2022年以圆为背景的相似三角形的计算与证明知识交流.pdf

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1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流以圆为背景的相似三角形的计算与证明【经典母题】如图 Z131，DB 为半圆的直径， A 为 BD 延长线上的一点， AC 切半圆于点E，BCAC 于点 C，交半圆于点 F.已知 AC12，BC9，求 AO 的长图 Z131经典母题答图解：如答图，连结 OE，设O 的半径是 R，则 OEOBR.在 Rt ACB中，由勾股定理，得ABAC2BC215. AC 切半圆 O 于点 E， OEAC， OEA90 C， OEBC， AEO ACB，OEBCAOAB，R915R15，解得 R458， AOABOB15R758. 【思想方法】利用圆的切

2、线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得到相似三角形，利用比例线段求AO 的长【中考变形】1如图 Z132，在 RtACB 中， ACB90，O 是AC 边上的一点，以O 为圆心， OC 为半径的圆与 AB相切于点 D，连结 OD. (1)求证： ADOACB；(2)若O 的半径为 1，求证： ACAD BC. 证明： (1)AB 是O 的切线，ODAB，图 Z132精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵

3、权请联系网站删除只供学习与交流 CADO90，AA， ADO ACB；(2)由(1)知，ADO ACB.ADACODBC， AD BCAC OD，OD1， ACAD BC. 22017 德州如图 Z133，已知 RtABC，C90，D 为 BC 的中点，以AC 为直径的 O 交 AB 于点 E. (1)求证：DE 是O 的切线；(2)若 AEEB12，BC6，求 AE 的长图 Z133 中考变形 2 答图解：(1)证明：如答图，连结OE，EC， AC 是O 的直径， AECBEC90， D 为 BC 的中点， EDDCBD， 12， OEOC， 34， 1324，即OEDACB， ACB90，

4、OED90， DE 是O 的切线；(2)由(1)知BEC90，在Rt BEC 与 Rt BCA 中，BB，BECBCA， BEC BCA，BEBCBCBA， BC2BE BA， AEEB12，设 AEx，则 BE2x，BA3x，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流 BC6， 622x 3x，解得 x6，即 AE6. 3如图 Z134，已知 AB 是O 的直径， BCAB，连结

5、 OC，弦 ADOC，直线 CD 交 BA 的延长线于点 E. (1)求证：直线 CD 是O 的切线；(2)若 DE2BC，求 ADOC 的值图 Z134 中考变形 3 答图解：(1)证明：如答图，连结DO. AD OC， DAOCOB，ADOCOD. OAOD， DAOADO， CODCOB.又COCO，ODOB， CODCOB(SAS )， CDOCBO90，即ODCD.又点 D 在O 上，直线 CD 是O 的切线；(2)由(1)知，CODCOB， CDCB. DE2BC，DE2CD.ADOC， EDA ECO，ADOCDECEDEDECD23. 42016 广东如图 Z135，O 是AB

6、C 的外接圆，BC 是O 的直径，ABC30.过点 B 作O 的切线 BD，与 CA 的延长线交于点D，与半径 AO 的延长线交于点 E.过点 A 作O 的切线 AF，与直径 BC 的延长线交于点 F. (1)求证： ACFDAE；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流(2)若 SAOC34，求 DE 的长；(3)连结 EF，求证： EF 是O 的切线图 Z135 中考变形 4

7、 答图解：(1)证明： BC 为O 的直径， BAC90，又ABC30，ACB60，又OAOC， OAC 为等边三角形，即 OACAOC60， AF 为O 的切线， OAF90， CAFAFC30， DE 为O 的切线， DBCOBE90， DDEA30，DCAF，DEAAFC， ACF DAE；(2)AOC 为等边三角形， S AOC34OA234， OA1，BC2，OB1，又DBEO30， BD2 3，BE3， DE3 3；(3)证明：如答图，过点O 作 OMEF 于点 M， OAOB， OAFOBE90， BOEAOF， OAF OBE(SAS )，OEOF，精品资料 - - - 欢迎下

8、载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流 EOF120，OEMOFM30， OEBOEM30，即OE 平分BEF，又OBEOME90， OMOB， EF 为O 的切线52017 株洲如图 Z136，AB 为O 的一条弦，点C 为劣弧 AB 的中点， E为优弧 AB 上一点，点 F 在 AE 的延长线上，且BEEF，线段 CE 交弦 AB于点 D. (1)求证：CEBF；(2)若 BD2，且 EAEBEC31

9、5，求 BCD 的面积图 Z136 中考变形 5 答图解：(1)证明：如答图，连结AC，BE，作直线 OC， BEEF， FEBF， AEBEBFF， F12 AEB， C 是AB的中点，ACBC， AECBEC， AEBAECBEC， AEC12 AEB， AECF，CE BF；(2)DAEDCB，AEDCEB， ADE CBE，ADCBAECE，即ADCB35，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请

10、联系网站删除只供学习与交流 CBDCEB，BCDECB， CBE CDB，BDCBBECE，即2CB15， CB2 5， AD6，AB8，点C 为劣弧 AB 的中点， OCAB，设垂足为 G，则 AGBG12AB4， CGCB2BG22， S BCD12BD CG12222. 6如图 Z137，AB 是 O 的直径， C 为O 上一点， AE 和过点 C 的切线互相垂直，垂足为 E，AE 交O 于点 D，直线 EC 交 AB 的延长线于点 P，连结AC，BC，PBPC12. (1)求证：AC 平分BAD；(2)探究线段 PB，AB 之间的数量关系，并说明理由图 Z137 中考变形 6 答图解：

11、(1)证明：如答图，连结OC. PE 是O 的切线，OCPE， AEPE，OCAE， DACOCA， OAOC， OCAOAC， DACOAC，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流 AC 平分BAD；(2)线段 PB，AB 之间的数量关系为AB3PB.理由： AB 是O 的直径， ACB90，BACABC90， OBOC， OCBABC， PCBOCB90，PCBPAC， P

12、 是公共角， PCB PAC，PCPAPBPC， PC2PB PA， PBPC12，PC2PB， PA4PB，AB3PB. 72016 枣庄如图 Z138，AC 是O 的直径， BC 是O 的弦， P 是O 外一点，连结 PA，PB，AB，已知 PBAC. (1)求证：PB 是O 的切线；(2)连结 OP，若 OPBC，且 OP8，O 的半径为 2 2，求 BC 的长图 Z138 中考变形 7 答图解：(1)证明：如答图，连结OB， AC 是O 的直径， ABC90， CBAC90 . OAOB， BACOBA， PBAC， PBAOBA90，即PBOB.精品资料 - - - 欢迎下载 - -

13、 - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流 PB 是O 的切线；(2)O 的半径为 2 2，OB2 2，AC4 2， OP BC， BOPOBCC，又ABCPBO90，ABC PBO，BCBOACPO，即BC2 24 28， BC2. 82017 聊城如图 Z139，O 是ABC 的外接圆， O 点在 BC 边上， BAC的平分线交 O 于点 D，连结 BD，CD，过点 D 作 BC 的平行线，与 AB 的延长线相交于

14、点 P. (1)求证：PD 是O 的切线；(2)求证： PBDDCA；(3)当 AB6，AC8 时，求线段 PB 的长图 Z139 中考变形 8 答图解：(1)证明： 圆心 O 在 BC 上， BC 是O 的直径， BAC90，如答图，连结 OD， AD 平分BAC， BAC2DAC， DOC2DAC， DOCBAC90，即ODBC， PD BC，ODPD， OD 为O 的半径，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网

15、络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流 PD 是O 的切线；(2)证明：PDBC， PABC， ABCADC， PADC， PBDABD180， ACDABD180， PBDACD， PBD DCA；(3)ABC 为直角三角形， BC2AB2AC26282100， BC10， OD 垂直平分 BC，DBDC， BC 为O 的直径， BDC90，在 Rt DBC 中，DB2DC2BC2，即 2DC2BC2100， DCDB5 2， PBD DCA，PBDCBDAC，即 PBDC BDAC5 25 28254. 【中考预测】2017 黄冈模拟 如图 Z1310，AB 为O 的直径， CD 与O

16、相切于点 C，且 ODBC，垂足为 F，OD 交O 于点 E.证明：(1)DAEC；(2)OA2OD OF. 图 Z1310 中考预测答图证明： (1)如答图，连结 OC， CD 与O 相切于点 C，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流 OCD90 . OCBDCF90 . DDCF90，OCBD， OBOC， OCBB， BAEC， DAEC；(2)BAEC， DB， ODBC， BFOOCD90， BOF DOC，OCOFODOB，即OAOFODOA， OA2OD OF.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -