新教材人教A版高中数学选择性必修第一册-第三章-圆锥曲线的方程-精品教学课件(共221页).pptx

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1、3.1.1椭圆及其标准方程3.1.2椭圆的简单几何性质3.2.1双曲线及其标准方程3.2.2双曲线的简单几何性质3.3.1抛物线及其标准方程3.3.2抛物线的简单几何性质第三章 圆锥曲线的方程一、椭圆的定义1.定义我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距.2.定义的集合语言表述集合P=M|MF1|+|MF2|=2a,2a|F1F2|.名师点析在椭圆定义中,要求常数必须大于两定点F1,F2之间的距离,这是椭圆定义中非常重要的一个条件,可以验证:如果这个常数等于两定点F1,

2、F2之间的距离,动点的轨迹将是一条线段;如果这个常数小于两定点F1,F2之间的距离,动点的轨迹将不存在.因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时,务必注意这一隐含的条件.微练习下列说法中,正确的是()A.到点M(-3,0),N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆B.到点M(0,-3),N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C.到点M(-3,0),N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆D.到点M(0,-3),N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆答案:C二、椭圆的标准方程 000名师点析1.椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指椭圆的中心在坐标原点,椭圆的对

3、称轴为坐标轴.(2)已知a=5,c=2,焦点在y轴上,则椭圆的标准方程为.解析:(1)因为106,所以焦点在x轴上,且a2=10,b2=6,所以c2=10-6=4,c=2,故焦点坐标为(2,0)和(-2,0).探究一探究二探究三素养形成当堂检测求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程1.待定系数法例1根据下列条件,求椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);思路分析:(1)设出焦点在x轴上的椭圆的标准方程,再根据条件求出a,b的值,即可求得方程;(2)设出焦点在y轴上的椭圆的标准方程,再根据条件求

4、出a,b的值,即可求得方程;(3)焦点位置不确定,可以分两种情况分别求解,也可直接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m0,n0,mn).探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟椭圆方程的求法1.利用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤如下:(1)先确定焦点位置;(2)设出方程;(3)寻求a,b,c的等量关系;(4)求a,b的值,代入所设方程.2.当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为mx2+ny2=1(mn,m0,n0).因为焦点位置包括焦点在x轴上(mn)两种情况,所以可以避免分类讨论,从而简

5、化运算.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1根据下列条件,求椭圆的标准方程. (2)经过点(2,-3)且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.定义法例2一个动圆与圆Q1:(x+3)2+y2=1外切,与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切,试求这个动圆圆心的轨迹方程.思路分析:两圆相切时,圆心之间的距离与两圆的半径有关,由此可以找到动圆圆心满足的条件等式.解:两定圆的圆心和半径分别为Q1(-3,0),r1=1;Q2(3,0),r2=9.设动圆圆心为M(x,y),半径为R,由题意有|MQ1|=1+R,|MQ2|=9

6、-R,|MQ1|+|MQ2|=10|Q1Q2|=6.由椭圆的定义可知点M在以Q1,Q2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3,b2=a2-c2=25-9=16.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟1.若动点轨迹满足椭圆的定义,则根据椭圆的定义来确定a,b,c,从而确定椭圆的标准方程,这种求轨迹方程的方法称为定义法.2.一般步骤:(1)将条件转化为到两定点的距离之和为定值(该定值大于两定点之间的距离);(2)判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴;(3)确定椭圆的基本量a,b,c,从而确定椭圆的标准方程.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究本题两个已知圆不变,若动圆与两个圆都内切,求

7、动圆圆心的轨迹方程.解:设动圆圆心为P(x,y),半径为r.由圆P与圆Q1内切,得|PQ1|=r-1;由圆P与圆Q2内切,得|PQ2|=9-r.所以|PQ1|+|PQ2|=86=|Q1Q2|.所以P点轨迹是以Q1,Q2为焦点的椭圆,且2a=8,2c=6.即a=4,c=3,所以b2=a2-c2=7.探究一探究二探究三素养形成当堂检测对椭圆标准方程的对椭圆标准方程的理解理解 A.(-9,25)B.(-9,8)(8,25)C.(8,25) D.(8,+)(2)若方程x2-3my2=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围是.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思

8、感悟根据椭圆方程求参数的取值范围 探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:(-4,0)(0,3) 探究一探究二探究三素养形成当堂检测椭圆中的焦点三角形椭圆中的焦点三角形问题问题 思路分析:(1)由|PF1|+|PF2|是定值,求|PF1|PF2|的最大值,可考虑用基本不等式;(2)求焦点三角形的面积,可考虑用定义|PF1|+|PF2|=2a及余弦定理先求|PF1|PF2|,再考虑用三角形面积公式求面积.探究一探究二探究三素养形成当堂检测当且仅当|PF1|=|PF2|=10时,等号成立,即|PF1|PF2|取到最大值100.(2)c2=a2-b2=100-64=36,c=6,则F1(-6,0),

9、F2(6,0).P为椭圆上任一点,|PF1|+|PF2|=2a=20.在PF1F2中,|F1F2|=2c=12,探究一探究二探究三素养形成当堂检测即122=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|.|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|,122=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|PF2|,122=202-3|PF1|PF2|,探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟1.焦点三角形的概念如图,设M是椭圆上一点,F1,F2为椭圆的焦点,当点M,F1,F2不在同一条直线上时,它们构成一个三角形焦点三角形.2.关于椭圆的焦点三角形问题,可结合椭圆

10、的定义列出|PF1|+|PF2|=2a,利用这个关系式转化求解.因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等.探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.焦点三角形的常用公式(1)焦点三角形的周长L=2a+2c.(2)在MF1F2中,由余弦定理可得|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1|MF2|cos .探究一探究二探究三素养形成当堂检测垂直于x轴,交椭圆于A,B两点,F1是椭圆的左焦点.(1)求AF1B的周长.(2)如果AB不垂直于x轴,AF1B的周长有变化吗?为什么?探究一探究二探究三素养形成当堂检测故有|AF1|+|AF

11、2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10,|AF2|+|BF2|=|AB|,AF1B的周长=|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=10+10=20,AF1B的周长为20.(2)如果AB不垂直于x轴,AF1B的周长仍为20不变.理由:|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a,和AB与x轴是否垂直无关.探究一探究二探究三素养形成当堂检测求与椭圆有关的轨迹问题求与椭圆有关的轨迹

12、问题典例已知B,C是两个定点,|BC|=8,且ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程.解:以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,如图所示.由|BC|=8可知点B(-4,0),C(4,0).由|AB|+|AC|+|BC|=18,得|AB|+|AC|=108=|BC|,因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a=10,焦距2c=8,但点A不在x轴上.由a=5,c=4,得b2=a2-c2=25-16=9.探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法总结求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法(1)定义法:若动点的轨迹特点符

13、合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义,则可用定义直接求解.(2)直接法:将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化,列出等式后化简,得出动点的轨迹方程.(3)相关点法:根据相关点所满足的方程,通过转换求出动点轨迹的方程.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.已知F1,F2为两定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=16,则动点M的轨迹是()A.椭圆B.直线C.圆D.线段解析:因为|MF1|+|MF2|=16|F1F2|,所以动点M的轨迹是椭圆.答案:A探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.椭圆的两个焦点分别为F1(-8,0),F2(8,0),

14、且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20,则此椭圆的标准方程为()答案:C 探究一探究二探究三素养形成当堂检测A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:B 探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:6 探究一探究二探究三素养形成当堂检测5.求以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过点M(2, )的椭圆的标准方程.3.1.2椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 名师点拨1.椭圆的范围给出了椭圆上的点的横坐标、纵坐标的取值范围,在求解一些存在性、判断性问题中有着重要的应用,也可用于求最值、求轨迹等问题时的检验等.2.利用方程研究曲线对称性的方法如下:(1)若把

15、曲线方程中的x换成-x,方程不变,则曲线关于y轴对称;(2)若把曲线方程中的y换成-y,方程不变,则曲线关于x轴对称;(3)若同时把曲线方程中的x换成-x,y换成-y,方程不变,则曲线关于原点对称.微练习(1)已知椭圆 =1,则其顶点坐标分别为,焦点坐标为,长轴长等于,短轴长等于,焦距等于.若点P(m,n)为该椭圆上任意一点,则m的取值范围是.(2)椭圆x2+4y2=1的离心率等于() 答案:A 探究一探究二探究三素养形成当堂检测根据椭圆的标准方程研究其几何性质根据椭圆的标准方程研究其几何性质例1求椭圆9x2+16y2=144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.探究一探究二探究三素养形成

16、当堂检测延伸探究本例中若把椭圆方程改为“9x2+16y2=1”,求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟确定椭圆几何性质的基本步骤(1)化标准,把椭圆方程化成标准形式;(2)定位置,根据标准方程中x2,y2对应分母的大小来确定焦点位置;(3)求参数,写出a,b的值,并求出c的值;(4)写性质,按要求写出椭圆的简单几何性质.探究一探究二探究三素养形成当堂检测长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;(2)写出椭圆C2的方程,并研究其性质.探究一探究二探究三素养形成当堂检测根据椭圆的几何性质求

17、其标准方程根据椭圆的几何性质求其标准方程例2根据下列条件求椭圆的标准方程:(2)在x轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为8.思路分析:(1)焦点位置不确定,应分类讨论;(2)结合图形求出a,b,c的值代入.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测如图所示,A1FA2为等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且|OF|=c,|A1A2|=2b,c=b=4,a2=b2+c2=32.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟根据椭圆的性质求方程1.已知椭圆的几何性质,求其标准方程主要采用待定系数法,解题步骤为:(1)确定焦点所在的位置,以确定椭圆

18、标准方程的形式;(2)确立关于a,b,c的方程(组),求出参数a,b,c;(3)写出标准方程.2.在求椭圆方程时,要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴,从而确定方程的形式,若不能确定焦点所在坐标轴,则应进行讨论.一般地,已知椭圆的焦点坐标时,可以确定焦点位置,而已知离心率、长轴长、短轴长、焦距时,则不能确定焦点位置.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,且经过点A(2,0),求椭圆的标准方程.探究一探究二探究三素养形成当堂检测求椭圆的离心率的值求椭圆的离心率的值(或范围或范围) 探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探

19、究二探究三素养形成当堂检测(方法2)设A(0,b),B(a,0),F(-c,0),设FAB的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.将A,B,F三点的坐标分别代入外接圆方程,探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:(1)A(2)A 探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟求椭圆离心率及取值范围的两种方法 (2)方程法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或范围.求离心率的范围时,应根据题意建立a,c的不等式,结合e(0,1)确定

20、离心率的范围.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练3(1)已知椭圆的焦距不小于短轴长,求椭圆的离心率的取值范围.探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)如图所示,设直线y=2x与椭圆的一个交点为P,则点P横坐标为c,连接PF1,PF2,则|PF1|=2c.因为PF1F2为直角三角形,|F1F2|=2c,探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟离心率的求法 (3)若已知a,b,c的关系,则可转化为a,c的方程或不等式,进而得到关于e的方程或不等式进行求解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测一题多变一题多变求椭圆的求椭圆的离心率离心率 答案:D 探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1

21、(变条件)若将本例中“PF2F1F2,PF1F2=30”改为“PF2F1=75,PF1F2=45”,求椭圆C的离心率.解:在PF1F2中,PF1F2=45,PF2F1=75,F1PF2=60,设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,椭圆的长轴长为2a,探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2(变条件,变设问)若将本例中“PF2F1F2,PF1F2=30”改为“椭圆C上存在点P,使F1PF2为钝角”,求椭圆C的离心率的取值范围.探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是()A.(-1,0),(1,0) B.(0,-1),(0,1)答案:D 探究

22、一探究二探究三素养形成当堂检测答案:A 探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:A 探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.2.1双曲线及其标准方程如图所示,取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1、F2上,把笔尖放在点M处,随着拉链逐渐拉开或者闭拢,笔尖所经过的点就画出一条曲线,这就是双曲线的一支.把两个固定点的位置交换,如图所示,类似可以画出双曲线的另一支.这两条曲线合起来叫做双曲线.双曲线上的点到两定点F1,F2的距离有何特点?一、双曲线的定义1.定义:一般地,我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小

23、于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2.集合语言表达式双曲线就是集合P=M|MF1|-|MF2|=2a,02a|MF2|,则|MF1|-|MF2|0,点M的轨迹是靠近定点F2的那一支;(2)若|MF1|0,点M的轨迹是靠近定点F1的那一支.2.双曲线定义中的常数必须要大于0且小于|F1F2|.(1)若定义中的常数等于|F1F2|,此时动点轨迹是分别以F1和F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).(2)若定义中的常数大于|F1F2|,此时动点轨迹不存在.(3)若定义中的常数为0,此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.微练习1已知

24、平面上定点F1,F2及动点M,命题甲:|MF1|-|MF2|=2a(a为常数),命题乙:点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,则甲是乙的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:B微练习2平面内到点F1(6,0)的距离减去到点F2(-6,0)的距离之差等于12的点的集合是()A.双曲线B.双曲线的一支C.两条射线D.一条射线解析:设动点为P,则|PF1|-|PF2|=12=|F1F2|,点P的轨迹为以F2为端点的一条射线.答案:D二、双曲线的标准方程 名师点析1.双曲线的标准方程是指当双曲线在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指双曲线的中心在坐标原点,对称轴为坐

25、标轴.3.双曲线的焦点在x轴上标准方程中x2项的系数为正;双曲线的焦点在y轴上标准方程中y2项的系数为正,即“焦点跟着正的跑”.这是判断双曲线焦点所在坐标轴的重要方法.(2)已知a=5,c=10,焦点在y轴上,则双曲线的标准方程为.探究一探究二探究三素养形成当堂检测双曲线定义的双曲线定义的应用应用 (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离.(2)若点P是双曲线上的一点,且F1PF2=60,求F1PF2的面积.思路分析:(1)直接利用定义求解.(2)在F1PF2中利用余弦定理求|PF1|PF2|.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)设|MF1|=16,

26、根据双曲线的定义知|MF2|-16|=6,即|MF2|-16=6.解得|MF2|=10或|MF2|=22.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟求双曲线中的焦点三角形PF1F2面积的方法(1)根据双曲线的定义求出|PF1|-|PF2|=2a;利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式;通过配方,利用整体的探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:在双曲线的方程中,a=3,b=4,则c=5.设|PF1|=m,|PF2|=n(m0,n0).由双曲线的定义可知,|m-n|=2a=6,两边平方,得m2+n2-2mn=36.又F1PF2=90,由勾股定理,得m2+n2=|F1

27、F2|2=(2c)2=100.探究一探究二探究三素养形成当堂检测求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程例2根据下列条件,求双曲线的标准方程:思路分析:(1)结合a的值设出标准方程的两种形式,将点A的坐标代入求解.(2)因为焦点相同,所以所求双曲线的焦点也在x轴上,且c2=16+4=20,利用待定系数法求解,或设出统一方程求解.(3)双曲线焦点的位置不确定,可设出一般方程求解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟1.求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型,并设出标准方程;(2)求出a2,b2的值.2.当双曲线的焦点所在

28、坐标轴不确定时,需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,特别地,当已知双曲线经过两个点时,可设双曲线方程为Ax2+By2=1(AB0)来求解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2求满足下列条件的双曲线的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;解:(1)由已知得,c=5,2a=8,即a=4.c2=a2+b2,b2=c2-a2=52-42=9.焦点在x轴上,探究一探究二探究三素养形成当堂检测双曲线标准方程的双曲线标准方程的应用应用 (1)若该方程表示双曲线,求实数k的取值范围;(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线,求实数k

29、的取值范围.思路分析:根据双曲线方程的特征建立不等式(组)求解. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟双曲线方程的应用 探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练3(1)在方程mx2-my2=3n中,若mn0,则该方程表示()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线(2)若方程x2sin -y2cos =1(0)表示双曲线,则的取值范围是.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测与双曲线有关的轨迹问题的求解方法与双曲线有关的轨迹问题的求解方法一、定义法利用双曲线的定义可以判断平面内动点的轨迹是否为双曲线(或双

30、曲线的一支).典例1(2020湖北宜昌高二检测)已知两圆C1:(x+4)2+y2=2,C2:(x-4)2+y2=2,动圆M与圆C1外切,与圆C2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为.思路分析:利用与两圆内切、外切的充要条件,建立动点M的几何等量关系式,结合双曲线的定义求解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟利用双曲线的定义探求动点轨迹方程时要能从条件中寻找动点所满足的几何等量关系式是否符合双曲线的定义.在运用双曲线定义时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清所求轨迹是整个双曲线,还是双曲线的一支,若是一支,是哪一支,需用变量的范围确定.探究一探究二探究

31、三素养形成当堂检测典例2若一个动点P(x,y)到两个定点A(-1,0),A1(1,0)的距离之差的绝对值为定值a(a0),讨论点P的轨迹方程.思路分析:本题的关键在于a.因为|AA1|=2,以0和2为分界点,应讨论以下四种情况:a=0,0a2.解:由题意知|AA1|=2.当a=0时,轨迹是线段AA1的垂直平分线,即y轴,方程为x=0;当0a2时,无轨迹.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟利用双曲线的定义确定点的轨迹方程时,既要注意定义中的条件|F1F2|2a(当条件中不能确定|F1F2|与2a的大小关系时,需要分类讨论),又要关注等量关系式中的绝对值.探究一探究二探究三素养形成当堂检测

32、二、相关点法建立动点坐标(x,y)与中间变量(x0,y0)之间的关系,消去x0,y0后即得动点的轨迹方程.思路分析:设点M(x,y),P(x0,y0),运用代入法求解. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟本题运用相关点法求轨迹方程,注意在含有两个动点时坐标的设法,求轨迹方程的点的坐标设为(x,y),另一点的坐标设为(x0,y0),用x,y来表示x0,y0,代入已知方程求解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.已知F1(-5,0),F2(5,0)为定点,动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a=3和a=5时,P点的轨迹分别为()A.双曲线和一条直线B.双曲线的一支和一条直线C.双曲

33、线和一条射线D.双曲线的一支和一条射线解析:因为|F1F2|=10,|PF1|-|PF2|=2a,所以当a=3时,2a=69时,9-k0.方程表示双曲线.当k0,k-40时,对应的双曲线焦点在x轴上,当0时,直线与双曲线有两个不同的公共点.(2)=0时,直线与双曲线只有一个公共点.(3)0时,直线与双曲线没有公共点.当a=0时,此时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线有一个公共点.2.数形结合思想的应用(1)直线过定点时,根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.(2)直线斜率一定时,通过平行移动直线,比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.探究一探究

34、二探究三素养形成当堂检测延伸探究本例条件不变,若直线l与双曲线C有一个交点,实数k的取值如何?探究一探究二探究三素养形成当堂检测A.6B.8C.9D.10 解析:由已知得左焦点(-5,0),右顶点(3,0),所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:B 探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:C 探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:16 探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.3.1抛物线及其标准方程我们把一根直尺固定在图板上直线l的位置,把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A,取绳长等于点A到

35、直角顶点C的长(即点A到直线l的距离),并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F.用铅笔尖扣着绳子,使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺,然后将三角尺沿着直尺上下滑动,笔尖就在图板上描出了一条曲线.这就是本节我们要学习的抛物线,这条曲线上的点有什么特征?一、抛物线的定义1.我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.2.数学表达式:抛物线是点的集合P=M|MF|=d.名师点析1.抛物线的定义实质可以归结为“一动二定一相等”:“一动”即一个动点,设为M;“二定”包括一个定点F,即抛物线的焦点,和一条定直线l,即抛

36、物线的准线;一相等,即|MF|=d(d为M到准线l的距离).2.定义中,要注意强调定点F不在定直线l上.当直线l经过点F时,点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线.微练习1若动点P到点(3,0)的距离和它到直线x=-3的距离相等,则动点P的轨迹是()A.椭圆 B.抛物线C.直线D.双曲线解析:由抛物线定义知,动点轨迹为抛物线.答案:B微练习2平面内到点A(2,3)和直线l:x+2y-8=0距离相等的点的轨迹是()A.直线 B.抛物线C.椭圆D.圆解析:Al,轨迹为过A且与l垂直的一条直线.答案:A二、抛物线的标准方程 名师点拨1.要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对应抛物线的形

37、状(焦点位置、开口方向等).抛物线的标准方程中,有一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为2p;若一次项的字母是x,则焦点就在x轴上,若其系数是正的,则焦点就在x轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在x轴的负半轴上(开口向左);若一次项的字母是y,则焦点就在y轴上,若其系数是正的,则焦点就在y轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在y轴的负半轴上(开口向下).2.抛物线标准方程中参数p的几何意义:抛物线的焦点到准线的距离,所以p的值永远大于0,当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时,不要出现p0,焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定,系数为正,焦点在正半轴;系

38、数为负,焦点在负半轴.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:(1)C(2)D 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测求抛物线的标准方程求抛物线的标准方程例2根据下列条件分别求出抛物线的标准方程:(1)准线方程为y= ;(2)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5;(3)经过点(-3,-1);(4)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点.思路分析:(1)(2)由题意可确定方程形式求出p写出抛物线的标准方程(3)设出抛物线的标准方程代入点的坐标求参数写出抛物线的标准方程(4)写出焦点坐标分情况讨论焦点的位置写出抛物线的标准方程探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(2)已知抛物线的焦

39、点在y轴上,可设方程为x2=2my(m0),由焦点到准线的距离为5,知|m|=5,m=5,所以满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为x2=10y和x2=-10y.(3)点(-3,-1)在第三象限,设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p0)或x2=-2py(p0).探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(4)对于直线方程3x-4y-12=0,令x=0,得y=-3;令y=0,得x=4,抛物线的焦点为(0,-3)或(4,0).所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 2.求抛物线的标准方程

40、时需注意的三个问题(1)把握开口方向与方程间的对应关系.(2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx或x2=ny,这样可以减少讨论情况的个数.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究将本例(4)改为焦点为圆x2+y2=4与坐标轴的交点,抛物线方程为什么?探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练2根据下列条件确定抛物线的标准方程.(1)关于y轴对称且过点(-1,-3);(2)过点(4,-8);(3)焦点在x-2y-4=0上.解:(1)(方法1)设所求抛物线方程为x2=-2py(p0),将点(-1,-3)代入方程,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(2)(方法1)设所

41、求抛物线方程为y2=2px(p0)或x2=-2py(p0),将点(4,-8)代入y2=2px,得p=8;将点(4,-8)代入x2=-2py,得p=1.所以所求抛物线方程为y2=16x或x2=-2y.(方法2)当焦点在x轴上时,设抛物线的方程为y2=nx(n0),又抛物线过点(4,-8),所以64=4n,即n=16,抛物线的方程为y2=16x;当焦点在y轴上时,设抛物线的方程为x2=my(m0),又抛物线过点(4,-8),所以16=-8m,即m=-2,抛物线的方程为x2=-2y.综上,抛物线的标准方程为y2=16x或x2=-2y.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素

42、养形成当堂检测利用抛物线的定义解决轨迹利用抛物线的定义解决轨迹问题问题 A.椭圆 B.双曲线C.直线D.抛物线 答案:D 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟定义法解决轨迹问题根据动点坐标满足的方程判断其轨迹时,要注意结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式,对所给方程进行适当变形,分析其几何意义,然后结合有关曲线的定义作出判定.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练3一个动圆经过点A(2,0),并且和直线l:x=-2相切,则动圆圆心M的轨迹方程是.解析:设动圆的半径为R.因为动圆经过点A(2,0),所以|MA|=R.又因为动圆和直线l:x=-2相切,所以圆心M到直线l

43、:x=-2的距离d=R,即圆心M到定点A的距离与到定直线l的距离相等,故其轨迹是抛物线,且A是焦点,l是准线,并且有 =2,所以p=4,故动圆圆心M的轨迹方程是y2=8x.答案:y2=8x探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测抛物线的实际应用抛物线的实际应用例4一辆卡车高3 m,宽1.6 m,欲通过断面为抛物线形的隧道,已知拱口宽恰好是拱高的4倍,若拱口宽为a m,求使卡车通过的a的最小整数值.思路分析:建立适当的坐标系,通过确定点的坐标确定出抛物线的方程,把卡车的宽度坐标化,利用抛物线解决问题.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟求解抛物

44、线的实际应用问题的基本步骤(1)建:建立适当的坐标系.(2)设:设出合适的抛物线标准方程.(3)算:通过计算求出抛物线标准方程.(4)求:求出所要求出的量.(5)还:还原到实际问题中,从而解决实际问题.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练4如图是抛物线形拱桥,当水面在l处时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽为米.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=my,将A(2,-2)代入x2=my,得m=-2.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测与抛物线定义有关的最值问题与抛物线定义有关的最值问题典例设P为抛物线y

45、2=4x上的一个动点.(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.思路分析:本题主要考查与抛物线有关的最值问题,利用数形结合的思想寻求解题思路.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.因为点P到准线x=-1的距离等于点P到F(1,0)的距离,所以问题转化为在抛物线上求一点P,使点P到A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小.连接AF,如图所示.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(2)同理,|PF|与点P到准线x=-1的距离相等.如图所

46、示,过点B作BQ垂直于准线交准线于点Q,交抛物线于点P1.由题意知|P1Q|=|P1F|,所以|PB|+|PF|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.所以|PB|+|PF|的最小值为4.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测方法总结求圆锥曲线上到两定点的距离之和最小的点的位置时,通常有两种情况:(1)当两定点在曲线两侧时,连接两定点的线段与曲线的交点即为所求点;(2)当两定点在曲线同侧时,由圆锥曲线定义作线段的等量转换,转换为(1)的情形即可.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x-3y+11=0的距离为d2,则d1+d2

47、的最小值为.解析:抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F的距离,所以过焦点F作直线4x-3y+11=0的垂线,则F到直线的距离为答案:3 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测1.若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则点M到y轴的距离是()A.6B.7C.8D.9解析:抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,可得xM=9,则点M到y轴的距离是9.故选D.答案:D探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测2.已知抛物线方程为x2=-2y,则其准线方程为()A.y=-1B.y=1答案:C 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测3.若点P(x,y

48、)到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则P(x,y)的轨迹方程为()A.y2=8xB.y2=-8xC.x2=8yD.x2=-8y解析:依题意得点P(x,y)到点F(0,2)的距离与它到直线y+2=0的距离相等,并且点F(0,2)不在直线y+2=0上,所以点P的轨迹是抛物线,并且F是焦点,y+2=0是准线,于是抛物线方程为x2=8y.答案:C探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测4.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点在原点O,且过点P(2,4),则该抛物线的方程是.解析:由题意可设抛物线方程为y2=2ax.因为点P(2,4)在抛物线上,所以42=4a,故a

49、=4,即所求抛物线的方程为y2=8x.答案:y2=8x探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测a2+10a+9=0,解得a=-1或a=-9.当焦点为F(-1,0)时,p=2,抛物线开口方向向左,其方程为y2=-4x;当焦点为F(-9,0)时,p=18,抛物线开口方向向左,其方程为y2=-36x.3.3.2抛物线的简单几何性质把抛物线沿它的对称轴旋转一周,就会形成一个抛物面.这种抛物面形状,正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜的形状.这种形状,使得车灯既能够发射出明亮的、照射很远的平行光束,又能发射出较暗的、照射近距离的光线,这也就是汽车的远光灯和近光灯.那么它的工作原理是什么?前照灯由灯泡、反射镜、

50、 配光镜三部分组成一、抛物线的简单几何性质 名师点析1.抛物线没有渐近线,在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状,因为双曲线的开口越来越开阔,而抛物线的开口越来越扁平.2.抛物线的顶点只有一个,抛物线的焦点总在对称轴上,抛物线的准线始终与对称轴垂直.微判断(1)抛物线关于顶点对称.()(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.()(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.()答案:(1)(2)(3)微思考抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的有何不同?答案:抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的相比有较大差别,它的离心率为定值1,只有一个焦点,一个顶点、一条对称轴、一条准线,没有渐