2022年《高等代数》教学大纲.pdf

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1、高等代数课程大纲课程编号： 129002 课程类型：学科基础课授课对象：应用数学专业，金融实验班，经济实验班开课学期：第一、二学期学分： 4+4 学分课时： 72 + 72，习题课： 36 + 36 先修课：初等代数主讲教师：阳庆节，戚发全等指定教材：北大数学系高等代数高等教育出版社2003 年第三版考核方式：考试（闭卷）教学目的： 高等代数课程是一门基础理论课。近年来，由于自然科学，社会科学和工程技术的迅速发展， 特别是由于电子计算机的普遍应用，使得代数学得到日益广泛的应用。这就要求数学专业的本科学生不仅了解代数学的一些计算问题，还应具备代数学的基础理论知识，以便融会贯通的运用代数学的工具去

2、解决理论上和实践上遇到的各种问题。本课程包括一元多项式理论，线性代数， 其中以线性代数为主，具有很强的抽象性与逻辑性。 本课程注重培养学生科学的思维方式，提高分析问题和解决问题的能力；同时渗透现代数学的观点和的思想。通过本课程的学习，要求学生能够掌握多项式理论的基本概念，线性方程组的基本理论，矩阵的基本运算和技巧，线性空间与欧几里得空间的基本性质，线性变换的基本概念和方法。使学生具有一定的抽象思维能力，并了解一些解决实际问题的方法，从而为学生学习后继课程打下必要的数学基础。第 一 学 期第一讲预备知识课时： 1.5 周，共 6 课时讲授内容：集合和映射二元运算整数系统数学归纳法数域要求：理解集

3、合的概念。掌握集合的各种运算（并，交，补，差）及其规律。了解集合直积的概念。理解映射的的概念，了解描述映射的方法。了解复合映射，逆映射的概念，熟练掌握可逆映射的判别条件和性质。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 知道关系和等价关系的概念。知道二元映射的概念。了解整数系统的性质和良序定理，熟练掌握数学归纳法原理。知道数域的概念。第二讲线性方程组课时： 4 周，共 16 课时讲授内容：Gauss消元法线性相关性矩阵的秩线性方程组有解判别定

4、理线性方程组解的结构应用要求：掌握 Gauss消元法。了解线性方程组解的情况。理解n维向量空间及其子空间，线性相关性，基，维数和向量组秩的概念。掌握向量组求秩的方法。理解非齐次线性方程组有解的判别定理。理解齐次线性方程组解空间的概念及齐次线性方程组有非零解的充要条件。理解线性方程组的基础解系、通解等概念及解的结构。熟练掌握用初等变换求线性方程组通解的方法。第三讲矩阵代数课时： 5.5 周，共 22 课时讲授内容：矩阵的基本概念矩阵的代数运算矩阵的转置矩阵的逆分块矩阵矩阵的初等变换求逆矩阵的初等变换法块初等变换要求：理解矩阵的概念，知道单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、准对角矩阵、上（下）三角矩阵、

5、对称矩阵和反对称矩阵的性质。熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算规律。掌握矩阵的初等变换，熟悉初等矩阵与初等变换的关系。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 了解矩阵的标准形和阶梯形的概念，掌握矩阵求阶梯形和标准形的方法。理解逆矩阵的概念及其存在的充要条件，掌握矩阵求逆的方法。理解矩阵的秩的概念，会求矩阵的秩。知道满秩矩阵的性质。熟练掌握矩阵的分块运算。会解简单的矩阵方程。第四讲行列式课时： 4.5 周，共 18 课时讲授内容

6、：引言排列n阶行列式行列式的性质行列式按一行（列）展开乘法公式，逆矩阵的行列式算法Cramer 法则Laplace 定理要求：了解nn 级排列的概念。了解行列式的定义。理解行列式的性质，熟练掌握行列式的计算。掌握行列式按行（列）展开公式。掌握 Cramer 法则。会用 Laplace 展开定理。第五讲二次型课时： 2.5 周，共 10 课时讲授内容：二次型的矩阵表示二次型的标准形规范形的唯一性正定二次型要求：理解二次型及其矩阵表示。会用非退化线性替换化二次型为标准形。理解矩阵的合同关系，规范型。知道实 (复)对称矩阵的合同分类。知道惯性定理、二次型的秩。掌握用正交替换化实二次型为标准形。精品资

7、料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 理解正定二次型，正定矩阵的概念，掌握它们的判别法。第 二 学 期第六讲一元多项式课时： 4 周，共 16 课时讲授内容：引言整除性最大公因式因式分解定理重因式多项式函数复多项式与实多项式有理多项式要求：理解一元多项式的概念，掌握其加法、乘法运算规律。掌握多项式的带余除法，了解多项式的整除概念。理解最大公因式的概念及其判别条件。会用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。理解互素的概念，熟练掌握互素的判别条件和

8、性质。*知道结式的概念及判断两个非零多项式互素的条件。理解不可约多项式的概念，知道因式分解及唯一性定理。熟练掌握余数定理，了解多项式根的概念，会用综合除法。了解重因式的概念，会判别一个多项式是否有重因式。知道代数基本定理。知道实数域和复数域上的多项式因式分解定理。了解本原多项式的概念，掌握Eisenstein 判别法。掌握求整系数多项式的有理根的方法。第七讲线性空间课时： 3.5 周，共 14 课时讲授内容：线性空间的定义与简单性质维数、基与坐标基变换与坐标变换线性空间的同构线性子空间子空间的交与和子空间的直和要求：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢

9、迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 理解线性空间的概念。理解向量组线性相关、线性无关的定义及相关的重要结论。理解向量组的极大无关组与向量组的秩的概念。理解基、维数及坐标的概念，掌握基变换与坐标变换的关系。理解子空间的概念。了解子空间交与和的性质。理解子空间直和的概念及其等价条件。了解线性空间的同构概念。*知道商空间的概念。第八讲线性变换课时： 6.5 周，共 26 课时讲授内容：线性映射线性映射的运算线性映射和线性变换的矩阵特征值与特征向量对角矩阵线性变换的秩与零度不变子空间最小多项式幂零矩阵Jordan 标准

10、形应用要求：理解线性映射的概念。知道单位变换的性质。熟练掌握线性映射的运算及其性质。了解线性映射与矩阵的关系。了解线性映射的值域、核、秩、零度的概念。掌握线性变换的矩阵表示。了解线性变换在不同基下的矩阵的关系。理解相似矩阵的概念及性质。理解线性变换的特征值与特征向量的概念并熟练掌握其求法。了解线性变换不变子空间的概念。了解矩阵可对角化的充要条件。会求实对称矩阵的相似对角矩阵。理解线性变换的多项式的核之间的关系，了解Cayley-Hamilton 定理。了解线性变换和矩阵的最小多项式及Jordan 标准形。第九讲欧式空间课时： 4 周，共 16 课时讲授内容： 线性函数与双线性函数内积标准正交基

11、， Gram-Schmidt 正交化过程欧氏空间的子空间精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 正交变换对称变换应用要求：了解线性函数的概念及其性质。知道对偶空间和对偶基的定义。了解双线性函数的概念及其与矩阵之间的关系。知道对称双线性函数和反对称双线性函数。理解内积的概念及其性质。了解欧氏空间中向量的长度，向量之间的夹角及正交的概念。理解标准正交基的概念。掌握Schmidt 正交化过程。了解QR 分解。理解正交变换、正交矩阵的概念及其性质

12、。理解对称变换的概念及其性质。了解欧氏空间同构的概念。了解欧氏空间子空间的正交关系，了解正交补的概念。知道向量到子空间的距离概念，了解正交投影和最小二乘法。*知道复线性空间的内积，复内积空间，标准正交基，正交补，酉变换，Hermite 变换。必读书目1.北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，高等代数 (第三版 )，北京： 高等教育出版社，2003 选读书目1.丘维声，高等代数(第二版 )，北京：高等教育出版社，2002 2.许以超，代数学引论，上海：上海科技出版社，1983 3.张禾瑞、郝炳新，高等代数(第三版 ). 北京：高等教育出版社，1984 4.Jain,S.K. & Gunawardena,A.D. Linear Algebra: An Interactive Approach, 北京：机械工业出版社, 2003 5.Lay, D.C. Linear Algebra and Its Applications(Third Edition), 北京：电子工业出版社, 2004 执笔人：阳庆节戚发全2008 年 12 月 03 日精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -