2022年全国高中数学联赛模拟试题二.pdf

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1、A B C D M N A1 D1 B1 C1 图 1 全国高中数学联赛模拟试题（二）第一试一、选择题（每小题6 分，共 36分）1、如图 1，已知正方体 ABCDA1B1C1D1，点 M、N 分别在 AB1、BC1上，且 AMBN那么，AA1MN；A1C1MN；MN平面 A1B1C1D1；MN 与 A1C1异面以上 4个结论中，不正确的结论的个数为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 2、已知集合123,axyyxA，1511,2yaxayxB若BA，则 a 的所有取值是（A）1，1 （B）1，21（C）1，2 （D）1，4，253、用 Sn与 an分别表示区间1 , 0内不含数字 9的

2、n位小数的和与个数则nnnSalim的值为（A）43（B）45（C）47（D）494、首位数字是 1，且恰有两个数字相同的四位数共有（A）216个（B）252 个（C）324个（D）432个5、对一切实数 x，所有的二次函数cbxaxxf2（ab）的值均为非负实数则cbaab的最大值是（A）31（B）21（C）3 （D）2 6、双曲线12222byax的一个焦点为 F1，顶点为 A1、A2，P 是双曲线上任意精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - -

3、 - - 一点则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆一定（A）相交（B）相切（C）相离（D）以上情况均有可能二、填空题（每小题9 分，共 54分）1、已知复数i21z，1121i2i2zzz若 ABC 的 3 个内角 A、B、C 依次成等差数列，且2icos2cos2CAu，则2zu的取值范围是2、点 P(a,b)在第一象限内， 过点 P 作一直线 l，分别交 x、y 轴的正半轴于 A、B 两点那么， P A2PB2取最小值时，直线l 的斜率为3、若ABC 是钝角三角形，则arccos(sin A)arccos(sin B)arccos(sinC)的取值范围是4、在正四面体 ABCD 中，点

4、 M、P 分别是 AD、CD 的中点，点 N、Q 分别是BCD、ABC 的中心则直线 MN 于 PQ 的夹角的余弦值为5、 在122nx的展开式中，x 的幂指数是整数的各项系数之和是6、集合 A、B、C（不必两两相异）的并集ABC1,2,3,n则满足条件的三元有序集合组 (A,B,C)的个数是三、 （20 分）设 p0，当 p 变化时， Cp：y22px 为一族抛物线，直线l 过原点且交Cp于原点和点 Ap又 M 为 x 轴上异于原点的任意点，直线MAp交 Cp于点Ap和 Bp求证：所有的点Bp在同一条直线上四、 （20 分）对于公差为 d(d0)的等差数列 an ，求证：数列中不同两项之和仍

5、是这一数列中的一项的充要条件是存在整数m1，使 a1md五、 （20 分）求最大的正数，使得对任意实数 a、b，均有222baba322baba精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - O B C A D N M 图 2 第二试一、 （50 分）如图 2，O 切ABC 的边 AB 于点 D，切边 AC 于点 C，M 是边 BC 上一点， AM 交 CD 于点 N求证： M 是 BC 中点的充要条件是 ONBC二、 （50 分）求出能表示为a

6、bccban2（a、b、cZ+）的所有正整数 n三、 （50 分）在一个1212nn（n2）的方格表的每个方格内填入1 或1，如果任意一格内的数都等于与它有公共边的那些方格内所填数的乘积，则称这种填法是“成功”的求“成功”填法的总数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 参考答案第一试一、选择题：题号1 2 3 4 5 6 答案B D D D A B 二、填空题：1、25,22；2、aab；3、23,2；4、181；5、21312n；6、7n三、证略四、证略五、427max第二试一、证略；二、1,2,3,4,5,6,8,9三、1 种（每空填 1） 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -