2022年全国卷极坐标与参数方程高考题汇编.pdf

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1、极坐标与参数方程（全国卷高考题）（2007）坐标系与参数方程：1Oe和2Oe的极坐标方程分别为4cos4sin，（）把1Oe和2Oe的极坐标方程化为直角坐标方程；（）求经过1Oe，2Oe交点的直线的直角坐标方程（2008）坐标系与参数方程：已知曲线 C1：cos()sinxy为参数，曲线 C2：222()22xttyt为参数。（1）指出 C1，C2各是什么曲线，并说明C1与 C2公共点的个数；（2）若把 C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1C，2C。写出1C，2C的参数方程。1C与2C公共点的个数和C1与 C2公共点的个数是否相同？说明你的理由。精品资料 - - - 欢迎

2、下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - （2009）已知曲线 C1：4cos ,3sin ,xtyt（t 为参数）， C2：8cos ,3sin,xy（为参数）（）化 C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（）若C1上的点 P 对应的参数为2t，Q 为 C2上的动点，求PQ 中点 M 到直线332 ,:2xtCyt（t 为参数）距离的最小值（2010）坐标系与参数方程：已知直线C1：x1tcos ，ytsin ，(t 为参数 )，圆 C2：xc

3、osysin ，( 为参数 )(1)当 3时，求 C1与 C2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作 C1的垂线，垂足为A，P 为 OA 的中点当变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - （2011）坐标系与参数方程：在直角坐标系xOy 中，曲线 C1的参数方程为2cos22sinxy（为参数），M 是 C1上的动点， P点满足2OPOMuuu vuuuu v,P 点的轨迹为曲线C2()求 C

4、2的方程()在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与 C1的异于极点的交点为 A，与 C2的异于极点的交点为B，求AB. （2012）已知曲线C1的参数方程是x2cosy3sin(为参数 )，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程是 =2. 正方形 ABCD的顶点都在C2上，且 A、B、C、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为 (2，3) ()求点 A、B、C、D 的直角坐标；()设 P为 C1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -

5、 - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - （2013 课标 1）已知曲线1C的参数方程为45cos ,55sinxtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2sin。（）把1C的参数方程化为极坐标方程；（）求1C与2C交点的极坐标（0,02） 。（2013 课标 2）已知动点PQ、都在曲线2cos ,:2sinxtCyt（t为参数）上，对应参数分别为=t与=2t（02） ，M为PQ的中点。（）求M的轨迹的参数方程；（）将M到坐标原点的距离d表示为

6、的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点。（2014 课标 1）已知曲线194:22yxC，直线tytxl222:（t为参数）（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为 30的直线，交l于点A，求PA的最大值与最小值 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - （2014 课标 2）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos,0,2. （1）求

7、C得参数方程；（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线:32lyx垂直，根据（ 1）中你得到的参数方程，确定D的坐标 . （2015 课标 1）在直角坐标系xOy中，直线1:2Cx，圆222:121Cxy，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I）求12,C C的极坐标方程 . （II）若直线3C的极坐标方程为R4，设23,CC的交点为,MN，求2C MN的面积 . （2015 课标 2）在直线坐标系xOy中，曲线 C1：cossinx ty t（ t 为参数， t0）其中 0. 在以 O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： p=2sin， C3：p=23cos

8、。（I ）求 C1与 C3交点的直角坐标；（II ）若 C1与 C2相交于点A，C1与 C3相交于点B，求 |AB| 的最大值 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 9.【2015 高考新课标1，文 23】选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线1:2Cx，圆222:121Cxy，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I）求12,C C的极坐标方程 . （II）若直线3C的极坐标方程为R4，设23,

9、C C的交点为,MN，求2C MN的面积 . 【答案】 （）cos2,22 cos4sin40（）12【解析】试题分析： （）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C ，2C 的极坐标方程； （）将将=4代入22 cos4sin40即可求出 |MN| ，利用三角形面积公式即可求出2C MNV的面积 . 试题解析：（）因为cos ,sinxy，1C的极坐标方程为cos2，2C的极坐标方程为22cos4 sin40. 5 分（）将=4代入22 cos4sin40，得23 240，解得1=2 2，2=2，|MN|=12=2，因为2C的半径为 1，则2C MNV的面积o121 sin452=12.

10、（23）2014（本小题满分10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线194:22yxC，直线tytxl222:（t为参数）（2）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（3）过曲线C上任意一点P作与l夹角为 30的直线，交l于点A，求PA的最大值与最小值 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 解析(1) 曲线 C的参数方程为 ( 为参数 ). 直线 l 的普通方程为2x+y-6=0. (2) 曲线 C上任意一点P(2cos

11、 ,3sin ) 到l 的距离为d=|4cos +3sin -6|, 则|PA|=|5sin(+) -6|,其中 为锐角 , 且 tan =.当 sin( +)= -1 时,|PA| 取得最大值 , 最大值为 . 当 sin( +)=1 时,|PA| 取得最小值 , 最小值为 . 5.(2014课标,23,10分) 选修 44: 坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中, 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 半圆 C 的极坐标方程为 =2cos , .(1) 求 C的参数方程 ; (2) 设点 D在 C上,C 在 D处的切线与直线l:y=x+2垂直 , 根据 (1) 中你得到的参

12、数方程, 确定 D的坐标 . 解析(1)C 的普通方程为 (x-1)2+y2=1(0y1).可得 C的参数方程为(t 为参数,0 t ).(2) 设 D(1+cos t,sin t). 由(1) 知 C是以 G(1,0) 为圆心 ,1 为半径的上半圆. 因为 C在点 D处的切线与l 垂直, 所以直线 GD与 l 的斜率相同 .tan t=,t=. 故 D的直角坐标为 ,即. 6.(2014辽宁,23,10分) 选修 4 4: 坐标系与参数方程将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变, 纵坐标变为原来的2 倍, 得曲线 C. (1) 写出 C的参数方程 ; (2) 设直线 l:2x+y-2

13、=0与 C的交点为 P1,P2, 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求过线段 P1P2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 解析(1) 设(x1,y1) 为圆上的点 , 经变换为 C上点(x,y),依题意 , 得由+=1 得 x2+=1,即曲线 C的方程为x2+=1. 故 C的参数方程为 (t 为参数 ). (2) 由解得或不妨设 P1(1,0),P2(0,2),则线段 P1P2的中点坐标为 , 所求直线斜率为k=, 于是所求直线方程为y-1=, 化为极坐标方程, 并整理得 2cos - 4sin = -3, 即 =.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - -

14、- - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 例2(2009 辽宁 )在直角坐标系xOy 中， 以 O 为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 极点， x 轴正半轴为极轴建立坐标系曲线C 的极坐标方程为 cos 31，M、N 分别为 C 与 x 轴， y 轴的交点(1)写出 C 的直角坐标方程，并求M、N 的极坐标；(2)设 MN 的中点

15、为 P，求直线 OP 的极坐标方程2.解(1)由 cos 31 得12cos 32sin 1. 从而 C 的直角坐标方程为12x32y1，即 x3y2，当 0 时， 2，所以 M(2,0)当 2时， 233，所以 N233，2. (2)M 点的直角坐标为(2,0)N 点的直角坐标为(0，2 33)所以 P 点的直角坐标为1，33，则 P 点的极坐标为233，6，所以直线 OP 的极坐标方程为 6， (， )变式迁移 2 (2010 东北三校第一次联考)在极坐标系下，已知圆O： cos sin 和直线 l： sin( 4)22，(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；(2)当 (0， )时，

16、求直线l 与圆 O 公共点的一个极坐标变式迁移 2 解(1)圆 O： cos sin ，即 2 cos sin ，圆 O 的直角坐标方程为x2 y2xy，即 x2y2xy0. 直线 l： sin( 4)22，即 sin cos 1，则直线 l 的直角坐标方程为yx1，即 xy10. (2)由x2y2xy0，xy10得x0，y1.故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为(1，2)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 9(12 分)(2

17、011 江苏)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆x5cos ，y3sin (为参数 )的右焦点，且与直线x42t，y3t(t 为参数 )平行的直线的普通方程9解由题设知，椭圆的长半轴长a5，短半轴长b 3，从而 ca2 b24，所以右焦点为 (4,0)将已知直线的参数方程化为普通方程：x2y 20.(6 分 ) 故所求直线的斜率为12，因此其方程为y12(x4)，(8 分) 即 x2y40.(12 分) 10(12 分)(2010 福建 )在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为x322t，y522t(t为参数 )在极坐标系 (与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，

18、 以 x 轴正半轴为极轴 )中，圆 C 的方程为 2 5sin . (1)求圆 C 的直角坐标方程；(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A，B.若点 P 的坐标为 (3，5)，求 |PA| |PB|. 10解方法一(1) 2 5sin ，得 x2y2 2 5y0，即 x2(y5)25.(4 分) (2)将 l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得(322t)2(22t)25，即 t232t40.(6 分) 由于 (32)24420，故可设 t1，t2是上述方程的两实根，所以t1t23 2，t1 t24.又直线 l 过点 P(3，5)，故由上式及t 的几何意义得 |PA|PB|t1|t2| t

19、1t232.(12 分) 方法二(1)同方法一(2)因为圆 C 的圆心为点 (0，5)，半径 r5，直线 l 的普通方程为y x35.(8分) 由x2 y525，y x35得 x23x20. 解得x1，y25或x2，y15.(10 分) 不妨设 A(1,25)，B(2,15)，又点 P 的坐标为 (3，5)，故|P A|PB|823 2.(12 分) 6.【2015 高考陕西，文23】选修 4-4：坐标系与参数方程精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - -

20、- - - - - 在直角坐标版权法xOy吕，直线l的参数方程为132(32xttyt为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，Ce的极坐标方程为2 3 sin. (I)写出Ce的直角坐标方程；(II)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点P的坐标 . 【答案】 (I) 2233xy； (II) (3,0).【解析】试题分析：(I)由23sin，得22 3 sin，从而有222 3xyy，所以2233xy(II)设133,22Ptt，又(0,3)C，则22213331222PCttt，故当0t时，PC取得最小值，此时P点的坐标为(3,0). 试题解析： (I)由2 3

21、sin，得22 3sin，从而有2223xyy所以2233xy(II)设133,22Ptt，又(0,3)C，则22213331222PCttt，故当0t时，PC取得最小值，此时P点的坐标为(3,0). 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 11 (14 分)(2010 课标全国 )已知直线 C1：x1tcos ，ytsin (t 为参数 )， 圆 C2：xcos ，ysin ( 为参数 )(1)当 3时，求 C1与 C2的交点坐标；

22、(2)过坐标原点O 作 C1的垂线，垂足为A，P 为 OA 的中点，当变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线11解(1)当 3时， C1的普通方程为y3(x1)，C2的普通方程为x2y21，联立方程组y3 x1 ，x2y21，解得 C1与 C2的交点坐标为(1,0)， (12，32)(7 分) (2)C1的普通方程为xsin ycos sin 0. A 点坐标为 (sin2 ， cos sin )，故当 变化时， P 点轨迹的参数方程为x12sin2 ，y12sin cos (为参数 )(9 分) P 点轨迹的普通方程为(x14)2y2116.(12 分) 故 P 点轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆(14 分) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -