2022年一次函数应用题的解题方法.pdf

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1、一次函数应用题的解题方法一. 使用直译法求解一次函数应用题所谓直译法就是将题中的关键语句“译”成代数式，然后找出函数关系、列出一次函数解析式，从而解决问题的方法。例题 1东风商场文具部的某种毛笔每支售价25 元，书法练习本每本售价5 元。该商场为促销制定了甲、乙两种优惠办法。甲：买 1 支毛笔就赠送1 本书法练习本；乙：按购买金额打9 折付款。某校书法兴趣小组打算购买这种毛笔10 支，这种书法练习本x(x=10) 本。（1）分别写出按甲、乙两种优惠办法实际付款金额y 甲（元）、 y 乙（元）与x 之间的函数关系式。（2）比较购买不同数量的书法练习本时，按哪种优惠办法付款最省钱。（3）如果商场允

2、许既可以选择一种优惠办法购买，也可以用两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10 支和这种书法练习本60 本设计一种最省钱的购买方案。分析 ：只需根据题意，按要求将文字语言翻译成符号语言，再列出一次函数关系式即可。解：（ 1）y 甲=1025+5（ x-10 ）=5x+200（x=10）y 乙=1025+5x=+225（ x=10）（2）由（ 1）有： y 甲-y 乙=若 y 甲-y 乙=0 解得 x=50若 y 甲-y 乙0 解得 x50若 y 甲-y 乙0 解得 x50当购买50 本书法练习本时，按两种优惠办法购买实际付款一样多，即可任选一种优惠办法付款；当购买本数不小于10 且小于 50

3、时，选择甲种优惠办法付款省钱；当购买本数大于50 时，选择乙种优惠办法付款省钱。（3）设按甲种优惠办法购买a(0=a=10) 支毛笔，则获赠a 本书法练习本。则需要按乙种优惠办法购买10-a 支毛笔和 (60-a) 支书法练习本。总费用为y=25a+25精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - （10-a ）+5（ 60-a）=495-2a 。故当 a 最大（为10）时， y 最小。所以先按甲种优惠办法购买10 支毛笔得到10 本书法练习本

4、，再按乙种优惠办法购买50 本书法练习本，这样的购买方案最省钱。说明 ：本题属于“计算、比较、择优”型，它运用了一次函数、方程、不等式等知识，解决了最优方案的设计问题。二. 使用列表法求解一次函数应用题列表法就是将题目中的各个量列成一个表格，从而理顺它们之间的数量关系，以便于从中找到函数关系的解题方法。例题 2某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50 件。已知：生产一件A 种产品需用甲种原料9kg、乙种原料3kg，可获利润 700 元；生产一件B种产品需用甲种原料4kg、乙种原料10kg，可获利润1200 元。（1）若安排 A、B两种产品的

5、生产，共有哪几种方案？请你设计出来。（2）设生产A、B 两种产品获得的总利润是y 元，其中一种产品的生产件数是x，试写出 y 与 x 之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中的哪种生产方案可以获得最大总利润。最大的总利润是多少？分析 ：本题中共出现了9 个数据，其中涉及甲、乙两种原料的质量，生产A、B两种产品的总件数及两种产品所获得的利润等。为了清楚地整理题目所涉及的各种信息，我们可采用列表法。解：（ 1）设安排生产A种产品 x 件，则生产B种产品是（ 50-x ）件产品每件产品需要甲种原料（ kg）每件产品需要乙种原料（ kg）每件产品利润（元）件数A93700 xB410120050

6、-x根据题意得：解不等式组，得30=X=32精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 因为 x 是整数，所以x 只可取 30、31、32，相应的 (50-x) 的值是 20、19、18。所以，生产的方案有三种：生产A种产品 30 件， B 种产品 20 件；生产A种产品 31件， B种产品 19 件；生产A种产品 32 件， B种产品 18 件。（2）设生产 A种产品的件数是x，则生产 B种产品的件数是50-x 。由题意得： y=700 x

7、+1200*(50-x)=-500 x+60000（其中 x 只能取 30、 31、32）因为-5000 所以 y 随 x 的增大而减小 , 当 x=30 时， y 的值最大因此，按（ 1）中第一种生产方案安排生产，获得的总利润最大最大的总利润是：- 50030+60000=45000 （元）说明 ：本题是先利用不等式的知识，得到几种生产方案，再利用一次函数性质得出最佳生产方案。三. 使用图示法求解一次函数应用题所谓图示法就是用图形来表示题中的数量关系，从而观察出函数关系的解题方法。此法对于某些一次函数问题非常有效，解题过程直观明了。例题 3. 某市的 C县和 D县上个月发生水灾，急需救灾物资

8、10t 和 8t 。该市的 A县和 B县伸出援助之手，分别募集到救灾物资12t 和 6t ，全部赠给 C县和 D县。已知 A、B两县运资到 C、D两县的每吨物资的运费如下表所示：A县B县C县4030D县5080（1）设 B 县运到 C 县的救灾物资为xt ，求总运费w（元）关于x（t ）的函数关系式，并指出 x 的取值范围；（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案。分析 : 本题的信息量大，数据也较多，为梳理各个量之间的关系，我们可以采用如下的图示整理信息。解：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -

9、 - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - （1）w=30 x+80(6-x)+40(10-x)+5012-(10-x)=-40 x+980 自变量 x 的取值范围是：0=x=6（2）由（ 1）可知，总运费w随 x 的增大而减小，所以当x=6 时，总运费最低。最低总运费为 -406+980=740 （元）。此时的运送方案是：把B县的 6t 全部运到 C县，再从 A县运 4t 到 C县，A县余下的 8t 全部运到 D县。说明 ：本题运用函数思想得出了总运费w与 x 的一次函数关系。一次函数应用题专题训练1一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀

10、速行驶. 设行驶的时间为x(时) ，两车之间的距离为y( 千米 ) ，图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系（1）根据图中信息，求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；（2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40 千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t时，求t的值；（3）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y关于x的函数的大致图像. ( 温馨提示：请画在答题卷相对应的图上)2春节期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候购票经调查发现，每天开始售票时，约有 400 人排队购票， 同时又有

11、新的旅客不断进入售票厅排队等候购票售票时售票厅每分钟新增购票人数4 人，每分钟每个售票窗口出售的票数3 张某一天售票厅排队等候购票的人数y（人）与售票时间x（分钟）的关系如图所示，已知售票的前a分钟只开放了两个售票窗口（规定每人只购一张票）（1）求a的值（2）求售票到第60 分钟时，售票听排队等候购票的旅客人数（3）若要在开始售票后半小时内让所有的排队的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客随精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 到随购，至

12、少需要同时开放几个售票窗口？3. 在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终达到C港设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为1y、2y（km） ，1y、2y与x的函数关系如图所示（1）填空：A、C两港口间的距离为 km，a；（2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（3）若两船的距离不超过10 km 时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围4. 一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140 吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如下表所示：销售方式粗加工后销售精加工后销售每吨获利（元）10002000Oy/km

13、9030a3P甲乙x/h精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 已知该公司的加工能力是：每天能精加工5 吨或粗加工15 吨，但两种加工不能同时进行. 受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完.如果要求12 天刚好加工完140 吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？如果先进行精加工，然后进行粗加工.试求出销售利润W元与精加工的蔬菜吨数m之间的函数关系式；若要求在不超过10 天的时间内， 将 140 吨蔬菜全部

14、加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多可获得多少利润？此时如何分配加工时间？5. 某物流公司的甲、乙两辆货车分别从A、B两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途径配货站C，甲车先到达C地，并在 C地用 1 小时配货，然后按原速度开往B地，乙车从B 地直达 A地，图 16 是甲、乙两车间的距离y（千米）与乙车出发x（时）的函数的部分图像（1）A、B两地的距离是千米，甲车出发小时到达C地；（2）求乙车出发2 小时后直至到达A地的过程中，y与x的函数关系式及x的取值范围，并在图 16 中补全函数图像；（3）乙车出发多长时间，两车相距150 千米精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - -

15、 - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 6张师傅驾车运送荔枝到某地出售，汽车出发前油箱有油50 升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量y( 升) 与行驶时间t( 小时 ) 之间的关系如图所示请根据图象回答下列问题：（1）汽车行驶小时后加油，中途加油升；（2）求加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数关系式；（3）已知加油前、 后汽车都以70 千米 / 小时匀速行驶， 如果加油站距目的地210 千米，要到达目的地，问油箱中的油是否够用？请说明理由7. 某学校组织340 名师生

16、进行长途考察活动，带有行李 170 件，计划租用甲、 乙两种型号的汽车 10 辆经了解，甲车每辆最多能载40 人和 16 件行李，乙车每辆最多能载30 人和 20件行李（1）请你帮助学校设计所有可行的租车方案；（2）如果甲车的租金为每辆2000 元，乙车的租金为每辆1800 元，问哪种可行方案使租车2300 x（时）Oy（千米）30精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 费用最省？8自 2010 年 6 月 1 日起我省开始实施家电以旧换

17、新政策，消费者在购买政策限定的新家电时，每台新家电用一台同类的旧家电换取一定数额的补贴. 为确保商家利润不受损失，补贴部分由政府提供，其中三种家电的补贴方式如下表:补贴额度新家电销售价格的10%说明：电视补贴的金额最多不超过400 元/ 台；洗衣机补贴的金额最多不超过250 元/ 台；冰箱补贴的金额最多不超过300 元/ 台.为此，某商场家电部准备购进电视、洗衣机、 冰箱共 100 台，这批家电的进价和售价如下表：家电名称进价（元 / 台）售价（元 / 台）电视39004300洗衣机15001800冰箱20002400设购进的电视机和洗衣机数量均为x 台，这 100 台家电政府需要补贴y 元，

18、商场所获利润w元（利润 =售价 - 进价）（1）请分别求出y 与 x 和 w与 x 的函数表达式；（2）若商场决定购进每种家电不少于30 台，则有几种进货方案？若商场想获得最大利润，应该怎样安排进货？若这100 台家电全部售出，政府需要补贴多少元钱？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -