2022年全国3卷理科数学试题及答案解析.pdf

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1、绝密启封并使用完毕前注意事项：1. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷1 至 3 页，第卷3 至 5 页。2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。第卷选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设集合|(2)(3)0 ,|0SxxxTx x，则STI（）(A) 2 ， 3 (B)（-， 2U 3,+） (C) 3,+） (D)（0， 2U 3,+）【答案】 D（2）若i12z，则4i1zz（）(A)1

2、(B) -1 (C)i (D) i【答案】 C【解析】试题分析：4i4ii(12i)(12i)11zz，故选 C考点： 1、复数的运算；2、共轭复数（3）已知向量13(,)22BAuu v，3 1(,)22BCuu u v，则ABC（）(A)30 (B)45 (C)60 (D)120【答案】 A精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - - （4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图 图中A点表

3、示十月的平均最高气温约为15 C，B点表示四月的平均最低气温约为5 C下面叙述不正确的是（）(A) 各月的平均最低气温都在0 C以上 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D)平均气温高于20 C的月份有5个【答案】 D（5）若3tan4，则2cos2sin 2（）(A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】 A【解析】试 题 分 析 ： 由3tan4， 得34sin,cos55或34sin,cos55， 所 以2161264cos2sin 24252525，故选 A（6）已知432a，254b，1325c，则（）（A）ba

4、c（B）abc（C）bca（D ）cab【答案】 A【解析】试题分析：因为422335244ab，1223332554ca，所以bac，故选 A（7）执行下图的程序框图，如果输入的46ab，那么输出的n（）（A）3 （B）4 （ C）5 （D）6【答案】 B精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - - （8）在ABC中，4B=，BC边上的高等于13BC, 则cosA=（）（A）3 1010（B）1010（C）1010-（D）3 1010-【答

5、案】 C【解析】试题分析： 设BC边上的高线为AD，则3BCAD，所以225ACADDCAD，2ABAD由余弦定理，知22222225910cos210225ABACBCADADADAAB ACADAD，故选 C(9) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A）1836 5（B）5418 5（C）90 （D）81【答案】 B(10) 在封闭的直三棱柱111ABCA B C内有一个体积为V的球，若ABBC，6AB，8BC，13AA，则V的最大值是（）（A）4 （ B）92（C）6（D）323【答案】 B【解析】试题分析：要使球的体积V最大，必

6、须球的半径R最大由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时， 球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R，故选 B（11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)xyabab的左焦点，,A B分别为C精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 的左，右顶点 .P为C上一点，且PFx轴. 过点A的直线l与线段PF交于点M， 与y轴交于点E. 若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）（A）13（B）12（ C）23

7、（D）34【答案】 A（12）定义“规范01 数列”na如下：na共有2m项，其中m项为 0，m项为 1，且对任意2km，12,ka aaL中 0 的个数不少于1 的个数 . 若4m，则不同的“规范01 数列”共有（）（A）18 个（B）16 个（C）14 个（D）12 个【答案】 C【解析】试题分析：由题意，得必有10a，81a，则具体的排法列表如下：000011111011101101001110110100110100011101101001精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共

8、 14 页 - - - - - - - - - - 10第 II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题第（ 21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（ 22）题 第（ 24）题未选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共3 小题，每小题5 分（13）若, x y满足约束条件1020220 xyxyxy则zxy的最大值为 _.【答案】32【解析】试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数zxy经过点1(1, )2A时取得最大值，即max13122z（14）函数sin3 cosyxx的图像可由函数sin3 cosyxx的图像至少向右平移_个单位长度得到【答案】

9、3（15） 已知fx为偶函数， 当0 x时，( )ln()3f xxx， 则曲线yfx在点(1, 3)处的切线方程是_【答案】21yx【解析】试题分析：当0 x时，0 x，则()ln3fxxx又因为( )fx为偶函数，所以精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - - ( )()ln3f xfxxx，所以1( )3fxx，则切线斜率为(1)2f，所以切线方程为32(1)yx，即21yx（16）已知直线l：330mxym与圆2212xy交于,A

10、B两点，过,A B分别做l的垂线与x轴交于,C D两点，若2 3AB，则|CD_.【答案】 4三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17） （本小题满分12 分）已知数列na的前 n 项和1nnSa，其中0（I ）证明na是等比数列，并求其通项公式；（II ）若53132S，求【答案】（）1)1(11nna； （）1由01a，0得0na，所以11nnaa.因此na是首项为11，公比为1的等比数列，于是1)1(11nna（）由（）得nnS)1(1，由32315S得3231)1(15，即5)1(321，解得1（18） （本小题满分12 分）下图是我国2008 年至 2014 年生活垃

11、圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（I ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - - （II ）建立y关于t的回归方程（系数精确到），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量附注：参考数据：719.32iiy，7140.17iiit y，721()0.55iiyy，7.参考公式：相关系数12211()()()(yy)niiinniiiittyyrtt，回归方程$yab

12、$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()niiiniittyybtt$，$aybt$【答案】（）理由见解析； （）亿吨试题解析：（）由折线图这数据和附注中参考数据得4t，28)(712iitt，55.0)(712iiyy，89.232.9417.40)(717171iiiiiiiiytytyytt，99.0646.2255.089.2r因为y与t的相关系数近似为，说明y与t的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系 .（19） （本小题满分12 分）如图，四棱锥PABC中，PA地面ABCD，ADBCP，3ABADAC，4PABC，M为线段AD上一点，2AMMD，

13、N为PC的中点精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - - （I ）证明MN P平面PAB；（II ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.【答案】（）见解析； （）8 525【解析】试题分析： （）取PB的中点T，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT为平行四边形，从而得到MNATP，由此结合线面平行的判断定理可证；（）以A为坐标原点，以,AD AP所在直线分别为,y z轴建立空间直角坐标系，然后通过求直线AN的方向向量与平面PMN法向量的

14、夹角来处理AN与平面PMN所成角试题解析：（） 由已知得232ADAM，取BP的中点T，连接TNAT,，由N为PC中点知BCTN /，221BCTN.又BCAD/，故TNAMP，四边形AMNT为平行四边形，于是ATMN /.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以/MN平面PAB.设( , , )nx y zr为平面PMN的法向量，则00PNnPMn，即0225042zyxzx，可取(0, 2,1)nr，于是|8 5|cos,|25|n ANn ANnANr uuu rr uu u rru uu r.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳

15、 - - - - - - - - - -第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 【答案】（）见解析； （）21yx试题解析：由题设)0 ,21(F. 设bylayl:,:21，则0ab，且)2,21(),21(),21(),2(),0,2(22baRbQaPbbBaA.记过BA,两点的直线为l，则l的方程为0)(2abybax. .3分（）由于F在线段AB上，故01ab.记AR的斜率为1k，FQ的斜率为2k，则222111kbaabaababaabak，所以ARFQP. .5分（）设l与x轴的交点为)0,(1xD，则2,2121211baSxabFDabSPQFABF

16、.由题设可得221211baxab，所以01x（舍去），11x.设满足条件的AB的中点为),(yxE.当AB与x轴不垂直时，由DEABkk可得) 1(12xxyba.而yba2，所以) 1(12xxy.当AB与x轴垂直时，E与D重合，所以，所求轨迹方程为12xy. .12分（21） （本小题满分12 分）设函数( )cos2(1)(cos1)f xaxax，其中0a，记|( )|f x的最大值为A（）求( )fx；（）求A；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 14 页 - - -

17、- - - - - - - （）证明|( ) |2fxA【答案】（）( )2 sin 2(1)sinfxaxax； （）2123 ,0561 1,18532,1aaaaAaaaa； （）见解析试题解析：（）( )2 sin 2(1)sinfxaxax（）当1a时，|( ) | |sin 2(1)(cos1)|fxaxax2(1)aa32a(0)f因此，32Aa 4 分当01a时，将( )f x变形为2( )2 cos(1)cos1f xaxax令2( )2(1)1g tatat， 则A是|( ) |g t在 1,1上 的 最 大 值 ，( 1)ga，(1)32ga，且当14ata时，( )g

18、t取得极小值，极小值为221(1)61()1488aaaagaaa令1114aa，解得13a（舍去），15a（ ） 当105a时 ，( )g t在( 1,1)内 无 极 值 点 ，|( 1)|ga，|(1)| 23ga，|( 1)| |(1)|gg，所以23Aa（）由（）得|( ) | | 2 sin 2(1)sin| 2|1|fxaxaxaa.当105a时，|( ) | 1242(23 )2fxaaaA.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 14 页 - - - - - - -

19、- - - 当115a时，131884aAa，所以|( ) | 12fxaA.当1a时，|( )| 31642fxaaA，所以|( ) | 2fxA.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 22. （本小题满分10 分）选修 4-1 ：几何证明选讲如图，Oe中?AB的中点为P，弦PCPD，分别交AB于EF，两点（I ）若2PFBPCD，求PCD的大小；（II ）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OGCD【答案】（）60

20、； （）见解析试题解析：（）连结BCPB,，则BCDPCBPCDBPDPBABFD,.因为?APBP，所以PCBPBA，又BCDBPD，所以PCDBFD.又180 ,2PFDBFDPFBPCD，所以3180PCD，因此60PCD.（） 因为BFDPCD，所以180PCDEFD，由此知EFDC,四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过EFDC,四点的圆的圆心， 所以G在CD的垂直平分线上， 又O也在CD的垂直平分线上， 因此CDOG23. （本小题满分10 分）选修 4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为3cos()sinxy为参数

21、，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴， ，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()2 24（I ）写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（II ）设点P在1C上，点Q在2C上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标 .【答案】（）1C的普通方程为2213xy，2C的直角坐标方程为40 xy； （）3 1(,)2 2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 试题解析：（）1C的普通方程为2213xy，2C的直角坐标方程为40 xy.

22、 5分（）由题意，可设点P的直角坐标为( 3 cos,sin)，因为2C是直线，所以|PQ的最小值即为P到2C的距离( )d的最小值，|3cossin4|()2 |sin()2|32d. 8 分当且仅当2()6kkZ时，()d取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为3 1(,)2 2. 10 分24. （本小题满分10 分）选修 4-5 ：不等式选讲已知函数( )| 2|f xxaa（I ）当2a时，求不等式( )6f x的解集；（II ）设函数( )| 21|g xx当xR时，( )( )3f xg x，求a的取值范围【答案】（）|13xx； （）2,)试题解析：（）当2a时，( )| 2

23、2| 2f xx.解不等式|22 | 26x，得13x，因此，( )6f x的解集为| 13xx. 5 分（）当xR时，( )( )|2|12 |f xg xxaax| 212 |xaxa|1|aa，当12x时等号成立，所以当xR时，( )( )3f xg x等价于|1|3aa. 7 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 当1a时，等价于13aa，无解；当1a时，等价于13aa，解得2a，所以a的取值范围是2,). 10 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - - -