2022年《比较法综合法分析法证不等式》导学案.pdf

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1、比较法、综合法、分析法证不等式导学案学科：高二数学课型：新授课课时： 2 课时编写时间： 2013510 编写人：兰霞审核人：张本如班级：姓名：第一节比较法【导案】【学习目标】1. 理解和掌握比较法证明不等式的理论依据。2. 掌握利用比较法证明不等式的一般步骤。3. 通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用。【学习重难点】重点：比较法证明不等式是本节的热点。难点：比较法常与证明指数、对数、数列、三角等不等式综合考查；比较法常常考查西方的思想、转化的思想、分类讨论的思想等。【学案】【自学导引】1. 因为 aba b0，要证ab，只需要证 _ ，同样要证 ab，只需证 _。2. 如果

2、a, b都是正数，要证ab，只需证 _；如果 a, b都是负数，要证ab，只需证 _ 。想一想： 1. 比较法作差后变形的目的是什么？2. 具有什么特点的不等式的证明适合作商比较法？哪种类型的不等式证明常用作商、哪些常用作差？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 【基础自测】1. 下列命题：当 b0 时， a bab 1；当 b0 时， abab1；当 a0, b 0 时，ab1ab；当 ab0 时，ab1ab。其中真命题有（）A.

3、B. C. D. 2. “a1”是“1a1”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知 a, b, c, d 都是正数， 且 bcad，则ab，acbd，22acbd，cd中最大的是 （）A. abB. acbdC. 22acbdD. cd4. 设 P=a2b2+5, Q=2ab-a2-4a, 且 ab1，a-2. 则 P、Q 的的大小关系是_。【例题分析】题型一：两代数式大小的比较【例 1】已知 xy0，试比较 (x2y2)(x y)与(x2y2)(xy)的大小。【练 1】设 a0, b0 且 ab，试比较aabb与 abba的大小。

4、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 题型二：作差比较法证明不等式【例 2】设 a0, b0，求证212ba212ab2121ba. 【练 2】设 ab 0，求证： 3a32b33a2b+2ab2. 题型三：作商比较法证明不等式【例 3】已知 a2，求证： loga(a 1)log(a1)a. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3

5、页，共 12 页 - - - - - - - - - - 【练 3】已知 abc0，求证： aabbcc)(21cbaabc. 【方法技巧】比较法的实际应用【示例】 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半以速度n 行走；乙有一半路以速度m 行走，另一半路以速度n 行走。如果mn，问甲、乙二人谁先到达指定地点？第二节综合法与分析法【导案】【学习目标】1. 理解综合法、分析法证明不等式的原理和思维特点。2. 掌握综合法、分析法证明简单不等式的方法和步骤。3. 能综合运用综合法、分析法证明不等式。【学习重难点】重点：综合法、分析法证明不等式是本节的热点。难点：不

6、等式常与函数、数列及三角相结合，考查综合论证不等式的思维能力。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 【学案】【自学导引】1. 综合法：一般地，从_出发，利用 _、_、_、_等，经过一系列的_、_而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫_或_。试一试： 归纳综合法证明不等式时常用的基本不等式。2. 分析法：证明命题时，从_出发，逐步寻求使它成立的_，直至所需条件为_或_ （定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题

7、成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种_ 的思想和证明方法。想一想： 分析法有哪几种书写格式？【基础自测】1. 如果 a0, b0，那么下列各式恒成立的是（）A. ba+ab2 B. |ab|2abC. 11()()abab4 D. 222ab2()2ab2. 若 ab0，下列各式中恒成立的是（）A. 22abababB. 2211ba22baC. 1aa1bbD. aabb精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 3. 若1a1b0，则

8、下列不等式（）a+bab； |a|b|； ab；ba+ab2 其中正确的有 _。【例题分析】题型一：综合法证明不等式【例 1】已知 a, b, cR，证明不等式：abccabcab，当且仅当a=b=c 时取等号。【练 1】已知 a, b, c 是不全相等的正数，求证：ccbabbacaacb3。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 题型二：用分析法证明不等式【例 2】已知 x0, y0，求证： (x2 y2)21(x3y3)31. 【

9、练 2】若 a, bR，且 ab=1。求证：21a21b2。题型三：综合利用综合法与分析法证明不等式【例 3】在某两个正数x, y 之间，若插入一个数a，使 x, a, y,成等差数列；若插入两个数 b, c，使 x, b, c, y 成等比数列，求证：(a1)2(b1)(c1). 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 【练 3】当 a2 时，求证：aa121aa。【方法技巧】不等式的证明与应用【示例】已知a, b, c 均为正数，证

10、明：a2+b2+c2+(1a+1b+1c)263，并确定 a, b, c 为何值时，等号成立。【达标检测】教材 P 25T19精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 比较法、综合法、分析法证不等式练案(一) 学科：数学编写人：兰霞审核人：张本如编写时间： 2013.5.10 班级：姓名：评分：一、选择题1. 若 a, b为不等的正数，则(abkakb)(ak1 bk1)(kN*)的符号（）A. 恒正B. 恒负C. 与 k 的奇偶性有关D

11、. 与 a, b 大小无关2. 设 a, b, c, d, m, nR, P=cdab, Q=ncmandmb，则有（）A. PQ B. PQ C. PQ D. PQ 3. 对 x1x20, 0a1，记 y1=aaxax1121, y2=axaax1121, 则 x1x2与 y1y2的关系为（）A. x1x2y1y2B. x1x2=y1y2C. x1x2y1y2D. 不能确定，与a 有关4. 已知 a, b 都是实数，那么“a2b2”是“ ab”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件二、填空题5. 若 cab0，比较大小：aca_bcb(

12、填“”“”或“”)。6. 设 m=|baba, n=|baba，那么它们的大小关系是m_n。7. 下列四个不等式： a0b; ba0; b0a; 0ba, 其中能使a1b1成立的充分条件有 _ 。8. 设 a5， 则3am4a与4an5a的大小关系是 _。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 三、解答题9. 设 a, b(0, )，且 a 0，比较2323abba与 ab 的大小。10. 设 mR, ab1, f(x)=1xmx，比较

13、 f(a)与 f(b)的大小。11. 设 a, b是非负实数，求证：a3b3ab(a2b2). 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 比较法、综合法、分析法证不等式练案(二) 学科：数学编写人：兰霞审核人：张本如编写时间： 2013.5.10 班级：姓名：评分：一、选择题1. 若 a0, b0，下列不等式中不成立的是（）A. baab2 B. a2b22ab C. baab22ab D. ba112ba22. 已知 xyz，且 x

14、yz=0，下列不等式中成立的是（）A. zy yz B. xzyz C. xyxz D. x|y|z|y| 3. 下面对命题“函数f(x)=x x1是奇函数”的证明不是综合法的是（）A. xR 且 x0 有 f(x)=(x)x1=(xx1)=f(x), f(x) 是奇函数B. xR 且 x0 有 f(x) f(x)=x x1(x)(x1)=0, f(x)= f(x), f(x) 是奇函数C. xR 且 x0， f(x) 0, )()(xfxf=xxxx11=1, f(x)=f(x), f(x) 是奇函数D. 取1x，2111) 1(f，又2111) 1(f，)()(xfxf，f(x)是奇函数4

15、. 若 ab1, P=ba lglg, Q=21(lg alg b), R=lg(2ba), 则（）A. RPQ B. PQR C. QPR D. PRQ 二、填空题5. 若直线 ax2by2=0(a0, b0)始终平分圆x2y24x2y8=0 的周长， 则ba21的最小值为 _。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 6. 已知 a, b, cR，则cbam111与acbcabn111的大小关系是 _。7. 设 a, b, cR,

16、且 a, b, c 不全相等，则不等式a3b3c33abc 成立的一个充要条件是_ 。8. 已知 abc，则)(cbba与2ca的大小关系为 _。三、解答题9. 已知|a|1, |b|1，求证：abba1 1。10. （1）已知 a, b, c R，且 abc=1，求证： a2 b2c231；（2）a, b, c 为互不相等的正数，且abc=1，求证：cba111cba. 11. 已知 an是首项为2，公比为21的等比数列， Sn为它的前 n 项和。（1）用 Sn表示 Sn1；（2）是否存在自然数c 和 k，使得cScSkk 12 成立。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -