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1、概率论习题五详解1、设为离散型的随机变量,且期望、方差均存在,证明对任意,都有证明 设 则=2、设随机变量和的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5,请利用切比雪夫不等式证明:。证 3、一枚均匀硬币要抛多少次才能使正面出现的频率与0.5之间的偏差不小于0.04的概率不超过0.01?解设为 次抛硬币中正面出现次数,按题目要求,由切比雪夫不等式可得从而有 即至少连抛15625次硬币,才能保证正面出现频率与0.5的偏差不小于0.04的概率不超过0.01。4、每名学生的数学考试成绩是随机变量,已知,(1)试用切比雪夫不等式估计该生成绩在70分到90分之间的概率范围;(2)多名学生参加数学
2、考试,要使他们的平均分数在75分到85分之间的概率不低于90%,至少要有多少学生参加考试?解 (1)由切比雪夫不等式 又 =即该生的数学考试成绩在70分到90分之间的概率不低于75%(2)设有个学生参加考试(独立进行),记第个学生的成绩为 ,则平均成绩为,又, 则由切比雪夫不等式可得: 要使上述要求不低于90%,只需,解得,即有10个以上的学生参加考试,就可以达到要求。5、设800台设备独立的工作,它们在同时发生故障的次数,现由2名维修工看管,求发生故障不能及时维修的概率。解 在二项分布表(附表1)中不能查出。,使用正态分布近似计算:若使用正态分布近似计算: ,6、对于一个学生而言,来参加家长
3、会的家长人数是一个随机变量,设一个学生无家长来、有1名家长来、有2名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15。若学校共有400名学生,设每个学生参加会议的家长数相互独立且服从同一分布,求:(1)参加会议的家长数超过450的概率;(2)每个学生有一名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。解 (1)以 表示第个学生来参加会议的家长数,则的分布律为:0120.050.80.15所以,而由中心极限定理知: (2)以表示每个学生有一名家长来参加会议的个数,则由中心极限定理知: 则7、射手打靶得10分的概率为0.5,得9分的概率为0.3,得8分、7分和6分的概率分别0 .1、0.05和0.
4、05,若此射手进行100次射击,至少可得950分的概率是多少?解 设为射手第次射击的得分,则有1098760.50.30.10.050.05且 , , 由中心极限定理得:8、某产品的不合格率为0.005,任取10000件中不合格品不多于70件的概率为多少?解 依题意,10000件产品中不合格品数,由,故可用二项分布的正态近似,所求概率为9、某厂生产的螺丝钉的不合格品率为0.01,问一盒中应装多少只螺丝钉才能使盒中含有100只合格品的概率不小于0.95?解 设 为一盒装有的螺钉数,其中合格品数记为,则有,该题要求,使得下述概率不等式成立。或利用二项分布的正态近似,可得: 因此, 解得, 这意味着
5、,每盒应装104只螺钉,才能使每盒含有100只合格品的概率不小于0.95。(B)1、为确定一批产品的次品率要从中抽取多少个产品进行检查,使其次品出现的频率与实际次品率相差小于0.1的概率不小于0.95。解:依题意,可建立如下概率不等式 其中是这实际的次品率,如抽取个产品则次品的频率,由中心极限定理,近似服从正态分布:从而有 查表可得 :或由于未知,只得放大抽检量,用1/2代替 ,可得:,可见,需抽查96个产品才能使其次品率与实际次品率相差0.1小于的概率不小于0.95。2、 假设批量生产的某产品的优质品率为60%,求在随机抽取的200件产品中有120到150件优质品的概率解 记随机抽取的200件产品中优质品的的件数,则服从二项分布,参数为n=200,p=0.60;由于n=200充分大,故根据棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理,近似地3、设随机变量服从参数为的泊松分布,是独立与同分布随机变量,证明:对任意,都有证明 由于独立同泊松分布,可见也独立同分布,而且数学期望存在:因此,根据辛钦大数定律,有4
限制150内