（新整理）专题12 数形结合思想-【口袋书】2020年中考数学背诵手册.docx

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1、中考数学常见思想方法专题12 数形结合思想专题概述：数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考

2、常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。名词诠释：数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。 运用举例：一数形结合思想在绝对值中的运用1两只小虫A、B躺在数轴上睡大觉，已知它们之间的距离为10个单位长度，其中小虫A躺在数+4

3、对应的点上，小虫B所在位置的数的绝对值大于6，则小虫B所在位置表示的数是14【点睛】设小虫B所在位置表示的数是a，可得|a4|10，解可得答案【解析】解：设小虫B所在位置表示的数是a，有|a4|10，解可得a14或6，小虫B所在位置的数的绝对值大于6，a14故答案为14二数形结合思想在因式分解中的运用2将下图一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，请观察这四个图形的面积与拼成的大长方形的面积之间的关系（1）根据你发现的规律填空：x2+px+qx+pqx2+（p+q）x+pq（x+p）（x+q）（2）利用（1）的结论将下列多项式分解因式：x2+7x+10y27y+12【点睛】（1）根据一个正方形

4、和三个长方形的面积和等于由它们拼成的这个大长方形的面积作答；（2）根据（1）的结论直接作答【解析】解：（1）（x+p）（x+q）（4分）（2）x2+7x+10（x+2）（x+5）（6分）y27y+12（y3）（y4）（8分）三数形结合思想在函数中的运用3某物流公司的快递车和货车每天往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟图表示快递车距离A地的路程y（单位：千米）与所用时间x（单位：时）的函数图象已知货车比快递车早1小时出发，到达B地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A地晚1小时（1）请在图中画出货车距离A地的路程y（千米）与所用时间x（时）的函数图象；（2）求两

5、车在途中相遇的次数（直接写出答案）；（3）求两车最后一次相遇时，距离A地的路程和货车从A地出发了几小时？【点睛】（1）货车从出发到返回共10小时，所以前4小时一段、后4小时一段、中间2小时路程不变；（2）分别求出函数解析式解方程组即可【解析】解：（1）根据题意，图象经过（1，0）、（3，200）和（5，200）、（9，0）如图：（2）4次；（3）如图，设直线EF的解析式为yk1x+b1图象过（9，0），（5，200），200=5k1+b10=9k1+b1，k1=-50b1=450，y50x+450 ，设直线CD的解析式为yk2x+b2图象过（8，0），（6，200），200=6k2+b20=8

6、k2+b2，k2=-100b2=800，y100x+800 ，解由组成的方程组得：x=7y=100，最后一次相遇时距离A地的路程为100km，货车应从A地出发8小时四数形结合思想在几何中的运用4如图，在平面直角坐标系中，A（2，3），B（5，3），C（2，5）是三角形的三个顶点，求BC的长【点睛】根据点A、B、C的坐标求出AB、AC的长度，再利用勾股定理列式计算即可得解【解析】解：A（2，3），B（5，3），C（2，5）ACy轴，ABx轴，A90，AC532，AB523，在RtABC中，由勾股定理得，BC=AC2+AB2=22+32=135如图，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪

7、下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为8cm2或215cm2或27cm2【点睛】因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分三种情况进行讨论：（1）AEF为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可；（2）先利用勾股定理求出AE边上的高BF，再代入面积公式求解；（3）先求出AE边上的高DF，再代入面积公式求解【解析】解：分三种情况计算：（1）当AEAF4时，如图：SAEF=12AEAF=12448（cm2）；（2）当AEEF4时，如图：则BE541，BF=EF2-BE2=42-12=15，SAEF=12AE

8、BF=12415=215（cm2）；（3）当AEEF4时，如图：则DE743，DF=EF2-DE2=42-32=7，SAEF=12AEDF=1247=27（cm2）；故答案为：8cm2或215cm2或27cm26已知ABC的三边分别为m2n2，2mn，m2+n2（m，n为正整数，且mn），求证：ABC是直角三角形【点睛】判断一组数能否成为直角三角形的三边，就是看是否满足两较小边的平方和等于最大边的平方【解析】证明：（m2n2）2+（2mn）2m4+n42m2n2+4m2n2m4+n4+2m2n2（m2+n2）2，ABC是直角三角形五数形结合思想在最值问题中的运用7如图，点P是AOB内任意一点，

9、OP5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，PMN周长的最小值是5cm，则AOB的度数是（）A25B30C35D40【点睛】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PMDM，OPOC，COAPOA；PNCN，OPOD，DOBPOB，得出AOB=12COD，证出OCD是等边三角形，得出COD60，即可得出结果【解析】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，PMDM，

10、OPOD，DOAPOA；点P关于OB的对称点为C，PNCN，OPOC，COBPOB，OCOPOD，AOB=12COD，PMN周长的最小值是5cm，PM+PN+MN5，DM+CN+MN5，即CD5OP，OCODCD，即OCD是等边三角形，COD60，AOB30；故选：B8已知a、b均为正数，且a+b2，求W=a2+4+b2+1的最小值【点睛】将b2a代入W=a2+4+b2+1，得到W的关于a的表达式，再利用勾股定理，将表达式转化为直角三角形两斜边AP、BP的和，利用勾股定理求和即可【解析】解：得W=a2+22+(2-a)2+12，（5分）构造如下图形，其中ED2，AE2，BD1，AEl，BDl，P是ED上任意一点，点C是点A关于直线l的对称点，设PEa，则W=a2+22+(2-a)2+12=AP+BP，（5分）当B、P、C三点共线时，W的值最小，此时由勾股定理可求得a2+4+b2+1的最小值为13（5分）