2022年偏微分方程期末复习笔记.pdf

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1、偏微分方程期末考试复习一、波动方程（双曲型方程）),(2txfuauxxtt（一）初值问题（柯西问题）1、一维情形)()(),(002xuxutxfuautttxxtt（1）解法（传播波法） ：由叠加原理 ，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I）)()(0002xuxuuautttxxtt（）00),(002tttxxttuutxfuau其中，问题（ I）的解由 达朗贝尔公式给出：daatxatxtxuatxatx)(212)()(),(由齐次化原理 ，问题（）的解为：dtxWtxut0);,(),(其中，);,(tzyxW是下述初值问题的解：),(002xfWWWaWtttxxt

2、t，利用达朗贝尔公式得dfatxWtaxtax)()(),(21);,(从而问题（）的解为：ddfatxuttaxtax0)()(),(21),(综上所述，原初值问题的解为：ddfadaatxatxtxuttaxtaxatxatx0)()(),(21)(212)()(),(（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征线：依赖区间：点(x , t)的依赖区间为：x-at , x+at ; 决定区域：区间,21xx的决定区域为：( x,t)|atxxatx21 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1

3、页，共 9 页 - - - - - - - - - - 影响区域：区间,21xx的影响区域为：( x,t)|atxxatx21特征线：atxx0（3）解的验证：见课本P10, P14 2、三维情形),(),(),()(002zyxuzyxutzyxfuuuautttzzyyxxtt（1）解法（球面平均法） ：由叠加原理 ，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I）),(),(0)(002zyxuzyxuuuuautttzzyyxxtt（）00),()(002tttzzyyxxttuutzyxfuuuau其中，问题（ I）的解由 泊松公式 给出：MatMatSSdStadStattzyx

4、u224141),(由齐次化原理 ，问题（）的解为：dtzyxWtzyxut0);,(),(其中，);,(tzyxW是下述初值问题的解：),(00)(2zyxfWWWWWaWtttzzyyxxtt，利用泊松公式得MtaStardSrfatzyxW)()(),(41);,(从而问题（）的解为：dVrartfatzyxuatr),(41),(2综上所述，原初值问题的解为：dVrartfadStadStattzyxuatrSSMatMat),(414141),(222精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -

5、第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - （2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、惠更斯原理（无后效现象）：依赖区域（球面） ：点),(000tzyx的依赖区域为202202020)()()(tazzyyxx；决定区域（锥体） ：球面202202020)()()(tazzyyxx决定区域为：202202020)()()()(ttazzyyxx)(0tt；影响区域（锥面） ：点)0 ,(000zyx的影响区域为：22202020)()()(tazzyyxx)0(t特征锥：202202020)()()()(ttazzyyxx惠更斯原理（无后效现象）见课本P35（3）解的验

6、证：见课本P29, P32 3、二维情形),(),(),()(002yxuyxutyxfuuautttyyxxtt（1）解法（降维法） ：由叠加原理 ，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I）),(),(0)(002yxuyxuuuautttyyxxtt（）00),()(002tttyyxxttuutyxfuuau其中，问题（ I）的解由二维 泊松公式 给出：MatMatddyxatddyxattatyxu222222)()()(),()()()(),(21),(由齐次化原理 ，问题（）的解为：dtyxWtyxut0);,(),(其中，);,(tyxW是下述初值问题的解：),(00)

7、(2yxfWWWWaWtttyyxxtt，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 利用泊松公式得MrddyxrartfatyxWtar)(222)()(),(21);,(从而问题（）的解为：attarMrddyxrartfatyxu0)(2222)()(),(21),(综上所述，原初值问题的解为：attarMrMatMatddyxrartfaddyxatddyxattatyxu0)(2222222222)()(),(21)()()(),(

8、)()()(),(21),(（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、后效现象：依赖区域（圆饼） ：点),(00tyx的依赖区域为2022020)()(tayyxx；决定区域（锥体） ：圆饼2022020)()(tayyxx决定区域为：2022020)()()(ttayyxx)(0tt；影响区域（锥体） ：点)0,(00yx的影响区域为：222020)()(tayyxx)0(t特征锥：2022020)()()(ttayyxx后效现象见课本P35、36（3）解的验证：课本没有，有兴趣的童鞋自己动手丰衣足食。（二）初边值问题0)()(),(0002lxxtttxxttuuxuxutxfuau精品

9、资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - （1）解法（分离变量法） ：由叠加原理 ，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I）0)()(00002lxxtttxxttuuxuxuuau（）000),(0002lxxtttxxttuuuutxfuau用分离变量法 （过程请脑内补完）得到（I）的解为：xlktlakBtlakAtxukkksinsincos),(1其中dlkakBdlklAlklksin)(2sin)(200用齐次化原理 得

10、到（）的解：xlkdtlakBtxuktksin)(sin)(),(10从而原初边值问题的解为：xlkdtlakBxlktlakBtlakAtxuktkkkksin)(sin)(sinsincos),(101注：非齐次边界条件的情形见课本P21、22 （2）解的验证、相容性条件（见课本P19）相容性条件：函数23)(,)(CxCx，并且0)()0()()0()()0(lll二、热传导方程（抛物型方程）),(2txfuauxxt（一）初边值问题0)(0002lxxtxxtuuxuuau（注：由于老师讲课以及课后习题中都没有非齐次方程的初边值问题，估计不会考；但是边界条件有可能给第一、第二、第三类

11、边界条件，这里的解法仅一第一类齐次边界条件为例）（1）解法（分离变量法） ：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 用分离变量法 （过程请脑内补完）得到原方程的解为：xlkeCtxuktlkaksin),(12222其中dlklClksin)(20注：非齐次边界条件的情形见课本P21、22 （2）解的验证、相容性条件（见课本P51、52）（二）柯西问题)(),(02xutxfuautxxt（1）傅里叶变换 （必考的重点）一维情形：傅里叶变

12、换：dxexfgfFxi)()(傅里叶逆变换：degxfgFxi)(21)(1高维情形：设),(1nxxx，),(1n傅里叶变换：dxexfgfFnRxi)()(傅里叶逆变换：degxfgFnRxin)()2(1)(1傅里叶变换的性质：性质 12121fFfFffF性质 22121fFfFffF性质 3212121fFfFffF性质 4)()( xfFixfF性质 5)()(xfFddxixfF（2）解法：由叠加原理 ，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I）)(002xuuautxxt（）0),(02txxtutxfuau精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -

13、- - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 其中问题（ I）的解由 泊松公式 给出：detatxutax224)()(21),(用齐次化原理 得到问题（）的解：detfdatxutaxt)(4)(022),(21),(从而原柯西问题的解为：detfdadetatxutaxttax)(4)(04)(2222),(21)(21),(（3）解的验证（见课本P58、59）（三）极值原理、定解问题解的唯一性与稳定性（见课本P6065）极值原理热传导方程),(2txfuauxxt（0f）的解u(x,t)在抛物边界

14、上取得极大、极小值。三、调和方程（椭圆型方程）0u（一）拉普拉斯算子、梯度与散度1、 几个常用的关系式： )(udivu；nunu，n为单位向量；uvuvuvdiv)(2、拉普拉斯算子在不同坐标系下的形式：直角坐标系：222222zuyuxuu球面坐标系：)(sinsin1sin1)(1222222222ururrurru柱面坐标系：222221)(1zuurrurrru极坐标系：2221)(1urrurrru（二）变分原理（见课本P71、72） （算是难点，但期末考估计不会涉及，此处从略）（三）格林公式及其应用1、格林公式：dSnFdxdydzFdiv)(精品资料 - - - 欢迎下载 -

15、- - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 2、格林第一公式：dvudSnvudvu3、格林第二公式：dSnuvnvuduvvu)()(4、调和函数的基本积分公式：若0u，则MMMMMdSnMurrnMuMu)(11)(41)(000内在若上在若外在若00000),(4),(2,011MMuMMuMdSnurrnu若Fu，则MMMMMMMMdrMFdSnMurrnMuMu000)(41)(11)(41)(05、若u在以曲面为边界的区域内调和，在上有连续一阶偏导数，则0dSnu.

16、由此得到诺依曼边界条件fnu有解的必要条件是函数f满足0dSf6、球面平均值公式（条件略）：),(20041)(rMBudSrMu7、球体平均值公式（条件略）：),(30043)(rMBudSrMu8、极值原理、第一边值问题的唯一性及稳定性（略）（四）格林函数),(41),(000MMgrMMGMM1、格林函数法：调和函数的第一边值问题fu的解可以表示为：MdSnGfMu)(02、格林函数的性质：性质1格林函数),(0MMG除0MM一点外处处调和，而当0MM时，),(0MMG趋于无穷大的阶数与MMr041相同；性质 20),(0MMG；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -

17、 - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 性质 3MMrMMG041),(00性质 4),(),(1221MMGMMG性质 51),(0MdSnMMG3、静电原像法：（1）球的泊松公式：KMdSRRRRMu2302022020)cos2(41)(或020230202202000)cos2(),(sin4),(dRRRRfdRu（2）圆的泊松公式：222)cos2()(21),(020220200RyxdsRRRfRu或200020220200)cos(2()(21),(dRRRfu（3）半空间的泊松公式：2232020200000)()(),(2),(Rdxdyzyyxxyxfzzyxu（4）半平面的泊松公式：Rdxyxxxfyyxu2020000)()(),(（5）解的验证（见课本P85,86）（五）调和函数的基本性质（略，不是本次考试的重点）（六）强极值原理、第二边值问题的唯一性（略，不是本次考试的重点）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -