2022年全国高中数学联赛模拟试题十.pdf

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1、全国高中数学联赛模拟试题（十）（命题人：杨建忠审题人：李潜）第一试一、选择题：（每小题 6 分，共 36 分）1、设集合 M=2,0,1，N=1,2,3,4,5 ，映射 f：MN 使对任意的 xM，都有 x+f(x)+xf(x)是奇数，则这样的映射f 的个数是（A）45 （B）27 （C）15 （D）11 2、已知 sin2 =a，cos2 =b，0 4，给出4tan值的五个答案：ab1；ba1；ab1；ba1；11baba其中正确的是：（A）（B）（C）（D）3、若干个棱长为2、3、5 的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是（A）64 （B）6

2、6 （C）68 （D）70 4、递增数列 1,3,4,9,10,12,13, ，由一些正整数组成，它们或者是3 的幂，或者是若干个 3 的幂之和，则此数列的第100项为（A）729 （B）972 （C）243 （D）981 5、14951CCCCmnnnn（其中41nm， x表示不超过 x 的最大整数）的值为（A）4cos2nn（B）4sin2nn（C）4cos22211nnn（D）4sin22211nnn6、一个五位的自然数abcde称为“凸”数，当且仅当它满足abc，cde（如 12430，13531 等） ，则在所有的五位数中“凸”数的个数是（A）8568 （B）2142 （C）2139

3、 （D）1134 二、填空题：（每小题 9 分，共 54 分）1、过椭圆12322yx上任意一点 P， 作椭圆的右准线的垂线PH （H 为垂足） ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 并延长 PH 到 Q，使得 HQ= PH（ 1） 当点 P 在椭圆上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围是2、已知异面直线a、b 所成的角为 60，过空间一点P 作与 a、b 都成角（0 90）的直线 l，则这样的直线 l 的条数是 f( )= 3、不等

4、式92211422xxx的解集为4、设复数 z满足条件 |z i|=1，且 z0，z2i，又复数使得i 2i 2zz为实数，则复数2 的辐角主值的取值范围是5、设 a1,a2,a2002均为正实数，且21212121200221aaa，则a1a2a2002的最小值是6、在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数字8，则称它为“优选”数码（如12883，787480889 等） ，否则称它为“非优选”数码（如 2348756，958288 等） ，则长度不超过n（n 为自然数）的所有“优选”数码的个数之和为三、 （20 分）已知数列 an是首项为 2，公比为21的等比数列，且前 n 项和

5、为 Sn（1） 用 Sn表示 Sn+1；（2） 是否存在自然数c 和 k，使得cScSkk 12 成立四、 （20 分）设异面直线 a、b 成 60角，它们的公垂线段为EF，且|EF|=2，线段 AB的长为 4，两端点 A、B 分别在 a、b 上移动求线段 AB 中点 P 的轨迹方程五、 （20 分）已知定义在 R+上的函数 f(x)满足（i）对于任意 a、bR+，有 f(ab)=f(a)+f(b)；（ii）当 x1 时，f(x)0；（iii ）f(3)= 1现有两个集合 A、B，其中集合 A=( p,q)|f(p2+1) f(5q) 20，p、qR+ ，集合B=( p,q)|f(qp)+21

6、=0，p、qR+试问是否存在p、q，使精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - BA，说明理由第二试一、 （50 分）如图，AM、AN 是O 的切线， M、N 是切点， L 是劣弧 MN 上异于M、N 的点，过点 A 平行于 MN 的直线分别交ML、NL 于点 Q、P若POQOSS32，求证： POQ=60二、 （50 分）已知数列 a1=20，a2=30，an+2=3an+1an（n1） 求所有的正整数 n，使得 1+5anan+1是完全

7、平方数三、 （50 分）设 M 为坐标平面上坐标为 (p 2002,7p 2002)的点，其中 p 为素数求满足下列条件的直角三角形的个数：（1） 三角形的三个顶点都是整点，而且M 是直角顶点；（2） 三角形的内心是坐标原点M A P Q N L O 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 参考答案第一试一、选择题：题号1 2 3 4 5 6 答案A C B D D B 二、填空题：1、1 ,33；2、900 ,460, 36030,230, 1300 ,0f；3、845,00 ,21；4、,34arctan；5、40022002；6、63142789102111nn三、 （1）2211nnSS；（2）不存在四、1922yx五、不存在第二试一、证略；二、n=3三、 p2,7,11,13时，324个；p=2 时，162个；p=7,11,13 时，180个精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -