2022年偏微分方程数值解-双曲线方程的有限差分法.pdf

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1、双曲型方程的有限差分法线性双曲型方程定解问题：（a）一阶线性双曲型方程0 xuxatu（b）一阶常系数线性双曲型方程组0 xtuAu其中 A ，s阶常数方程方阵，u为未知向量函数。（c）二阶线性双曲型方程（波动方程）022xuxaxtuxa为非负函数（d）二维，三维空间变量的波动方程0222222yuxutu022222222zuyuxutu1 波动方程的差分逼近1.1 波动方程及其特征线性双曲型偏微方程的最简单模型是一维波动方程：（1.1）22222xuatu其中0a是常数。（1.1）可表示为：022222xuatu，进一步有0uxatxat由于xat当adtdx时为txu,的全导数（dtd

2、udtdxxutuxuatu）,故由此定出两个方向精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - - （1.3）adxdt1解常微分方程（ 1.3）得到两族直线（14）1Ctax和2Ctax称其为特征。特征在研究波动方程的各种定解问题时，起着非常重要的作用。比如，我们可通过特征给出（1.1）的通解。 （行波法、特征线法）将（1.4）视为),(tx与),(21CC之间的变量替换。由复合函数的微分法则212211CuCuxCCuxCCuxuxCCuCu

3、CxCCuCuCxu2212121122222122212212CuCCuCCuCu2222122122CuCCuCu同理可得attatC1，atC2212211CuCuatCCutCCututCCuCuaCutCCuCuaCtu212211212221222222221222CCuCuaCuCCua22221221222CuCCuCua将22xu和22tu代入（ 1.1）可得：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 222212212

4、22CuCCuCua22221221222CuCCuCua即有0212CCu求其对2C的积分得：11CfCu其中1Cf是1C的任意可微函数。再求其对1C的积分得：（1.5）11,dCCftxuatxfatxfCfCf212211其中?1f和?2f均为任意的二次连续可微函数。（1.5）为（ 1.1）的通解，即包含两个任意函数的解。为了确定函数atxf1和atxf2的具体形式，给定u在x轴的初值（1.5）xxtuxutt1000将（1.5）式代入上式，则有（）xxfxf021注意txut,aatxfaatxf21；0,xutxaxfxf112，有（）xaxfxf1121并对x积分一次，得Cdaxf

5、xfx10121与（）式联立求解，得221211002Cdaxxfx221211001Cdaxxfx将其回代到通解中，即得（1.1）在（ 1.5）条件下的解：（1.6）txu,atxatx0021daatxatx121精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 即为法国数学家 Jean Le Rond d Alembert (1717-1783)提出的著名的 D Alembert公式。由 D Alembert 公式还可以导出解的稳定性，即当

6、初始条件（1.5）仅有微小的误差时，其解也只有微小的改变。如有两组初始条件：xxxuxxuxxuxxutt121201010,0,0,0,满足00，11，则txutxu,21atxatx0021+atxatx1121daatxatx1121即txutxu,21ata2212121t1显然，当t有限时，解是稳定的。此外，由 D Alembert 公式可以看出， 解在00, tx点，00t的值仅依赖于x轴上区间0000,atxatx内的初始值x0，x1， 与其他点上的初始条件无关。故称区间0000,atxatx为点00, tx的依存域 。 它是过点00, tx的两条斜率分别为a1的直线在x轴上截得

7、的区间。对于初始轴0t上的区间21, xx， 过1x点作斜率为a1的直线atxx1； 过1x点作斜率为a1的直线atxx2。它们和区间21, xx一起构成一个三角区域。此三角区域中任意点tx,的依存区间都落在21, xx内部。 所以解在此三角形区域中的数值完全由区间21, xx上的初始条件确定， 而与区间外的初始条件无关。这个三角形区域称为区间21, xx的决定域。在21, xx上给定初始条件，就可以在其决定域中确定初值问题的解。1.2 显格式现在构造（ 1.1）的差分逼近。取空间步长h和时间步长，用两族平行直线jhxxj，,2,1,0j，nttn，,2, 1,0n精品资料 - - - 欢迎下

8、载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 作矩形网络。于网点njtx ,处 Taylor 展开成2211,2,hOtxuhtxutxutxunjxxnjnjnj2211,2,Otxutxutxutxunjttnjnjnj代入（ 1.1）,并略去截断误差，则得差分格式：（1.7）2112njnjnjuuu21122huuuanjnjnj,2, 1,0j，,2, 1,0n这里nju 表示u于网点njtx ,处的近似值。初值条件（ 1.5）用下列差分方程近似：（1.8）j

9、jxu00（1.9）jjjxuu101注意： （1.7）的截断误差阶是22hO，而（ 1.9）的截断误差阶仅是O。为此需要提高（ 1.9）的精度，可用中心差商代替tu，即（1.10）jjjxuu1112为了处理1ju ，在（ 1.7）中令0n，得21012jjjuuu20100122huuuajjj进一步，1012jjjuuu010012jjjuuur其中har。并用（ 1.10）式的jjjxuu1112代入上式得jjjjxuxu1101221001022jjjxxxr即精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - -

10、- - -第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - - （1.11）1jujjjjxxrxxr1021010212这样，利用（ 1.8） (1.11)，可以由初始层0n的已知值，算出第一层1n各网格节点上的值。然后利用（1.7）或显式三层格式（1.12）1nju1211212njnjnjnjuuruur可以逐层求出任意网点值。以上显式三层格式也可用于求解混合问题：（1.13）ttluttuxxuxxuxuatut,00,0,1022222取JLh，NT。除（ 1.7）（ 1.9）外。再补充边值条件（1.14）nuN0，nuNJ13 稳定性分析下面我们要讨论（1.7） 的稳定

11、性。为引用 Fourier 方法，我们把波动方程（1.1）化成一阶偏微分方程组，相应地把显式三层格式（1.7）化成二层格式。一种简单的做法是引进变量tuv，于是（ 1.1）化为vtu，222xuatv这样会使得初值0, xu与0, xv不适定（不唯一），更合理的方法是再引进一个变量xua，将(1.1)化为（1.15）tuv，xatv，xvat注意到：xaxuaxaxuatutv22222；xvaxtuatxuaxuatt22精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 15 页 - - -

12、- - - - - - - 若令vU，00aaA，则(1.5)可写成(1.16) 0 xtUAU相应地，将（ 1.7）写成等价的双层格式：(1.17) hvvahavvnjnjnjnjnjnjnjnj1111121212121即17. 11111121212121njnjnjnjnjnjnjnjvvrrvv其中1njnjnjuuv，nj21huuanjnj111。可直接验证之。记har为网比。用 Fourier 方法可以证明， 差分方程 (1.17)稳定的必要条件是网比（1.19）har1。充分条件是网比（1.19）har1。Courant 等证明，1r时，差分解仍稳定，收敛。但是要求有更光滑

13、的初值。习惯上也称1r为 Courant 条件或 C-F-L（Courant-Fridrichs-Lewy）条件。稳定性条件（ 1.19）有直观的几何解释。从方程（1.12）1nju1211212njnjnjnjuuruur可看出，nju 依赖于前两层的值：11nju，11nju，1nju，2nju，而这四个值由依赖于，2nju依赖于：31nju，31nju，3nju，4nju1nju依赖于：21nju，21nju，3nju，2nju11nju依赖于：22nju，2nju，21nju，31nju精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 -

14、- - - - - - - - -第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 11nju依赖于：22nju2nju，21nju，31nju以此类推，可知，nju 最终依赖于初始层0n上的下列值：0nju，01nju， ，0ju ， ，01nju，0nju因此，称x轴上含于区间njnjxx,的网点为差分解nju 的依存域，它是x轴上被过njtx ,和0,njx以及njtx ,和0,njx的两条直线所切割下来的区间所覆盖的网域。而过njtx ,的两条特征线为：njttaxx。差分格式稳定的必要条件为：har1或ah1，并且进而ah1。可见差分格式稳定的必要条件是：差分解的依存

15、域必须包含微分方程解的依存域，否则差分格式不稳定。用依存域的概念容易证明：当1r时，差分解不收敛。1.4 隐式为了得到绝对稳定的差分格式，用第1n层、n层、1n层的中心差商的加权平均去逼近xxu得到下列差分格式：2112njnjnjuuu211111211211111222212huuuhuuuhuuuanjnjnjnjnjnjnjnjnj或122122222211njxnjxnjxnjtuuuhau其中10是参数。可以证明，对于41时，差分格式绝对稳定；410时，差分格式的充要条件是：411har。当0就是显格式（ 1.7） ，一个常用的隐式格式是取41此时，差分格式为：2112njnjnj

16、uuu1111111111112222224njnjnjnjnjnjnjnjnjuuuuuuuuuha精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 或1122222241njnjnjxnjtuuuhau高维波动方程！3 一阶双曲方程双曲方程与椭圆方程和抛物方程的一个重要区别是，双曲方程具有特征和特征关系，其解对初值有局部依赖性质。初值的函数性质（如间断、弱间断等）也沿着特征传播，因而其解一般没有光滑性质。 我们在构造双曲方程的差分逼近时，应充

17、分注意这些特性。下面对于一阶双曲方程 ，介绍几种常见的差分格式3.1 迎风格式首先考虑一阶线性常系数双曲方程（3.1 ）0 xuatu此方程虽简单， 但是对我们构造差分格式很有启发。我们的主要的目的是构造差分格式，因此只限于考虑纯初值问题。设0a, 定义特征线 : ,dtadx或dxadt则在每一条这样的特征线上, 0duuu dxuuadttx dttx因此, 在特征线上 ,u等于常数 . 对于（ 3.1 ）按照用差商代替微商的方法，自然有如下三种格式：12.3011huuauunjnjnjnj（左偏心格式）22.3011huuauunjnjnjnj（右偏心格式）32.302111huuau

18、unjnjnjnj（中心格式）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 其中12.3和22 .3的截断误差的阶为hO，32.3的截断误差的阶为2hO。记（3.3 ）har将12.332.3式改写为：12.3njnjnjurruu11122.3njnjnjruuru11132.3njnjnjnjururuu11122用 Fourier 方法分析稳定性可知，32.3绝对不稳定。0a时，22 .3不稳定，而12.3当1ah稳定， ；0a时，12

19、.3不稳定，而22.3当1ah稳定。这两个稳定条件意味着 差分方程的依存域必须包含微分方程的依存域。同样的思想可用于构造变系数方程0 xuxatu的差分格式。此时a可能变号，因此相应的格式为：（3.6）0,00,01111jnjnjjnjnjjnjnjjnjnjahuuauuahuuauu当当其中jjxaa。稳定性条件为（3.7）1maxjjah由（3.7） ，并取jjahr，则知12.3和22.3右端的系数非负。当0ja时，nnjjjjnjjnjjnjjnurrururuUUmax11max111精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳

20、- - - - - - - - - -第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 当0ja时，nnjjjjnjjnjjnjjnurrururuUUmax11max111其中nU是以nju 为分量的的向量。总之，nnUU1。这说明（ 3.6）稳定，按气体力学的含义（表示气流速度） ，称（ 3.6）为迎风格式 。初边值问题：边值条件应该在迎风方向给出! 3.2 积分守恒的差分格式迎风格式是根据特征走向构造出来的向前或向后差分格式。现在以积分守恒方程出发构造差分格式。所谓守恒方程是指如下散度型偏微分方程（3.13）0,xuxftu设 G 是 xt 平面中任意有界域，由Gree

21、n公式dxdtxuxftu,Gudxfdt其中G 。于是可将（ 3.13 ）写成积分守恒方程（3.14）udxfdt0 1. Lax格式首先，我们从（3.14 ）出发构造所谓Lax 格 式。取 G 为njA, 1，1, 1 njB，1, 1 njC和njD, 1为顶点的开矩形。ABCDA为其边界，则（3.15）udxfdtdxuDA+dxuBC+fdtAB+fdtCD右端第一积分用梯形公式，第二积分用中矩形公式即dxuDAhuunjnj2211，dxuBChunj21第三、第四积分用如下矩形公式计算：fdtABnjf1，fdtCDnjf1从而有精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - -

22、 - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - - huuunjnjnj22111011njnjff两端同除以h2得 Lax 格式（3.16）njnjnjuuu111210211hffnjnj其中njjnjtxuxff,，此格式的截断误差为2hO。特别地，auf时，Lax 格式为关于0 xuatu的显格式：njnjnjuuu111210211huuanjnj即njnjnjururu1111121其稳定性条件为1ha。现在回过头来看绝对不稳定格式32.3njnjuu10211huuanjnjLax

23、 格式实际是用njnjuu1121取代nju 的结果，这样一个变化就使得绝对不稳定格式成为条件稳定，并保持截断误差为2hO。双曲方程组112121111fxubxubxubtummmmmmmmmfxubxubxubtu2211即fuuxBt若矩阵ijbB相似于对角矩阵，则称为双曲方程组，可以化成m个一阶双曲方程组，分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 别求解。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - - -