2022年全国高考理科数学试题含答案.pdf

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1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第 I 卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)复数212ii的共轭复数是（）（A）35i（B）35i（C）i（ D）i（2）下列函数中，既是偶函数又在+（0， ） 单调递增的函数是（）（A）3yx(B) 1yx（C）21yx(D) 2xy（3） 执行右面的程序框图， 如果输入的 N 是 6， 那么输出的 p 是 （ ）（A）120 （B）720 （C）1440 （D）5040 （4）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两

2、位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）（A）13（B）12（C）23（D）34（5）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线2yx上，则cos2=（ ）（A）45（B）35（C）35（D）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如左图所示，则相应的侧视图可以为（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - （7） 设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，L 与 C 交于 A ,B 两点，AB为

3、 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为（）（A）2（B）3（C）2 （D）3 （8）512axxxx的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40 （9）由曲线yx，直线2yx及 y 轴所围成的图形的面积为（）（A）103（B）4 （C）163（D）6 （10）已知 a与 b 均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题（）12:10,3Pab22:1,3Pab3:10,3Pab4:1,3Pab其中的真命题是（）（A）14,P P（B）13,P P（C）23,P P（D）24,P P（ 11 ） 设 函 数( )sin()cos()(0,

4、)2fxxx的 最 小 正 周 期 为， 且()( )fxf x，则（）（A）( )f x在0,2单调递减（B）( )f x在3,44单调递减（C）( )f x在0,2单调递增（D）( )f x在3,44单调递增(12)函数11-yx的图像与函数2sin( 24)yxx的图像所有交点的横坐标之和等于（）（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8 第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13 题第 21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题第 24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分。（13）若变量, x y满足约束条件329,69,xyxy则2zxy

5、的最小值为。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - （14）在平面直角坐标系xOy中，椭圆 C的中心为原点，焦点12,FF在x轴上，离心率为22。过1F的直线 L 交 C 于,A B两点，且2ABFV的周长为 16，那么 C 的方程为。（15）已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为4 的球 O的球面上，且6,2 3ABBC,则棱锥OABCD 的体积为。（16）在ABCV中，60 ,3BACo，则2ABBC 的最大值为。三、解答题：解答应写出

6、文字说明，证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分12 分）等比数列na的各项均为正数，且212326231,9.aaaa a（ )求数列na的通项公式；（）设31323loglog.log,nnbaaa求数列1nb的前 n 项和. (18)(本小题满分12 分) 如图，四棱锥P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， DAB=60 ,AB=2 AD,PD底面 ABCD. ()证明： PABD；()若 PD=AD，求二面角A-PB-C 的余弦值。（19） （本小题满分12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用

7、两种新配方（分别称为A 配方和 B 配方）做试验，各生产了100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（）分别估计用A 配方， B 配方生产的产品的优质品率；（）已知用B 配方生成的一件产品的利润y(单位：元 )与其质量指标值t 的关系式为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元） ，求 X 的分布列及数学期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件

8、产品的质量指标值落入相应组的概率）（20） （本小题满分12 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1) ，B 点在直线y = -3 上， M点满足/ /MBOAuuu ruu r，MA ABMB BAuuu r uu u ruuu r uu r，M 点的轨迹为曲线C。（）求 C 的方程；（） P 为 C 上的动点， l 为 C 在 P 点处得切线，求O 点到 l 距离的最小值。（21） （本小题满分12 分）已知函数ln( )1axbf xxx，曲线( )yfx在点(1,(1)f处的切线方程为230 xy。（）求a、b的值；（）如果当0 x，且1x时，ln( )1xkf xxx，求

9、k的取值范围。请考生在第22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。（22） （本小题满分10 分）选修 4 - 1：几何证明选讲如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点， 且不与ABC的顶点重合。已知AE的长为 m、AC 的长为n，AD，AB的长是关于x的方程2140 xxmn的两个根。（）证明：C，B，D，E四点共圆；（）若90A，且4,6mn，求C，B，D，E所在圆的半径。(23)(本小题满分10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线 C1的参数方程为2cos22sinxy（为参数）M 是 C1上的动点， P 点满足

10、2OPOMuu u vuuu v,P 点的轨迹为曲线C2()求 C2的方程()在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与 C1的异于极点的交点为A，与 C2的异于极点的交点为B，求AB. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - (24)(本小题满分10 分 )选修 4-5：不等式选讲设函数( )3f xxax,其中0a。（）当1a时，求不等式( )32f xx的解集；（）若不等式( )0f x的解集为|1x x，求 a

11、 的值。2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷参考答案一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分）（1）C （2）B （3）B （4）A （5） B （6）D （7）B （8）D （9）C （10）A （11）A （12） D 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分）（13）-6 （14）221168xy（15）8 3（16）2 7三、解答题（17）解： （本小题满分12 分）（）设数列 an 的公比为 q，由23269aa a得22349aa所以219q。由条件可知a0,故13q。3 分由12231aa得12231aa q，所以113a。故数列

12、 an的通项式为an=13n。5 分（）31323nloglog.lognbaaa(12.)(1)2nn n8 分故12112()(1)1nbn nnn12111111112.2(1)().()22311nnbbbnnn11 分所以数列1nb的前 n 项和为21nn12 分(18)解： （本小题满分12 分）（）因为60 ,2DABABAD, 由余弦定理得3BDAD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 从而 BD2+AD2= AB2，故

13、 BDAD3 分又 PD底面 ABCD，可得 BDPD所以 BD平面 PAD. 故 PABD5 分解法二：取AB 中点为 E，连接 DE, 因为60 ,2DABABAD，故 AD=AE ，ADEV是等腰三角形， AE=EB=DE , 0260AEDEBDBDEEBD, 即090ADB, 故 BDAD 又 PD底面 ABCD，可得 BDPD所以 BD平面 PAD. 故 PABD5 分（） 如图，以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长， 射线 DA 为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，则1,0,0A,03,0B，,1, 3,0C,0,0,1P。( 1, 3,0),(0,3,1),( 1,0

14、,0)ABPBBCuu u vuu vuu u v7 分设平面 PAB 的法向量为n=（x,y,z） ，则0,0,n ABn PBuu u ruu r即3030 xyyz因此可取 n=(3,1,3)9 分设平面 PBC 的法向量为m，则m0,m0,PBBCuu ruu u r可取 m=（0，-1，3）42 7cos,72 7m n11 分故二面角 A-PB-C 的余弦值为2 7712 分（19）解（本小题满分12 分）（）由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质的平率为228=0.3100，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。3 分由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频

15、率为32100.42100，所以用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42 6 分（） 用 B 配方生产的100 件产品中， 其质量指标值落入区间90,94 , 94,102 , 102,110的频率分别为 0.04，,054, 0.42，因此P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, 8 分即 X 的分布列为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - X 的数学期望值EX=-2 0.04+2 0.

16、54+4 0.42=2.6812 分(20）解：（本小题满分12 分）()设 M(x,y), 由已知得 B(x,-3),A(0,-1). 所以MAuuu r=（-x,-1-y ）, MBuuu r=(0,-3-y), ABuu u r=(x,-2). 3 分再由题意可知（MAuuu r+MBuuu r）?ABuu u r=0, 即（ -x,-4-2y ）? (x,-2)=0. 所以曲线 C 的方程式为y=14x2-2. 6分()设 P(x0,y0)为曲线 C：y=14x2-2 上一点，因为y=12x,所以l的斜率为12x0因此直线l的方程为0001()2yyxxx，即2000220 x xyy

17、x。9 分则 O 点到l的距离20020|2|4yxdx.又200124yx，所以2020220014142(4)2,244xdxxx当20 x=0 时取等号，所以O 点到l距离的最小值为2. 12 分（21）解：(本小题满分12 分) （）221(ln )( )(1)xxbxfxxx3分由于直线230 xy的斜率为12，且过点(1,1)，故(1)1,1(1),2ff即1,1,22bab解得1a，1b。6 分（）由（）知ln1f ( )1xxxx，所以22ln1(1)(1)( )()(2ln)11xkkxf xxxxxx。考虑函数( )2lnh xx2(1)(1)kxx(0)x，则精品资料 -

18、 - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 22(1)(1)2( )kxxh xx。8 分( I )设0k，由222(1)(1)( )k xxh xx知，当1x时，( )0h x。而(1)0h，故当(0,1)x时，( )0h x，可得21( )01h xx；当 x（1，+）时， h（x）0 从而当 x0,且 x1 时，f（x）-（1lnxx+xk）0，即 f（x）1lnxx+xk.9 分（ ii ）设 0k0, 故h(x）0, 而h（1）=0，故当 x（

19、1，k11）时， h（x）0，可得211xh（x）0,而 h（1）=0，故当 x（1，+）时， h（x）0，可得211xh（ x）0,与题设矛盾。11 分综合得， k 的取值范围为（-， 0 12 分（22） （本小题满分10 分）解：（I）连接 DE，根据题意在ADE 和 ACB 中，ADAB=mn=AE AC, 2 分即ABAEACAD.又 DAE= CAB, 从而 ADE ACB 因此 ADE= ACB 所以 C,B,D,E 四点共圆。5 分（） m=4, n=6 时，方程 x2-14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12. 故AD=2 ，AB=12. 8 分取 CE 的中点 G,

20、DB 的中点 F，分别过 G，F 作 AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接 DH ，因为 C，B，D，E 四点共圆，所以C，B，D，E 四点所在圆的圆心为H，半径为DH. 由于 A=900，故 GHAB, HF AC. 从而 HF=AG=5 ，DF= 21(12-2)=5. 故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为5210 分（23） （本小题满分10 分）解 ：（I）设 P(x,y),则由条件知M(,2 2xy).由于 M 点在 C1上，所以精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页

21、，共 9 页 - - - - - - - - - - 2cos,222sin2xaya即4cos44sinxaya3 分从而2C的参数方程为4cos44sinxy（为参数）5 分（）曲线1C的极坐标方程为4sin，曲线2C的极坐标方程为8sin。射线3与1C的交点A的极径为14sin3，7 分射线3与2C的交点B的极径为28sin3。9 分所以21| | 2 3AB. 10 分（24） （本小题满分10 分）解 ：（）当1a时，( )32f xx可化为|1|2x。由此可得3x或1x。故不等式( )32f xx的解集为|3x x或1 x。5 分() 由( )0f x得30 xax此不等式化为不等式组30 xaxax或30 xaaxx即4xaax或2xaax因为0a，所以不等式组的解集为|2ax x由题设可得2a= 1，故2a10 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -