2022年例说二项式定理的常见题型及解法.pdf

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1、例说二项式定理的常见题型及解法二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。一、求二项展开式1“nba)(”型的展开式例 1求4)13(xx的展开式；解：原式 =4)13(xx=24)13(xx=)3()3()3()3(144342243144042CCCCCxxxxx=)112548481(12342xxxxx=54112

2、848122xxxx小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。2 “nba)(”型的展开式例 2求4)13(xx的展开式；分析：解决此题， 只需要把4)13(xx改写成4)1(3xx的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。3二项式展开式的“逆用”例 3计算cCCCnnnnnnn3)1(.27931321；解：原式 =nnnnnnnnCCCCC)2()31()3(.)3() 3()3(33322110小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。二、通项公式的

3、应用1确定二项式中的有关元素例 4已知9)2(xxa的展开式中3x的系数为49，常数a的值为解：9239299912)1()2()(rrrrrrrrrxaCxxaCT令3923r，即8r依题意，得492) 1(894889aC，解得1a2确定二项展开式的常数项例 5103)1(xx展开式中的常数项是解：rrrrrrrxCxxCT65510310101)1()1()(精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 令0655r，即6r。所以常数项是

4、210)1(6106C3求单一二项式指定幂的系数例 692)21(xx展开式中9x的系数是；解：rrrrxxTC)21()(9291=rrrrxxC)1()21(2189=xrrxC3189)21(令,9318x则3r，从而可以得到9x的系数为：221)21(339C，填221三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例 75432)1()1() 1()1()1(xxxxx的展开式中，2x的系数等于解：2x的系数是四个二项展开式中4 个含2x的，则有20)() 1()1()1()1(35241302335224113002CCCCCCCC例 872)2)(1 xx（的展开式中，3x项的

5、系数是；解：在展开式中，3x的来源有：第一个因式中取出2x，则第二个因式必出x，其系数为667)2(C；第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x，其系数为447)2(C3x的系数应为：,1008)2()2(447667CC填1008。四、利用二项式定理的性质解题1 求中间项例 9求（103)1xx的展开式的中间项；解：,)1()(310101rrrrxxTC展开式的中间项为535510)1()(xxC即：65252x。当n为奇数时，nba)(的展开式的中间项是212121nnnnbaC和212121nnnnbaC；当n为偶数时，nba)(的展开式的中间项是222nnnnbaC。2 求有理项例

6、 10求103)1(xx的展开式中有理项共有项；解：341010310101) 1()1()(rrrrrrrxxrTCC当9,6,3 ,0r时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4 项。当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。3 求系数最大或最小项（1）特殊的系数最大或最小问题例 11在二项式11)1(x的展开式中，系数最小的项的系数是；解：rrrrxTC) 1(11111精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - -

7、- - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 要使项的系数最小，则r必为奇数，且使Cr11为最大，由此得5r，从而可知最小项的系数为462) 1(5511C（2）一般的系数最大或最小问题例 12求84)21(xx展开式中系数最大的项；解：记第r项系数为rT，设第k项系数最大，则有11kkkkTTTT又1182.rrrCT，那么有kkkkkkkkCCCC2 .2.2.2.8118228118即)!8( !82)!9)!.(1(! 82)!10)!.(2(! 8)!9)!.(1(! 8KKKKKKKkKKKK1922211解得43k，系数最大的项为第3 项2

8、537xT和第 4 项2747xT。（3）系数绝对值最大的项例 13在（7)yx的展开式中，系数绝对值最大项是；解：求系数绝对最大问题都可以将“nba)(”型转化为)(nba型来处理，故此答案为第4 项4347yxC，和第 5 项5257yxC。五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和例 14若443322104)32(xaxaxaxaax，则2312420)()(aaaaa的值为；解：443322104)32(xaxaxaxaax令1x，有432104)32(aaaaa，令1x，有)()()32(314204aaaaa故原式 =)().(3142043210aaaaaaaaaa=44)3

9、2.()32(=1)1(4在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：0, 1, 1特殊值在解题过程中考虑的比较多。例 15设0155666.) 12(axaxaxax，则6210.aaaa；分析： 解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。解：rrrrxTC) 1()2(661精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 65432106210.aaaaaaaaaaa

10、=)()(5316420aaaaaaa=63六、利用二项式定理求近似值例 16求6998.0的近似值，使误差小于001.0；分析：因为6998.0=6)002.01 (，故可以用二项式定理展开计算。解：6998.0=6)002.01(=621)002.0(.)002.0.(15)002.0.(61001. 000006.0)002. 0(15)002. 0.(22263CT，且第 3 项以后的绝对值都小于001. 0，从第 3 项起，以后的项都可以忽略不计。6998.0=6)002.01 ()002.0(61=988.0012.01小结：由nnnnnnxxxxCCC.1)1(221，当x的绝对

11、值与1 相比很小且n很大时，nxxx,.,32等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：nxxn1)1(，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：22)1(1)1(xnnnxxn。利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目，但是按照新课标要求，对高中学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就是估算能力。所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值。七、利用二项式定理证明整除问题例 17求证：15151能被 7 整除。证明：15151=1)249(51=12 .2 .4

12、9.2.49.2 .49.495151515050512492515015151051CCCCC=49P+1251（NP）又1)2(1217351=（7+1）171=17 .7.7 .7 .17171617152171611717017CCCCC=7Q（QN）)(77715151QPQP15151能被 7 整除。在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二项式定理的情境上来，变形要有一定的目的性，要凑出相关的因数。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -