4(1)9P X. 而2(1)(0)(1)P XP Xp故得24(1),9p即1.3p从而465(1)1(0)1(1)0.8024781P YP Yp12.某教科书出版了2000 册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000 册书中恰有5 册错误的概率 . 【解】 令 X 为 2000 册书中错误的册数，则Xb(2000,0.001).利用泊松近似计算, 得25e 2(5)0.00185!P X13.进行某种试验， 成功的概率为34，失败的概率为14.以 X

30、表示试验首次成功所需试验的次数，试写出 X 的分布律，并计算X 取偶数的概率 .【解】1,2, ,Xk14.有 2500 名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1 月 1 日须交 12 元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000 元赔偿金 .求：（ 1）保险公司亏本的概率; 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 45 页 - - - - - - - - - - 精心整理（2）保险公司获利分别不少于10000

31、 元、 20000 元的概率 . 【解】 以“年”为单位来考虑. （ 1）在 1 月 1 日，保险公司总收入为250012=30000 元. 设 1 年中死亡人数为X，则 Xb(2500,0.002)，则所求概率为由于 n 很大， p 很小，=np=5，故用泊松近似，有(2)P(保险公司获利不少于10000) 即保险公司获利不少于10000 元的概率在98%以上P（保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)PXP X即保险公司获利不少于20000 元的概率约为62%15.已知随机变量X 的密度函数为f(x)=Ae|x|, x+, 求： （1）A 值； （2）P0 X1

32、;(3) F(x). 【解】（1）由( )d1f xx得故12A. (2)11011(01)e d(1 e )22xpXx(3)当 x0 时，11( )e de22xxxF xx当 x0 时，0| |0111( )ede de d222xxxxxF xxxx故1e ,02( )11e02xxxF xx16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f(x)=.100, 0,100,1002xxx求： （1）在开始 150 小时内没有电子管损坏的概率；（2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（3）F（x）. 【解】（ 1）15021001001(150)d.3P Xxx(

33、2)12231 24C( )3 39p(3)当 x100 时 F（x）=0 当 x100 时( )( )dxF xf tt精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 45 页 - - - - - - - - - - 精心整理故1001,100( )0,0 xF xxx17.在区间 0，a上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在0，a中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数 . 【解】 由题意知 X0,a，密度函数为故当 xa 时，F（x）=1 即分布

34、函数18.设随机变量X 在2，5上服从均匀分布.现对 X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3 的概率 . 【解】 XU2,5 ，即故所求概率为19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布1( )5E.某顾客在窗口等待服务，若超过10 分钟他就离开 .他一个月要到银行5 次，以 Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求PY1. 【解】 依题意知1( )5XE，即其密度函数为该顾客未等到服务而离开的概率为2(5,e)Yb,即其分布律为20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从 N（40，102

35、） ；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从 N（50，42）. （1）若动身时离火车开车只有1 小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？（2）又若离火车开车时间只有45 分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】（1）若走第一条路，XN（40，102） ，则若走第二条路，XN（50，42） ，则506050(60)(2.5)0.993844XP XP+ 故走第二条路乘上火车的把握大些. （2）若 XN（40，102） ，则若 XN（50，42） ，则故走第一条路乘上火车的把握大些. 21.设 XN（3，22） ，（1）求 P2 X 5，P 4X 10 ，PX 2，PX 3; （2）确定

36、c 使 PXc= P Xc. 【解】（1）23353(25)222XPXP(2)c=3 22.由某机器生产的螺栓长度（cm）XN（10.05,0.062）,规定长度在10.050.12 内为合格品 ,求一螺栓为不合格品的概率 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 45 页 - - - - - - - - - - 精心整理【解】10.050.12(|10.05| 0.12)0.060.06XPXP23.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，2） ，若要求P120

37、 X200 0.8，允许最大不超过多少？【解】120160160200160(120200)XPXP故4031.251.2924.设随机变量X 分布函数为F（x）=e,0,(0),00.xtABx,x（1）求常数 A，B；（2）求 PX2，PX3；（3）求分布密度f（x）. 【解】（1）由00lim( )1lim( )lim( )xxxF xF xF x得11AB（2）2(2)(2)1eP XF(3)e,0( )( )0,0 xxf xFxx25.设随机变量X 的概率密度为f（x）=.,0,21,2,10,其他xxxx求 X 的分布函数F（x） ，并画出 f（x）及 F（x）. 【解】 当 x

38、0 时 F（x）=0 当 0 x1 时00( )( )d( )d( )dxxF xf ttf ttf tt当 1x0; (2)f(x)=., 0,21,1, 10,2其他xxxbx试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）. 【解】（1）由( )d1f xx知| |021ed2edxxaaxax故2a即密度函数为e,02( )e02xxxf xx当 x0 时1( )( )de de22xxxxF xf xxx当 x0 时00( )( )de ded22xxxxF xf xxxx故其分布函数(2)由12201111( )ddd22bf xxbx xxx得 b=1 即 X 的密度函数为当 x0 时

39、F（x）=0 当 0 x1 时00( )( )d( )d( )dxxF xf xxf xxf xx当 1x0 时，( )()(e)(ln)xYFyP YyPyP Xy故2/2lnd( )111( )(ln)e,0d2yYYxFyfyfyyyyy(2)2(211)1P YX当 y1 时( )()0YFyP Yy当 y1 时2( )()(21)YFyP YyPXy故d1211( )( )d4122YYXXyyfyFyffyy(3)(0)1P Y精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 45

40、 页 - - - - - - - - - - 精心整理当 y0 时( )()0YFyP Yy当 y0 时( )(|)()YFyPXyPyXy故d( )( )( )()dYYXXfyFyfyfyy31.设随机变量XU（0,1） ，试求：（1）Y=eX的分布函数及密度函数；（2）Z= 2lnX 的分布函数及密度函数. 【解】（1）(01)1PX故(1ee)1XPY当1y时( )()0YFyP Yy当 1ye 时( )(e)(ln)XYFyPyP Xy当 ye时( )(e)1XYFyPy即分布函数故 Y 的密度函数为（2）由 P（0X0 时，( )()( 2ln)ZFzP ZzPXz即分布函数故 Z

41、 的密度函数为32.设随机变量X 的密度函数为f(x)=22,0 ,0,.xx其他试求 Y=sinX 的密度函数 . 【解】(01)1PY当 y0 时，( )()0YFyP Yy当 0y1 时，( )()(sin)YFyP YyPXy当 y1 时，( )1YFy故 Y 的密度函数为33.设随机变量X 的分布函数如下：试填上 (1),(2),(3) 项. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 45 页 - - - - - - - - - - 精心整理【解】 由lim( )1xF x知

42、填 1。由右连续性+00lim( )()1xxF xF x知00 x，故为0。从而亦为0。即34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6 点为止，求抛掷次数X 的分布律 . 【解】 设 Ai= 第 i 枚骰子出现6 点。 （i=1,2 ）,P(Ai)=16.且 A1与 A2相互独立。再设C= 每次抛掷出现6点 。则故抛掷次数X 服从参数为1136的几何分布。35.随机数字序列要多长才能使数字0 至少出现一次的概率不小于0.9? 【解】 令 X 为 0 出现的次数，设数字序列中要包含n 个数字，则Xb(n,0.1) 即(0.9)0.1n得 n22 即随机数字序列至少要有22 个数字。36.已知F（x

43、）=.21,1,210,21,0,0 xxxx则 F（x）是（）随机变量的分布函数. （ A）连续型；（B）离散型；（C）非连续亦非离散型. 【解】 因为 F（x）在（,+）上单调不减右连续，且lim( )0 xF xlim( )1xF x,所以 F（x）是一个分布函数。但是 F（x）在 x=0 处不连续，也不是阶梯状曲线，故F（x）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C）37.设在区间 a,b上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx，而在 a,b外， f(x)=0，则区间 a,b等于（）(A)0,/2;( B)0, ; (C) /2,0;(D)0,23. 【解】 在0,2上 sin

44、x0，且 / 20sind1x x.故 f(x)是密度函数。在0, 上0sind21x x.故 f(x)不是密度函数。在,02上sin0 x，故 f(x)不是密度函数。在30, 2上，当32x时， sinx0）=1，故 01 e2X1，即 P（0Y1）=1 当 y0 时，FY（y）=0 当 y1 时，FY（y）=1 当 0y1 时，2( )()(e1)xYFyP YyPy即 Y 的密度函数为即 YU（0，1）41.设随机变量X 的密度函数为f(x)=.,0,63,92, 10,31其他xx若 k 使得 PXk=2/3 ，求 k 的取值范围 .(2000 研考) 【解】 由 P（Xk）=23知

45、P（Xk）=13若 k0,P(Xk)=0 若 0k1,P(Xk)=011d333kkx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 45 页 - - - - - - - - - - 精心整理当 k=1 时 P（Xk）=13若 1k3 时 P（Xk）=10111d0d33kxx若 3k6，则 P（X6,则 P（Xk）=1 故只有当 1k3 时满足 P（Xk）=23. 42.设随机变量X 的分布函数为F(x)=.3,1, 31, 8.0,11,4 .0, 1,0 xxxx求 X 的概率分布 .

46、（1991 研考）【解】 由离散型随机变量X 分布律与分布函数之间的关系，可知X 的概率分布为X 1 1 3 P 0.4 0.4 0.2 43.设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等.若已知 A 至少出现一次的概率为19/27，求 A 在一次试验中出现的概率 . 【解】 令 X 为三次独立试验中A 出现的次数，若设P（A）=p,则Xb(3,p) 由 P（X1）=1927知 P（X=0）=（1 p）3=827故 p=1344.若随机变量X 在（ 1，6）上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0 有实根的概率是多少？【解】45.若随机变量XN（2，2） ，且 P2 X4=0.3 ，则P X0=.

47、 【解】222420.3(24)()XPXP故2()0.8因此2022(0)()()XP XP46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7 可以直接出厂；以概率0.3 需进一步调试，经调试后以概率0.8 可以出厂，以概率0.2 定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立） .求（1）全部能出厂的概率；（2）其中恰好有两台不能出厂的概率；（3）其中至少有两台不能出厂的概率. 【解】 设 A= 需进一步调试 ，B= 仪器能出厂 ，则A= 能直接出厂 ，AB= 经调试后能出厂 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下

48、载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 45 页 - - - - - - - - - - 精心整理由题意知 B=AAB，且令 X 为新生产的n 台仪器中能出厂的台数，则X6（n，0.94）, 故47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72 分， 96 分以上的占考生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在60 分至 84 分之间的概率 . 【解】 设 X 为考生的外语成绩，则XN（72，2）故24()0.977查表知242,即=12 从而 XN （72，122）故6072728472(6084)121212XPXP48.在电源

49、电压不超过200V、200V240V 和超过 240V 三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和 0.2（假设电源电压X 服从正态分布N（220，252） ）.试求：（1）该电子元件损坏的概率; (2)该电子元件损坏时，电源电压在200240V 的概率【解】 设 A1= 电压不超过200V ，A2= 电压在 200240V ，A3= 电压超过 240V ，B= 元件损坏 。由 XN（220，252）知由全概率公式有由贝叶斯公式有49.设随机变量X 在区间（ 1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y). 【解】1,12( )0,Xxfx其他因为 P（1

50、X2）=1,故 P（e2Ye4）=1 当 ye2时 FY（y） =P(Yy)=0. 当 e2y1 时，( )()(e)(ln)XYFyP YyPyP Xy即11,1( )0,1YyyFyy故21,1( )0,1Yyyfyy51.设随机变量X 的密度函数为fX(x)=)1(12x, 求 Y=13x的密度函数fY(y). 【解】33( )()(1)(1) )YFyP YyPXyP Xy故263(1)( )1(1)Yyfyy52.假设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为 t 的泊松分布 . （1）求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作8 小