2022年任意角的三角函数教案.pdf

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1、任意角的三角函数教案一、教材分析“任意角的三角函数”是人民教育出版社（A 版）普通高中标准实验教科书数学必修4 第一章第二节的内容，是第一章“任意角和弧度制”的后继内容。1、主要教学内容：符号；域和函数值在各象限的、三种三角函数的定义、公式一义弦、余弦、正切）的定、任意角三角函数（正知识结构图：利用单位圆理解任意角的三角函数3tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(:2;1)(kkk2、教材的地位与作用：“任意角的三角函数”是高中数学十分重要的内容，本节是三角函数第一章第二节第一课时，主要学习任意三角函数的定义，它是这一章也是整个三角函数部分的重要基础知识，在教材内容结构上起到一

2、个承上启下的作用，对三角函数的整体学习也至关重要。同时它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。最后对任意角的三角函数的探究过程中，使学生经历了观察、归纳、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，提高了他们探究问题、分析问题、解决问题的能力，帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，为以后的学习奠定了扎实的基础。所以这个内容要认真探讨教材，精心设计过程。二、学情分析1、知识基础：在初中时，学生已经学了“锐角三角函数”为本节理解三角函数的几何意义有帮助，以及在本章第一节“任意角与弧度制”的内容中学生用坐标不仅找出来任意角与象限角，而且还了解了它们的含义与性质，对角的范围和表示方

3、法有所了解，学习了弧度制，学生能够把以前所学过的角度都在弧度制下表示出来。2、能力基础：高一学生已初步具有抽象逻辑思维能力，相对于初中学生来说已经相对成熟，能在教师的引导下独立的解决问题。3、习惯情况 ：班级学生基础知识较扎实、思维较活跃，能较好的应用数形结合解决问题，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高。三、教学重难点1、重点：任意角三角函数的定义及分别在各个象限的符号判断法；终边相同角的诱导公式（一） ；2、难点：从函数角度理解以实数为自变量的任意角的三角函数，以及单位圆、有向线段的应用。四、教学目标1、知识与技能目标：借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义：能用直角坐标系

4、中角的终边与单位圆交点的坐标来表示锐角三角函数；能用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示任意角的三角函数；知道三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，正弦、余弦和正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数2、渗透数学的思想方法：学生的积极参与，亲身经历，通过观察，利用几何画板让同同学们进

5、一步理解任意角在坐标系中的几何样貌，体验坐标的优越性，数形结合思想的运用；老师引导学生回忆初中锐角三角函数的知识内容，提出猜想，运用几何画板，验证任意角的几何性质，提出单位圆的思想，感受计算机科技工具的快捷方便性，培养学生利用多媒体解决问题的方法；推导任意角的三角函数的过程类似于数学建模的过程，它贯穿了解析几何的始终，通过适当的建立坐标系与构造单位圆的方法，回忆以往三角函数的性质带入坐标系中，让学生有一种回忆旧知的习惯。总结规律，掌握方法，为后面三角函数的诱导公式等学习提供示范。3、情感态度与价值观：通过培养学生主动探究、合作交流的过程，加强了学生团队协作意识，感受探索的乐趣和成功的喜悦；养成

6、实事求是的科学态度和锲而不舍的精神；激发学生的学习兴趣、增强数学应用和创新意识，体会数学的美感，认识数学的科学价值、应用价值和文化价值；应用多媒体、几何画板等教学，提高学生的活跃性，让知识具有科学依据。五、教学教法1、教法：数学是集抽象与实践为一体的重要学科，因此在教学过程中，不仅要使学生“知其然”还要使学生“知其所以然”。考虑到学生的现状，主要采取“温故知新，逐步拓展”的形式让学生真正参与到教学，在学习中，得到体验。通过复习锐角三角函数的定义结合前面角的概念的推广提出问题：如何修正三角函数的定义？进一步扩展所学内容，发展新知识，从而激起学生探求新知的欲望，调动学生参与学习的积极性。教学中运用

7、多媒体工具提高直观性增强趣味性，并注意用新课程理念处理传统教材，使学生在学习活动自主探索、动手实践、合作交流，教师发挥引导者、合作者的作用，引导学生主动参与、揭示本质、经历过程、收获成果。主要以“教师主导、学生主体”的原则，采用“启发、引导发现式”教学方法组织教学。2、学法：在教学过程中，要充分调动学生的积极性和主动性，让学生从机械的“学答”向“学问”转变，从“学会”向“会学”转变，成为真正的学习的主人。这节课在指导学生的学习方法和培养学生的学习能力方面主要采取以下方法：分析归纳法、自主探究法、总结反思法。同时学生具备一定的自学能力，教学中通过学生对已掌握的知识进行拓展, 既培养学生从现有知识

8、探索新知识的能力, 又提高了学生解决问题的数学思想与数学意识。六、教学准备1、常规媒体（黑板）；3、“几何画板”、 ppt 课件制作。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - （为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维。）七、教学程

9、序1、设立情景、引入课题A、提问形式 ：上节课已经学习了角的推广，我们推广到了任意角，那么任意角给你留下印象最深的是什么？（预测答案：1、一个角可以表示出无数个角 补充：这些角就是在直角坐标系中与它终边相同的角，也就是相差360 度整数倍是吧 ；2、角度可以是正角、负角、零角；3、能够用角度表示它对应的弧长 补充：那么这个就是用弧度制来度量是吧，这样一个角就可以弧度数来表示它 4、如果把角放在直角坐标系中，当它终边一圈一圈转时，可以看见一种周而复始的现象 演示几何画板：以原点为顶点，x 轴非负半轴为始点，绕着顶点转动，角周而复始的现象，补充：其实最关键的是这个角是由旋转生成的 ）任意角的三角函

10、数多媒体展示图片让学生举出实例函数？圆周运动引入：任意角转动)()(（圆周运动时生活一个非常重要的运动，函数是数学当中用来刻画客观世界变化规律的一个数学模型，那就产生了这样一个问题：任意角的这种圆周运动应该用什么样的函数来刻画它呢？）2、启发诱导，探索新知A、【启发诱导】：在初中我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。上节课老师给大家布置了一个课后作业就是去复习锐角三角函数的定义，初中学的三角函数是在什么图形中定义的？（直角三角形），那么现在我们的角放在直角坐标系里面，我们要定义三角函数是不是同样需要一个直角三角形？B、【学生探索】：现在同学们结合所学的知识

11、在纸上用直角坐标系来表示出锐角三角函数，老师等一下要抽同学来展示自己的成果。（抽同学将成果贴在黑板上，并讲解自己的思路。）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - （总结补充：设锐角 的顶点与原点O重合，始边以x 轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象限，在 的终边上任取一点P(x,y),它与原点的距离022yxrOP，根据初中学过的三角函数我们有：xyrxrytan,cos,sin。 ）（1）锐角三角函数定义：A、 【老师启发】：【问题1

12、】这个就是锐角三角函数，它反映的是直角三角形中边角的关系，那么锐角三角函数它是不是真的函数呢？从高中函数定义这个角度你能不能解释一下呢？（预测回答1：rysin是函数，因为每一个y 都有唯一的x 与之对应（那这就涉及到一个问题了：这里自变量是（）谁是函数值呢（y） ）（预测学生纠正：函数值应该是ry）【问题 2】那么按照高中函数的定义你怎么来解释它就是函数？（预测答案2：y 取一个值时都有唯一的 与之对应 ）（预测学生纠正：应该是取定一个 值，有唯一的ry与它对应的 ）B、 【老师总结】：唯一确定的定任取ry（那么只要满足这样一个关系就是一个函数是吧，于是xyrxtan,cos同理）(2) 、

13、单位圆思想： A、 【老师启发】 ： （任取，ry这个比值是唯一确定，那这个比值是不是和P 点的位置有关呢（是的）这个比值是随着P 点的变化而变化吗？那我角给定的情况下会不会改变它的比值呢？（不会） ，为什么（因为角给定了，sin( ) 是定的所有比值是不变的） （几22yxr精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 何画板播放）当角 给定时， P 在终边上运动，坐标变化，但是比值不变，这是为什么呢？依据是什么（相似），所以有了相似的比可以

14、保证我们的ry这个比值并不是随着终边上点的位置变化而变化的，只要角给定了这个比值也是给定了的。既然ry这个比值与点在终边上的位置无关，那这个点可以在终边上位置随意取吧（可以），那么一般我们取什么地方比较好呢（r=1 ） ，那 r=1 时有什么好处？是不是直接可以写出：xyxyxyrxryrtancossintancossin1那么此时 x、y 对应的几何含义是什么？如果把x、y 看成一个点P(x,y) 这个点是一个怎样的点？ B、 【老师总结】 ：P(x,y) 是单位圆与角 终边的交点。当角 是锐角时，就可以得到一个结论xyxytan,cos,sin, 找到了这个边和角的关系。（3） 、利用单

15、位圆与锐角三角函数的定义，定义任意角的三角函数： A、 【老师引导】：而且我们发现当 是锐角的时候，rysin就是一个函数，是以角为自变量， y 为函数值得一个函数，那我们能不能用它来刻画整个圆周运动呢？刚才呢角是锐角的时候，我们找到了这些量之间的关系，那如果这个角是钝角呢？这个关系还有没有呢？ （几何画板） 我把它变为钝角，大家发现钝角现在不好放在直角三角形中了，但是给你一个角是不是依然有一个x、y 与它对应啊？（是） ，那如果我把它变成第三象限角，是不是仍然有个x、y 与它对应啊？（是） ，也就是无论角怎么改变，那么就有一个结论，任给一个角都有一唯一的x、y 与它对应是吧（是） ，利用之前

16、锐角三角函数的定义，那同样我们也可以说明，就把这个y 叫做 的正弦， x 就叫它的余弦：;tantan)3(;cos,cos)2(;sin,sin) 1(),(xyxyxxyyyxP，即的正切，记做叫做即的余弦，记做叫做即的正弦，记做叫做那么：边与单位圆交于点是一个任意角，它的终设任意角三角函数定义：那么这三个以角为自变量，以坐标或者坐标的比值为函数值的函数，我们就把它称作是任意角的三角函数。那么从函数的角度分析一下，函数应该有个三要素，那这些函数的定义域是什么呢？（预测答案：因为它是任意角，所有它的定义域应该是,）也就是实数R 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -

17、 - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 那吗？中Rxytan（ry是个比值，所有x0）那也就是说对点P 的位置有要求是吧（ OP不能与 x 轴垂直）也就是角 不能落在y 轴上，那么对角 也应该是有条件的 Zkk，2，可以看出，当=)(2Zkk时， 的终边在 y 轴上，这时点 P的横坐标 x 等于 0，所以 tan =ry无意义。 B、 【 老师总结】：。，且其中，即的正切，记做叫做，其中即的余弦，记做叫做其中即的正弦，记做叫做那么：边与单位圆交于点是一个任意角，它的终设任意角三角函数定义：ZkkRx

18、yxyRxxRyyyxP2tantan)3(;cos,cos)2(;,sin,sin)1 (),(对于确定的，上述三个值都是唯一确定的，所以正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，所以我们将它们统称为三角函数。由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数。 3 、随堂练习，巩固新知例 1（1） 、任给一个角，“口算”它的三角函数值：( 配合几何画板解决问题) )4(tan13cos)1(270sin）（o（2）如果角 的正弦值为sin =-1, 你能写出其中的一个角吗？（270 度，应为sin =y=-1 就是单位圆

19、与Y 轴的交点在y 轴的负半轴上，所以点p 的坐标为（ -1 、0）所以角 的终边是 y 轴的负半轴， =270 度）推广： 其实还有没有啊（有）很多很多，能不能表示啊？就是 =）（Rkk223（那为什么他们的正弦值都为-1 呢， （因为他们的终边都相同，都是y 轴的负半轴）那对于任意的角，只要与它终边相同的角的正弦值都相同吗？（几何画板演示） ，我们就可以表示为：sin)2sin(k，那么对于余弦值，正切值也一样吗（几何画板演示）。总结结论： 由三角函数定义，可以知道终边相同的角的同一三角函数的值相等精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归

20、纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - .,tan)2tan()(,cos)2cos(,sin)2sin(Zkkkk其中公式一（由公式一可知，三角函数值有“周而复始”变化规律，即角 的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现，所以利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0 到2（或 0360 度）角的三角函数值。 ）探究（ p13）符号判定，形象记忆那么刚刚所给的角都是特殊的角，如果我任取一个角，如391.11度，那这个角有些特点还是可以把握的，比如说，这个角终边现在这里，那么这个角的正弦值、余弦值、正切值的符号你能确定吗

21、？根据什么来确定呢？（象限）为什么根据象限就可以判定它的符号呢？假设这个点在第一象限呢？（预测答案：因为在第一象限，x、y 的值都是正的，于是比值也是正的，而：xyxytan,cos,sin，所以这个角的正弦、余弦、正切值也都是正的）其实根据坐标的符号就可以断定三角函数值得符号有没有道理啊？（有）那么总结不同象限的函数值，根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：（同好得正、异号得负）sin = y/r：上正下负横为0 cos =x/r ：左负右正纵为0 tan =y/x ：交叉正负（设计意图：判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求. 要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆

22、三角函数值的正负符号，并总结出形象的识记口诀，这也是理解和记忆的关键. ）现在我们就应用这个道理大家算算看：变式练习：例 2、不求值你是否能判断下列三角函数值的符号？)611tan()54cos()5050sin(例 3、已知角 的终边过点)23,21(P，求 的正弦、余弦、正切值？（几何画板）（因为 r=1 所以可以看做是单位圆与的终边的交点那么xyxytan,cos,sin）（那么通过刚才的这些例题，就是为了巩固三角函数定义的认识）4、形成测试，评价回授思考题： 一个质点从点（1、0）出发，在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，若经过y x y x y x 精品资料 - - - 欢迎下载

23、- - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 弧长为 x，试用 x 表示质点所在位置P 点的坐标。（配合几何画板质点运动讲解）（这样来看，三角函数确实能够很好的表示圆周运动是吧）课堂练习（ p15 题 3）填表：角 （角度）090180270360角 （弧度）sincostan处理：要求取点用定义求解，针对计算过程提问、点评，理解巩固定义。强调：终边在坐标轴上的角叫轴线角，如0、 /2、 、3 /2等，今后经常用到轴线角的三角函数值，要结合三角函数定义记熟这些值。（设计意图：

24、及时安排自学例题、自做教材练习题，一般性与特殊性相结合，进行适量的变式练习，以巩固和加深对三角函数概念的理解，通过课堂积极主动的练习活动进行思维训练，把“培养学生分析解决问题的能力”贯穿在每一节课的课堂教学始终。）5、小结（1）利用单位圆定义三角函数的定义：锐角三角函数与解直角三角形直接相关，初中我们是利用直角三角形边的比值来表示其锐角的三角函数通过今天的学习，我们知道任意角的三角函数虽然是锐角三角函数的推广，但它与解三角形已经没有什么关系了我们是利用单位圆来定义任意角的三角函数，借助直角坐标系中的单位圆，我们建立了角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，进而利用单位圆上点的坐标或坐标的比值

25、来表示圆心角的三角函数你能再回顾一下我们是如何借助单位圆给出任意角三角函数的定义吗？师生活动： 在学生给出定义之后，教师进一步强调用单位圆定义三角函数的优点。（2）公式一、三角函数符号：今天我们不仅学习了任意角三角函数的定义，还接触了定义的一些应用你能不能归纳一下，今天我们利用定义解决了哪些问题？师生活动： 在学生回顾与总结的基础上，教师有意识地引导学生体会定义应用过程中所蕴含的数形结合思想。6布置 作业教科书 P. 20 习题 1.2A 组第 1，2，3（1） 、 （3） ，4（1） 、 （3） ，5，6（1） 、 （2） 、 （3） ，7（1） 、 （3） ，8（1） 、 （3） ，9 题

26、设计意图：根据本节课所涉及到的三角函数定义应用的几个方面，从教科书中选择作业题试图通过作业，让学生进一步理解三角函数的概念，并从中评价学生对三角函数概念理解的情况八、板书设计1.2.1 任意角的三角函数一、三角函数的定义三角函数定义推导过程回顾二、公式一锐角三角函数贴图三、三角函数在不同象限的符号精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 九、教学反思上述教学设计及具体教学实施过程我认为有以下几点意义： 1. 教学设计紧扣课程标准的要求，重点

27、放在任意角的三角函数的理解上。背景创设符合学生的认知特点和学生的身心发展规律具体到抽象，现象到本质，特殊到一般，这样有利学生的思考。 2. 情景设计的数学模型很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好引入在直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，同时能够揭示函数的本质。 3. 通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，让学生在情境中活动，在活动中体验数学与自然和社会的联系、新旧知识的内在联系，在体验中领悟数学的价值，它渗透了蕴涵在知识中的思想方法和研究性学习的策略，使学生在理解数学的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。这和课程标准的理念是一致的。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -