2022年全国一卷理科数学试卷.pdf

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1、绝密启封并使用完毕前试题类型： A2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1. 本试卷分第卷(选择题 ) 和第卷 ( 非选择题 ) 两部分 . 第卷 1 至 3 页，第卷3 至 5 页.2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第卷一. 选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合，则（A） （B） （C） （D）（2）设，其中x，y是实数，则（A）1（B） （C） （D）2（3）已知等差数列前9

2、项的和为 27， ，则（A）100（B）99（C）98（D）97（4）某公司的班车在7:00 ，8:00 ，8:30 发车，学 .科网小明在7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（A） （B） （C） （D）（5）已知方程 =1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（A）( 1,3) （B）( 1,3) （C）(0,3) （D）(0,3)（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径. 若该几何体的体积是，则它的表面积是（A）17（ B）18（ C）20（ D）28（7）

3、函数y=2x2e| x|在 2,2 的图像大致为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - （A） （B）（C） （D）（8）若，则（A） （B） （C） （D）（9）执行右面的程序图，如果输入的，则输出x，y的值满足（A） （B） （C） （D）(10) 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点 . 已知 |AB|= ， |DE|=，则C的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11) 平面a

4、过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，a知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为（A）11 （B）9 （C）7 （ D）5第 II卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第(13) 题 第(21) 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第(22) 题第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3 小题，每小题5 分(13) 设向量a=(m，1) ，b=(1，2) ，且 |a+b|2=|a|2+|b|2，则m=.(14) 的展开式中，x3的系数是 . （用数字填写答案）（15）设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2an的最大值为。（16）某高科技

5、企业生产产品A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要甲材料，乙材料1kg，用 5 个工时；生产一件产品B需要甲材料，乙材料，用3 个工时，生产一件产品A的利润为2100 元，生产一件产品B的利润为900 元。该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600 个工时的条件下，生产产品A、产品 B的利润之和的最大值为元。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

6、.（17） （本题满分为12 分）的内角A，B，C的对边分别别为a，b，c，已知（I ）求C；（II ）若的面积为，求的周长（18） （本题满分为12 分）如图，在已A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD， ，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是（I ）证明平面ABEFEFDC；（II ）求二面角E-BC-A的余弦值（19） （本小题满分12 分）某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元. 现需决策在购买机

7、器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2 台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数.（I ）求的分布列；（II ）若要求，确定的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？20. （本小题满分12 分）设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0 ）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I ）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；精品资料

8、 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - （II ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，学科 &网过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.（21） （本小题满分12 分）已知函数有两个零点 .(I) 求a的取值范围；(II)设x1，x2是的两个零点，学科. 网证明：+x22.请考生在22、23、24 题中任选一题作答, 如果多做 ,则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号（22） （本小题满分10

9、分）选修 4-1 ：几何证明选讲如图，OAB是等腰三角形，AOB=120. 以O为圆心，OA为半径作圆 .(I) 证明：直线AB与O相切；(II)点C,D在O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：ABCD.（23） （本小题满分10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a0） 。在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：=4cos.（I ）说明C1是哪种曲线，学. 科. 网并将C1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C3的极坐标方程为=0，其中0满足 tan0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a。（24） （本小题满分

10、10 分） ，选修 45：不等式选讲已知函数f(x)= x+1-2x-3 .（I ）在答题卡第（24）题图中画出y= f(x) 的图像；（II ）求不等式f(x) 1 的解集。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、 选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）D（2） B（3）C（4）B（5）A（6）A（7）D（8） C

11、（9）C（10）B（11）A（12）B二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分 (13) (14)10（15）64 （16）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - （17） （本小题满分为12 分）解： （I ）由已知及正弦定理得，即故可得，所以（II ）由已知，又，所以由已知及余弦定理得， 故，从而所以的周长为（18） （本小题满分为12 分）解： （I ）由已知可得， ，所以平面

12、又平面，故平面平面（II ）过作，垂足为，由（I ）知平面以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系由（ I ）知为二面角的平面角，故，则，可得， ， 由已知，所以平面又平面平面，故， 由，可得平面，所以为二面角的平面角，从而可得所以， ， 设是平面的法向量，则，即，所以可取设是平面的法向量，则，同理可取则故二面角的余弦值为学科&网精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - （19） （本小题满分12 分）解：

13、 （）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11 的概率分别为， ， ，从而；.所以的分布列为16171819202122（）由（）知， ，故的最小值为19.（）记表示2 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当时，. 学科 &网当时，.可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选.20. （本小题满分12 分）解： （）因为， ，故，所以，故 .又圆的标准方程为，从而，所以.由题设得， ，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - -

14、- - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - （） .（）当与轴不垂直时，设的方程为，.由得 .则， .所以 .过点且与垂直的直线： ，到的距离为，所以. 故四边形的面积. 学科 &网可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.当与轴垂直时，其方程为， ，四边形的面积为12.综上，四边形面积的取值范围为.（21） （本小题满分12 分）解： （）（i ）设，则，只有一个零点（ii ）设，则当时， ；当时，所以在上单调递减，在上单调递增又， ，取满足且，则，故存在两个零点（iii）设，由得或若，则，故当时， ，因此在上单调递增又当时，所以不存在两个零点学科&

15、网若，则，故当时， ；当时，因此在单调递减，在单调递增又当时，所以不存在两个零点综上，的取值范围为（）不妨设，由（）知，在上单调递减，所以等价于，即由于，而，所以设，则所以当时，而，故当时， 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 从而，故请考生在22、23、24 题中任选一题作答, 如果多做 ,则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号（22） （本小题满分10 分）选修 4-1 ：几何证明选讲解： （）设是的中点，连结，因为，所以，

16、在中， ，即到直线的距离等于圆的半径，所以直线与相切（）因为，所以不是四点所在圆的圆心，设是四点所在圆的圆心，作直线由已知得在线段的垂直平分线上，又在线段的垂直平分线上，所以同理可证，所以（23） （本小题满分10 分）解：（均为参数）为以为圆心，为半径的圆方程为即为的极坐标方程学科 &网两边同乘得即：化为普通方程为由题意：和的公共方程所在直线即为得：，即为（24） （本小题满分10 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 解：如图所示：当， ，解得或当， ，解得或或当， ，解得或或综上，或或，解集为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -