2022年全国高中数学联赛模拟试题一.pdf

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1、全国 2010 高中数学联赛模拟试题一一、选择题（本题满分36 分，每小题 6分）1. 1、函数的最大值是（）A、2 B、C、 D、3 2. 已 知， 定 义， 则（）A BC D3. 已知正三棱锥 PABC 的外接球 O 的半径为 1，且满足，则正三棱锥PABC 的体积为（）ABCD4. 已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，P 为双曲线右支上任意一点，当取得最小值时，该双曲线离心率的最大值为（）A、B、3 C、D、2 5. 已知（R），且则 a 的值有 （）（A）个（B）个（C）个（D）无数个6. 平面上有两个定点A、B，另有 4 个与 A、B 不重合的的动点。若使则称（）为一个好点对。那

2、么这样的好点对（）A不存在B至少有一个C至多有一个D恰有一个精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 二、填空题（本题满分54 分，每小题 9分）7. 不等式的解集为，那么的值等于 _. 8. 定义在 R 上的函数， 对任意实数， 都有和， 且，则的值为 _. 9. 等差数列有如下性质：若是等差数列，则通项为的数列也是等差 数 列 类 比 上 述 性 质 ， 相 应 地 ， 若是 正 项 等 比 数 列 ，则 通 项 为_ 的数列也是等比数

3、列10. 在正三棱锥 SABC 中 M、N 分别是棱 SC，BC 的中点，且 MNAM ，若侧棱SA=2，则此正三棱锥 SABC 外接球的表面积是11. 如图，用 6 种不同的颜色给图中的4 个格子涂色， 每个格子涂一种颜色， 要求最多使用 3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）12.已知点 A(0，2)和抛物线 y2x4 上两点 B、C 使得 ABBC，求点 C 的纵坐标的取值范围三、解答题（本题满分60 分，共 4 小题，每题各 15 分）13. 在外接圆直径为1 的 ABC 中角 A、B、C 的对边分别为设向量(1) 求的取值范围 ; （2）若试确定实数

4、的取值范围 . 14. 已知等腰梯形 PDCB 中（如图 1），PB=3，DC=1，PD=BC=，A 为 PB边上一点，且 PA=1，将 PAD 沿 AD 折起，使面 PAD面 ABCD（如图 2）。（）证明：平面 PADPCD；（）试在棱PB 上确定一点 M，使截面 AMC 把几何体分成的两部分；（）在 M 满足（）的情况下，判断直线AM精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 是否平行面 PCD. 15. 设椭圆的方程为, 线段是过左焦

5、点且不与轴垂直的焦点弦 . 若在左准线上存在点, 使为正三角形 , 求椭圆的离心率的取值范围 , 并用表示直线的斜率 . 16. 在数列中，（）试比较与的大小；（）证明：当时，. 参考答案：1.B 2. 解：计算精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 可知是最小正周期为的函数。 即得， 所以，故选 C. 3.B 4.B 5. D 解：由题设知为偶函数，则考虑在时，恒有所以当，且时，恒有由于不等式的解集为，不等式的解集为因此当时，恒有. 故

6、选（ D）6.B 解：因为，所以。将区间 0，1分成，三段，则中至少有两个值落在同一个小区间内（抽屉原理）。所以满足的好点对（）至少有一个。所以选B. 7. 8. 20059. 10. 3611. 390 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 12. 简解：设点坐标为（ y21 4,y1），点坐标为 (y2 4,y) 显然 y214，故 kAB=(y1 2)/(y21 4)=1/(y1+2).由于 ABBC，所以 kBC= (y1+2)

7、.从而y y1= (y1+2)x (y21 4),y2=x+4消去x，注意到yy1得:(2+y1)(y+y1)+1=0y21+(2+y)y1+(2y+1)=0.由 0 解得： y0 或 y4.当 y=0 时，点的坐标为 ( 3, 1)；当 y=4 时，点的坐标为 (5, 3)，均满足题意。故点的纵坐标的取值范围是y0 或 y4.13. 【标准答案】解：因为所以，由正弦定理，得，即又所以即. (1)=因此的取值范围是 (2)若则, 由正弦定理，得设=,则, 所以即所以实数的取值范围为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - -

8、 - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 14. （I）证明：依题意知：（II） 由 （I） 知平面 ABCD平面 PAB平面 ABCD. 在 PB 上取一点 M，作 MNAB，则 MN平面 ABCD，设 MN=h则要使即 M 为 PB 的中点 . （III ）以 A 为原点， AD、AB、AP 所在直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系则 A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳

9、- - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 由（I）知平面，则的法向量。又为等腰因为所以 AM 与平面 PCD 不平行 . 15. 解： 如图, 设线段的中点为过点、分别作准线的垂线 , 垂足分别为、, 则 假 设 存 在 点， 则， 且， 即，所以，于是， 故若 (如图)，则. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 当时, 过点作斜率为的焦点弦, 它的中垂线交左准线于, 由上述

10、运算知 , 故为正三角形 . 若，则由对称性得又, 所以，椭圆的离心率的取值范围是，直线的斜率为16. 解：（）由题设知，对任意，都有，（）证法 1：由已知得，又. 当时，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 设则-，得证法 2：由已知得，（1）当时，由，知不等式成立。假设当不等式成立，即，那么要证，只需证即证，则只需证 10 分因为成立，所以成立. 这就是说，当时，不等式仍然成立 . 根据（1）和（ 2），对任意，且，都有精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -