3高等数学-第三章-导数与微分课件.pptx

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1、第三章 导数与微分 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，是高等数学的核心内容之一，是现代数学许多分支的基础。导数与微分构成了微分学的总体，本章将利用极限的方法讨论导数与微分这两个概念并给出它们的计算方法。1导数的概念2函数的求导法则3高阶导数4隐函数和由参数方程所确定的函数的导数5函数的微分第一节 导数的概念第一节 导数的概念4从研究常量到研究变量，从研究规则的几何体到研究不规则的几何体，是人类对自然界认识的一大飞跃。在这两个阶段中，不但研究的对象不同，而且研究的方法也不同。初等数学主要采用形式逻辑的方法，静止地、孤立地研究问题，而高等数学则是以运动的、变化的观点去研究问题。导数是微

2、积分的重要部分，是从生产技术和自然科学的需要中产生的。下面我们以两个问题为例，引入导数的概念，同时也介绍高等数学的基本思想方法。第一节 导数的概念5 设曲线 L 为函数 y = f (x) 的图形，其上一点 A 的坐标为 (x0 , f (x0) ) 。在曲线上点 A 附近另取一点 B ，它的坐标是(x0 +x , f (x0+x) ) 。直线 AB 是曲线的割线，它的倾斜角记作 。由图中的直角三角形 ACB，可知割线 AB 的斜率为一、两个引例1. 切线问题tanCByACxL f (x0+ x)xyOABx0 x0+ x f (x0)TC 00()()f xxf xx第一节 导数的概念6

3、在数量上，它表示当自变量从 x0变到 x0 +x 时函数 f (x)关于变量的平均变化率（增长率或减小率）。一、两个引例 现在让点 B 沿着曲线 L 趋向于点 A，此时 x0，过点 A 的割线 AB 如果也能趋向于一个极限位置直线 AT，我们就称 L 在点 A 处存在切线 AT 。记 AT 的倾斜角为 ，则 为 的极限，若 90 ，得切线 AT 的斜率 k 为 00000()()tanlim tanlimlimxxxf xxf xykxx在数量上，它表示函数 f (x) 在点 x0 处的变化率。第一节 导数的概念7 设一物体作变速直线运动，在 0, t 这段时间内所经过的路程为 s，则 s =

4、 s(t) 是时间 t 的函数，求该物体在时刻 t0 的瞬时速度 v(t0)。一、两个引例2. 瞬时速度问题 首先考虑物体在时刻 t0 附近很短一段时间内的运动。 设物体从 t0 到 t0+t 这段时间间隔内路程从 s(t0) 变到 s(t0+t) ，其改变量为 s = s(t0+t) s(t0)，在这段时间内的平均速度为( )sv tt 当时间间隔很小时，可以认为物体在时间 t0, t0+t 内近似地做匀速运动。因此，可以用 作为v(t0) 的近似值，而且t 越小，其近似程度越高。( )v t第一节 导数的概念8 当时间间隔t 0 时，我们把平均速度的极限称为时刻 t0 的瞬时速度，即一、两

5、个引例 上述两个引例，虽然实际意义完全不同，但从数学结构上看，却具有完全相同的形式。在自然科学和工程技术领域内，还有许多其它的量，如电流强度、线密度等都具有这种形式。从抽象的数量关系来看，其实质都是函数的改变量与自变量的改变量之比，当自变量的改变量趋于零时的极限。我们把这种特定的极限叫做函数的导数。00000()( )( )limlimtts tts tsv ttt第一节 导数的概念9二、导数的定义1. 函数在一点处可导的概念 定义 设函数 y = f (x) 在点 x0 的某个邻域内有定义，对应于自变量 x 在点 x0 处有改变量x，函数 y = f (x) 相应的改变量为 y = f (x

6、0+x) f (x0)，若 y 与 x 之比当 x0 时的极限存在，则称函数 y = f (x) 在点 x0 处可导，并称这个极限为函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数，记作)(0 xf 0|xxy0 x xdydx0( )x xdf xdx000000()()()|limlimx xxxf xxf xyfxyxx即第一节 导数的概念10二、导数的定义 比值 表示函数 y = f (x) 在点 x0 到 x0 +x 之间的平均变化率，导数 则表示了函数在点处的变化率，它反映了函数 y = f (x) 在点 x0 处自变量随因变量变化的快慢。yx0|xxy 如果当 x 0 时 的极限不

7、存在，我们就称函数 y = f (x) 在点 x0 处不可导或导数不存在。特别地，如果 ，也说函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数为无穷大。yx0limxyx 在定义中，若设点 x = x0 +x，则导数定义式可写成0000( )()()limxxf xf xfxxx第一节 导数的概念11二、导数的定义 由此可见，前面两个引例说明，曲线 y = f (x) 在点 (x0 , f (x0) ) 处切线的斜率就是函数 f (x) 在点 x0 处的导数，即 k = f(x0) ；而直线运动 s = s(t) 在时刻 t0 的瞬时速度就是函数 s(t) 点 t0 处的导数，即 v = s(t

8、0) 。 根据导数的定义，求函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数 f(x0) 的步骤如下： 第一步 求函数的改变量)()(00 xfxxfy 第二步 求比值00()()f xxf xyxx 第三步 求极限00()limxyfxx第一节 导数的概念12二、导数的定义 例3-1 求 在点 x = 2 处的导数。 解 2yx222(2)(2)(2)24()yfxfxxx24()4yxxxxx00limlim(4)4xxyxx2|4xy 则 于是 所以 第一节 导数的概念13二、导数的定义 例3-2 求 在点 x = 0 处的导数。 解 当 x 0 时， 于是有 sin ,0( ), 0 x

9、xf xxx(0)(0)sin0sinyfxfxx00sinlimlim1xxyxxx(0)(0)0yfxfxx00limlim1xxyxxx0(0)lim1xyfx所以 第一节 导数的概念14二、导数的定义 定义 函数 y = f (x) 在点 x0 处的左导数记为 ，且 定理 函数在一点处导数存在的充要条件为左右导数存在且相等，即0000()()()limxf xxf xfxx0()fx0000()()()limxf xxf xfxx000()()()fxAfxfxA同样，右导数为第一节 导数的概念15二、导数的定义2. 导函数的概念 如果函数 y = f (x) 在开区间 I 内的每一点

10、都可导，则称函数 y = f (x) 在开区间 I 内可导。这时，对开区间 I 内每一个确定的值 x 都对应一个 f (x) 的确定的导数值，这样就构成一个新函数，称之为 f (x) 的导函数，简称为导数，记作即( )fxydydx( )df xdx00()( )( )limlimxxyf xxf xfxxx第一节 导数的概念16二、导数的定义 注意： f(x) 是 x 的函数，而 f(x0) 是一个数值； f (x) 在点 x0 处的导数 f(x0) 就是导函数 f(x) 在点 x0 处的函数值。 例3-3 求函数 y = C（C 为常数）的导数。 解因为 y = C C = 0，所以0li

11、m0 xyyx 即( )0C 常数的导数恒等于零。第一节 导数的概念17二、导数的定义 例3-4 求 y = lnx 的导数。 解 由于 因此即ln()ln1lnyxxxxxxxxx100( )limlim ln 1xxxyxfxxx1011ln lim 1lnxxxxxexxx1(ln )xx 第一节 导数的概念18二、导数的定义 例3-5 求 f (x) = xn （nN）的导数。 解 根据导数定义，再利用二项展开式，可得即00()( )()( )limlimnnxxf xxf xxxxfxxx1122210()()limnnnnnnxC xxC xxxnxx1()nnxnx 1()kkx

12、kx 一般的，对于幂函数 y = xk （kR），有这就是幂函数的求导公式，利用它可以很方便的求出幂函数的导数。第一节 导数的概念19二、导数的定义 例3-6 求下面函数的导数： （1） ； （2） ； （3） ； （4） 解 （1）这些常用幂函数的导数也可以记住结论，直接应用。2yxyx1yx21yx2 122yxx 12yxx11122111222yxxx 11yxx1 12211yxxx 221yxx2 133222yxxx （2）因为，所以（3）因为，所以（4）因为，所以第一节 导数的概念20三、导数的几何意义 由引例的切线问题及导数的定义可知，如果函数 f (x) 在点 x0 处可导

13、，则曲线 y = f (x) 在点 (x0 , f (x0) ) 有不垂直于x 轴的切线，其斜率为 f(x0) ，这就是导数的几何意义。 根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，容易求出曲线 y = f (x) 在点 (x0 , f (x0) ) 处的切线方程为： 而过点 (x0 , f (x0) ) 处的法线方程为：000()()()yf xfxxx0001()()()yf xxxfx 第一节 导数的概念21三、导数的几何意义x1 O x2 x3 x1()0fx 2()0fx 3()0fx 显然 O x0 x0()fx 即 不存在。0()fx 第一节 导数的概念22三、导数的几何意义 如果 f

14、(x0) = 0，则曲线 y = f (x) 在点 (x0 , f (x0) ) 具有水平切线 y = f (x0)，而法线为 x = x0；如果 f (x) 在点 x0 处的导数为无穷大，则曲线 y = f (x) 在点 (x0 , f (x0) ) 处具有垂直于 x 轴的切线 x = x0 ，而法线为切线 y = f (x0) 。 例3-7 求曲线 y = x4 在点 (2, 16) 处切线和法线方程。 解 因为34yx 3322|4|4 232xxyx所以所求的切线方程为1632(2)yx32480 xy116(2)32yx 32660 xy，则即法线方程为即第一节 导数的概念23 初等

15、函数在其有定义的区间上都是连续的，那么函数的连续性与可导性之间有什么联系呢？所以 这表明函数 y = f (x) 在点 x0 处连续。四、函数的可导性与连续性的关系 如果函数 y = f (x) 在点 x0 处可导，则有 ，根据具有极限的函数与无穷小的关系，可得00()limxyfxx000(),limxyfxx000(),limxyfxxx 000(0limlim()xxyfxxx 或第一节 导数的概念24 定理 如果函数 f (x) 在点 x0 处可导，则函数 f (x) 在点 x0 处连续。所以函数 y = | x | 在 x = 0 处不可导。四、函数的可导性与连续性的关系 但是，函数

16、 y = f (x) 在点 x0 处连续时却不一定在该点处可导。 例3-8 函数 y = | x | 在 x = 0 处是连续的但却不可导，因为：O yxy = | x |00(0)limlim1xxfyxxx 00(0)limlim1xxfyxxx第一节 导数的概念25 例3-9 函数 在 x = 0 处连续但却不可导，因为曲线在原点具有垂直于 x 轴的切线，也就是说，函数 在 x = 0 处的导数为无穷大。所以函数 f (x) 在 x = 0 处不连续，于是函数 f (x) 在 x = 0 处也不可导。四、函数的可导性与连续性的关系 例3-10 设函数3yx3yx2,0( )1,0 xxf

17、 xxx讨论函数在 x = 0 处的连续性和可导性。O yx3yx 解 因为00lim( )lim(1)1(0)xxf xxf 第一节 导数的概念26四、函数的可导性与连续性的关系O y xx0（1）连续但不可导之一：00()()fxfx 曲线在该点不光滑，形成尖角。（2）连续但不可导之二：O y xx00()fx 曲线在该点具有垂直于 x 轴的切线。 函数在该点导数为无穷大，事实上导数不存在。第一节 导数的概念27四、函数的可导性与连续性的关系（3）不连续所以不可导：O y xx000lim( )lim( )xxxxf xf x 第二节 函数的求导法则第二节 函数的求导法则29前面用导数定义

18、求出了常数、自然对数和幂函数的导数公式，但对于一般的函数，用定义求导数，运算往往比较复杂，有时甚至是不可行的。为了能够迅速、准确的求出初等函数的导数，本节将介绍基本初等函数的导数公式和函数求导的四则运算及复合函数的求导法则。利用导数公式和求导法则就能比较方便的求出初等函数的导数。第二节 函数的求导法则30一、基本导数公式（1）( )0C （4）()xxee （6）1(ln ) xx （7）(sin )cosxx （2）1()kkxkx （k为常数）（3）()lnxxaaa （a 0 且 a 1 ）（5）1(log)lnaxxa （a 0 且 a 1 ）(cos )sinxx （8）2(tan

19、)secxx （9）2(cot )cscxx （10）(sec )sectanxxx （11）(csc )csc cotxxx （12）21(arcsin )1xx （13）21(arccos )1xx （14）21(arctan )1xx （15）21(arccot )1xx （16） 三角函数及反三角函数的导数公式可以采用对比记忆法。第二节 函数的求导法则31 定理 设函数 u(x) 和 v(x) 均在 x 点可导，则它们的和、差、积、商（分母不为 0 时）也均在 x 点可导，且有二、函数和、差、积、商的求导法则 ( )( )( )( )u xv xu xv x ( ) ( )( ) (

20、)( ) ( )u x v xu x v xu x v x2( )( ) ( )( ) ( ),( ( )0)( )( )u xu x v xu x v xv xv xvx()uvwu vwuv wuvw()CuCu2,( ( )0)CCvv xvv 21,( ( )0)vv xvv 乘积求导的推广和特例：商的求导的特例：第二节 函数的求导法则32二、函数和、差、积、商的求导法则 例3-11 设 ，求 。 解3324yxxy3324yxx 33()2()(4)xx2432 ( 3)0 xx 2463xx 例3-12 设 ，求 ， 。2( )23sinln39f xxx( )fx(1)f 2(

21、)(23sinln3)9fxxx22()3( )sin(ln3)9xx43x(1)4 1 31f 解于是第二节 函数的求导法则33二、函数和、差、积、商的求导法则 例3-13 设 ，求 。 解 解4sin3ln5yxxxy4sin3ln5yxxx 4(sin )3(ln )5xxx354cos2xxx55(5logcos )xyxxx55()(5 )(log)(cos )xxxx4155 ln5sinln5xxxx 例3-14 设 ，求 。555logcosxyxxxy第二节 函数的求导法则34二、函数和、差、积、商的求导法则 例3-15 设 ，求 。 解 解y1arctanyxx1arcta

22、nyxx 1(arctan ) xx22221111(1)xxxx 例3-16 设 ，求 。3( )sinf xxx( )fx3( )(sin )fxxx33() sin(sin )xxxx233sincosxxxx第二节 函数的求导法则35二、函数和、差、积、商的求导法则 例3-17 设 ，求 。 解 解y(32)xyxe(32)xyxe(32)(32)()xxxexe3(32)xxexe(35)xxe 例3-18 设 ，求 。y2lnyxx2(ln )yxx22() ln(ln )xxxx212 lnxxxx2 lnxxx第二节 函数的求导法则36二、函数和、差、积、商的求导法则 例3-1

23、9 设 ，求 。 解 解y2 secarcsinxyxx(2 secarcsin )xyxx (2 ) sec2 (sec )(arcsin )xxxxx212 ln2 sec2 sectan1xxxxxx 例3-20 设 ，求 。ytan lnxyexx(tan ln )xyexx() tan ln(tan ) lntan (ln )xxxexxexxexx21tanlnseclntanxxxexxexxexx第二节 函数的求导法则37二、函数和、差、积、商的求导法则 例3-21 设 ，求 。 解 解y1xeyx1xeyx 2() (1)(1)(1)xxexexx2(1)(1)xxexex2

24、(1)xxex 例3-22 设 ，求 。y2sin2xyx2sin2xyx 2222(sin ) (2)sin (2)(2)xxx xx222cos (2)sin2(2)x xxxx222(2)cos2 sin(2)xxxxx第二节 函数的求导法则38二、函数和、差、积、商的求导法则 例3-23 设 ，求 。 解y33lnxxyx33lnxxyx 332(3) ln(3)(ln )(ln )xxxxxxx2321(33)ln(3)lnxxxxxx222(33)ln3lnxxxx 第二节 函数的求导法则39二、函数和、差、积、商的求导法则 例3-24 设 ，求 。 解 解y23xyxe23xyx

25、e 2223()()xxxexe 2263()xxxexe 例3-25 设 ，求 。y1cosyxx1cosyxx 2(cos )(cos )xxxx 21 sin(cos )xxx 第二节 函数的求导法则40 定理 设函数 u = (x) 在 x 处可导，函数 y = f (u) 在对应点 u = (x) 处可导，则复合函数 y = f (x) 在 x 处可导，且有 复合函数的求导法则说明： y 对 x 的导数等于 y 对中间变量 u的导数与中间变量 u 对自变量 x 的导数的乘积。这个法则叫做链式法则。三、复合函数的求导法则( )( )xuxyyuf uxdydy dudxdu dx或du

26、dxdydu y u xdydy dudxdu dx第二节 函数的求导法则41 设函数 y = f (u)，u = (v) ，v = (x) 均可导，则它们的复合函数 y = f(x) 也可导，且 此法则也可以推广到多个函数复合的情况。三、复合函数的求导法则( )( )( )dydy du dvf uvxdxdu dv dxy u v x 解 令 y = sinu， u = 2x，则 例3-26 设 y = sin2x，求 。yxuxyyu(sin ) (2 )uxcos2u2cos2x第二节 函数的求导法则 解 令 ， ， ，则42二、函数和、差、积、商的求导法则 例3-27 设 ，求 。

27、解 令 ， ，则y4xyeuye4uxxuxyyu4() ()uex34uex434xx e 例3-28 设 ，求 。y2lnsinyxlnyusinuv2vxxuvxyyuv2(ln ) (sin ) ()uvx1cos2vxu222 cossinxxx22 cotxx第二节 函数的求导法则43 应用熟练后，可以不写出中间变量，而直接写出函数对中间变量的求导结果，重要的是要清楚每一步是哪个变量对哪个变量求导。三、复合函数的求导法则 解 例3-29 设 ，求 。ylncosyx(lncos )yx1(cos )cosxx1( sin )cosxx tan x 例3-30 设 ，求 。y23yx

28、23yx 221(3)2 3xx21( 2 )2 3xx 23xx 解第二节 函数的求导法则2(sec)yx3(45) yx44三、复合函数的求导法则 解 例3-31 设 ，求 。y 解3(45)yx23(45)(45)xx23(45)4x212(45)x 例3-32 设 ，求 。y2secyx2sec(sec )xx 2secsec tanxxx22sectanxx第二节 函数的求导法则2sin (43)yx(arctan)yx45三、复合函数的求导法则 解 例3-33 设 ，求 。y 解arctanyx21()1 ()xx1112xx12(1)xx 例3-34 设 ，求 。y2sin (4

29、3)yx2sin(43) sin(43)xx2sin(43) cos(43) (43)xxx4sin(86)x第二节 函数的求导法则46三、复合函数的求导法则， 求例 3-35 设ln|yx y 。解 1()xx 当 x 0 时， y = lnx ，则 1yx 当 x 0 时， y = ln| x | = ln(-x)，于是 ln()yx 1( 1)x 1x 所以有 1(ln|)yxx 第二节 函数的求导法则47三、复合函数的求导法则 利用基本导数公式，以及函数和、差、积、商的求导法则与复合函数的求导法则，就可以求出各种初等函数的导数。 解 例3-33 设 ，求 。y2ln(1)yxx2ln(

30、1)yxx 221(1)1xxxx221( )( 1)1xxxx222111(1)12 1xxxx222121112 11xxxxx第二节 函数的求导法则48三、复合函数的求导法则 解 例3-33 设 ，求 。ytan3xxyetan3xxye 2(tan3 )tan3()()xxxxexee22sec 3(3 )tan3()xxxxxex ee23sec 3tan3xxxe第三节 高阶导数第三节 高阶导数50 一般的，函数 y = f (x) 的导数 仍是 x 的函数， 再对 x 求导，即导数的导数，称为 y 或 f (x) 对 x 的二阶导数，记作( )yfxy( )fx22d ydx22

31、( )d f xdx或 类似的，二阶导数 的导数，称为 y 对 x 的三阶导数，记 ， 。这样可以定义 y 对 x 的四阶导数、五阶导数、 直到 y 对 x 的 n 阶导数，记作y( )fxy( )yfx()yy 22d yddydxdxdx即( )ny( )( )nfxnnd ydx第三节 高阶导数51 函数 y 对 x 的 n 阶导数就是 y 对 x 的 n 1 阶导数的导数，即( )(1)nnyy11nnnnd yddydxdxdx或 相应的，前面所说的导数也称为 y 对 x 的一阶导数。二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。 由此可见，求高阶导数就是多次接连地求导数，所以只需应用前面学过

32、的求导方法就能计算高阶导数。 解 例3-38 求函数 的四阶导数。323241yxxx2944yxx 184yx 18y (4)0y第三节 高阶导数52 解 例3-39 求函数 的 n 阶导数。()lnxxyaaa2(ln )(ln )xxyaaaa23(ln ) (ln )xxyaaaa( )(ln )nxnyaa( )()xnxee如此下去，可得特别的，xya第三节 高阶导数53 解 由于 例3-40 求函数 y = sinx 的 n 阶导数。归纳可得 同理可证cossin2yxx sinsin22yxx cossin32yxx (4)sinsin42yxx( )( )(sin )sin2

33、nnnyxx( )(cos )cos2nnxx第三节 高阶导数54 解 由于 例3-41 设 ，求 。则于是ln(1)yx1ln(1)1yxx11yx 21(1)yx 24(1) (1)xx 42(1)(1)xx32(1)xy21vvv 21(1)x 第三节 高阶导数55 解 由于 例3-42 设 y = cotx ，求 。，则y2cscyx 2( csc)yx 2csc(csc )xx 2csc( csc cot )xxx 22csccotxx( ) sin(sin )yxxxxsincosxxx(sin )( cos )yxxxcoscossinxxxx2cossinxxx23(25) (

34、25)yxx26(25)x26(25) yx12(25)(25)xx24(25)x 解 由于，则 例3-43 设 y = xsinx ，求 。y 解 由于，则 例3-44 设 ，求 。3(25)yxy第四节 隐函数和由参数方程所确定函数的导数第四节 隐函数和由参数方程所确定函数的导数57一、隐函数的导数 如果变量 x 与 y 之间的对应规律是把 y 直接表示成 x 的解析式，即熟知的 y = f (x) 的形式，则称函数 y = f (x) 为显函数。 如果能从方程 F(x , y) = 0 确定 y 为 x 的函数 y = f (x)，则称 y = f (x) 为由方程 F(x , y) =

35、 0 所确定的隐函数。x 有些隐函数不容易显化为显函数，所以我们要找出一种能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数的方法。 下面从具体例子来看。第四节 隐函数和由参数方程所确定函数的导数58 例3-45 求由方程 所确定的隐函数的导数。221xy 解 在等式的两边同时对 x 求导，注意现在方程中的 y 是 x 的函数，所以 y2 是 x 的复合函数，由复合函数求导法则，可得220 xy y从而解得xyy 例3-46 求由方程 y = sin(x + y) 所确定的隐函数的导数。 解 方程两边同时对 x 求导，得从而解得cos() (1)yxyycos()1 cos()xyyxy 一、隐函数的导数

36、第四节 隐函数和由参数方程所确定函数的导数59 例3-47 求由方程 所确定的隐函数的导数 。 解 方程两边同时对 x 求导，得从而解得30 xyexyedydx30 xydydyeyxedxdx33xydyeydxxe一、隐函数的导数第四节 隐函数和由参数方程所确定函数的导数60 例3-48 求曲线 在点（2，2）处的切线方程。 解 方程两边同时对 x 求导，得从而解得一、隐函数的导数224xxyy220 xyxyyy22xyyxy (2,2)1ky( 2)2yx 40 xy而切线斜率为，于是所求切线方程为即第四节 隐函数和由参数方程所确定函数的导数61 例3-49 证明椭圆 在点 处的切线

37、方程为 证 方程两边同时对 x 求导，得从而解得一、隐函数的导数于是切线方程为即22221xyab00(,)M xy00221x xy yab22220 xyyab22b xya y 则椭圆在点 切线斜率为00(,)M xy0020(,)20|xyb xkya y 200020()b xyyxxa y 00221x xy yab第四节 隐函数和由参数方程所确定函数的导数62 例3-50 求 的导数。 解 两边取对数，得从而解得一、隐函数的导数，即 对于有些函数来说，利用对数求导法来求导数比较简单，看下面例子。两边同时对 x 求导，得xyxlnlnyxx1lnln1yxxxyx(ln1)yyx

38、(ln1)xyxx 对数求导法是通过两边取对数把显函数变成隐函数，再用隐函数的求导法求出导数，这种方法适用于求幂指函数 的导数，以及简化一些由多个函数的积、商、乘幂构成的函数的求导。( )( )v xu x第四节 隐函数和由参数方程所确定函数的导数63 例3-51 利用对数求导法求 的导数。 解 两边取对数，得于是一、隐函数的导数 对于幂指函数的求导，也可以用换底求导的方法来做：即(sin )xyxlnlnsinyxxcoslnsinlnsincotsinyxxxxxxyx(lnsincot )yyxxx (sin ) (lnsincot )xyxxxx lnln()()( ln )lnvvu

39、vuvvuyueevuuvuu两边同时对 x 求导，得第四节 隐函数和由参数方程所确定函数的导数64 例3-52 设 ，求 。 解 两边取对数，得于是一、隐函数的导数即两边同时对 x 求导，得52231(31)3xyxxy153221lnln(31)ln3xyxx251lnln(31)ln(1)ln(3)23yxxx2561112 31313yxyxxx21511131313xyyxxx 52232115111(31)3 31313xxyxxxxx 即第四节 隐函数和由参数方程所确定函数的导数65二、由参数方程所确定的函数的导数 若参数方程( )( )xtyt确定 x 与 y 间的函数关系，则

40、此函数称为由参数方程所确定的函数。 当 x = (t)，y = (t) 都可导，且 时，则由此参数方程所确定的函数的导数为( )0t( )( )ttdyydytdtdxdxtxdt第四节 隐函数和由参数方程所确定函数的导数66 例3-53 计算由参数方程 所确定函数的导数。 21cosxtyt 解2(cos )(1)ttydytdxxt 例3-54 计算由参数方程 所确定函数的导数。1 sincosxtytt 解( cos )(1 sin )ttydyttdxxt二、由参数方程所确定的函数的导数sin2ttcossincostttt1tantt 第四节 隐函数和由参数方程所确定函数的导数67

41、例3-55 计算由参数方程 所确定函数的导数。 解二、由参数方程所确定的函数的导数22ln(1) 12arctan(1)xtytt 222arctan(1) ln(1) 1ttydyttdxxt2222(1)121tttt21 (1)(1)ttt2(1)tt 第四节 隐函数和由参数方程所确定函数的导数68 例3-56 摆线的参数方程为 ，求 时的切线方程。 二、由参数方程所确定的函数的导数sin1 cosxy 2(1 cos )(sin )ydydxx2sin211 cos2dykdx112yx 202xy 解 首先， 时摆线上的点坐标为 ，而1,122则切线的斜率为于是所求切线方程为，即si

42、n1 cos第五节 函数的微分第五节 函数的微分70 本节介绍微分学中另一个基本概念微分。在对许多实际问题的讨论中，可以通过对微小的局部状态的讨论找寻一般规律，这就需要找出各变量的微小增量间的关系，微分则提供了表达这种微增量关系的一种简便实用的方法。 微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部可以用直线去近似替代曲线，它的直接应用就是函数的线性化。微分具有双重意义：它表示一个微小的量，同时又表示一种与求导密切相关的运算。微分是微分学转向积分学的一个关键概念。第五节 函数的微分71一、微分的概念 先看下例。考虑边长为 x 的正方形，其面积为 y，则若边长由 x0 变化到 x0 +x，面积相

43、应的改变量为0 x0 xx x 2)( x xx 0 xx 02yx2200()yxxx202()xxx 当 |x| 很小时，() 是 y 的主要部分， 由于 () 是 x 的线性函数，所以称 y 为的线性主部。，当 x0 时，() 是比 x 高阶的无穷小，可忽略不计，即() () 02yxx第五节 函数的微分72一、微分的概念 定义 设函数 y = f (x) 在某区间内有定义， x0 及 x0 +x 在该区间内，如果函数的改变量 y = f (x0 +x) f (x0) 当 x0 时可以表示为其中 A 是仅依赖于 x0 而与 x 无关的常数， o(x) 是比 x 高阶的无穷小，则称函数 y

44、 = f (x) 在点 x0 可微，并称 Ax 为函数 y = f (x) 在点 x0 相应于自变量的增量 x 的微分，记作y = Ax + o(x) 0|x xdy0|x xdyA x 所以，函数在一点处的微分就是函数在该点的改变量的线性主部。即第五节 函数的微分73一、微分的概念 定理 函数 f (x) 在点 x0 可微的充要条件是函数 f (x) 在点 x0 可导，且有 由此可知，当 f(x0) 0 且 |x| 很小时，有ydy这就把计算比较复杂的函数的增量 y 近似表示成了一个计算比较简单的量 dy，它的近似程度是比较好的。00|()x xdyfxx 当 f (x) = x 时， f(

45、x) = 1，所以( )1df xdxxx 即自变量的微分就是自变量的增量。 f (x) 在点 x0 的微分也可写为00|()x xdyfx dx第五节 函数的微分74一、微分的概念 如果函数 y = f (x) 在某区间内每一点处都可微，则称函数在该区间内是可微函数。函数在区间内任一点 x 处的微分为或dyy dx( )dyfx dx 由此可知，导数 可以看作函数的微分与自变量的微分的商，所以导数也称为“微商”。( )dyfxdx21yx 21dyy dxdxx 解 因为1yx 例3-57 求函数 的微分。，所以第五节 函数的微分75一、微分的概念 例3-58 求函数 y = cotx 的微

46、分。 解 因为，所以 解 因为，所以2cscyx 2cscdyy dxxdx 例3-59 求函数 的微分。2sinyxx222() sin(sin )2 sincosyxxxxxxxx2(2 sincos )dyy dxxxxx dx 例3-60 求函数 的微分。ln(1)xye1(1)11xxxxeyeee1xxedyy dxdxe 解 因为，所以第五节 函数的微分76二、微分的几何意义)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x xx0 P 函数 y = f (x) 图形如右，点 M、N 在曲线上，过点 M 再作曲线的切线 MT。 可见 y 是曲线上纵坐标的增量，而 dy 是切线

47、上纵坐标的对应增量。 于是可得： 当 |x| 很小时，用 dy 代替 y 所产生的误差很小，比 |dy| 小得多。而近似式 y dy 表示曲线在点 M 处的切线可以近似代替曲线本身，即在一点的附近可以用“直”代“曲”。第五节 函数的微分（16）（15）77三、微分的基本公式与运算法则 由基本导数公式和微分与导数的关系，可得下面基本微分公式。（1）（3）（4）（5）（7）（9）（12）（10）（8）（6）（2）（14）（11）（13）( )0d C 1()kkd xkxdx()lnxxd aaadx()xxd ee dx1(log)lnadxdxxa1(ln )dxdxx(sin )cosdxx

48、dx(cos )sindxxdx 2(tan )secdxxdx2(cot )cscdxxdx (sec )sec tandxxxdx(csc )csc cotdxxxdx 21(arcsin )1dxdxx21(arccos )1dxdxx 21(arctan )1dxdxx21(arccot )1dxdxx 第五节 函数的微分78三、微分的基本公式与运算法则 由函数的求导法则可以得到相应的微分法则。()d uvdudv()d uvvduudv2uvduudvdvv 复合函数的求导法则在求导中有着十分重要的应用，我们从中可以得到复合函数的微分法则。 设 y = f (u)，u = (x)，则

49、对于复合函数y = f (x) 有( )( )dydy duf uxdxdu dx( )( )dyy dxfux dx( )dux dx( )dyfu du所以而对于函数 u = (x)，其微分于是，复合函数的微分法则也可以写成第五节 函数的微分79三、微分的基本公式与运算法则 注意：最后得到的结果与 u 是自变量时的形式相同，这就说明无论 u 是自变量还是中间变量，函数 y = f (u) 的微分都可以写为 的形式。这个性质称为一阶微分形式不变性。 这样，如果 y = f (u) ，u = (x)，则( )fu du( )( )( )dyfu dufux dx 解 方法一： 例3-61 求函

50、数 的微分。2sin(32)yx2sin(32)dyxdx22cos(32) (32)xxdx26 cos(32)xxdx22cos(32) (32)dyxdx26 cos(32)xxdx 方法二：第五节 函数的微分80三、微分的基本公式与运算法则 解 方法一： 例3-63 求函数 的微分。lnsin2yx 方法二： 解 方法一： 例3-62 求函数 的微分。xye 方法二：()2xxxedyedxex dxdxx1()2xxdyedxedxx1(lnsin2 )(sin2 )sin2dyx dxx dxx1cos2(2 )2cot2sin2xx dxxdxx1cos2(sin2 )(2 )2