基于小波分析的图像处理报告(共18页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上题目：小波分析在图像处理中的应用专 业： 学 号： 学生姓名： 指导教师：年 月 日目录1 引言小波分析属于时频分析的一种，传统的信号分析是建立在傅立叶变换的基础上的，由于傅立叶分析使用的是一种全局的变换，要么完全在时域，要么完全在时域，要么完全在频域，因此无法表述信号的时频局域性质，而这种性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。为了分析和处理非平稳信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、Gabor变换、时频分析、小波变换、分数阶傅立叶变换、线调频小波变换、循环统计量理论和调幅-调频信号分析等。其中，短时

2、傅立叶变换和小波变换也是应传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。短时傅立叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在分析窗函数g（t）的一个短时间间隔内是平稳（伪平稳）的，并移动分析窗函数，使在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。但从本质上讲，短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时窗函数。因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷。小波变换是一种信号的时间尺度分析方法，它具有多分辨率分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变，但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分

3、析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉为分析信号的显微镜，利用连续小波变换进行动态系统故障检测与诊断具有良好的效果。2 小波分析的基本理论2.1 概述小波分析是建立在泛函数分析、Fourier分析、样条分析及调和分析基础上的新的分析处理工具。它又被称为多分辨率分析，在时域和频域同时具有良好的局部化特性，常被誉为信号分析的“数学显微镜”。近十多年来，小波分析的理论和方法在信号处理、语言分析、模式识别、数据压缩、图像处理、数字水印、量子物理等专业和领域得到了广泛的应用。近些年，小波分

4、析被广泛用于图像的压缩、降噪、平滑和融合等方面，在人脸识别、医学图像处理、机器人视觉、数字电视等领域受到人们越来越多的重视。基于二维小波分析进行图像处理具有坚实的理论基础，MATLAB软件在小波工具箱中也提供了强大的图像处理功能，包括采用命令行和图形用户接口等。2.2 小波变换基础2.2.1一维连续小波变换定义：设，其傅立叶变换为，当满足允许条件（完全重构条件或恒等分辨条件） (2.1)时，我们称为一个基本小波或母小波。将母函数经伸缩和平移后得 (2.2)称其为一个小波序列。其中a为伸缩因子，b为平移因子。对于任意的函数的连续小波变换为 (2.3)其重构公式（逆变换）为 (2.4)由于基小波生

5、成的小波在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以还应该满足一般函数的约束条件 (2.5)故是一个连续函数。这意味着，为了满足完全重构条件式，在原点必须等于0，即 (2.6)为了使信号重构的实现在数值上是稳定的，处理完全重构条件外，还要求小波的傅立叶变化满足下面的稳定性条件： (2.7)式中0AB从稳定性条件可以引出一个重要的概念。定义（对偶小波）若小波满足稳定性条件（2.7）式，则定义一个对偶小波，其傅立叶变换由下式给出：（2.8）注意，稳定性条件（2.7）式实际上是对（2.8）式分母的约束条件，它的作用是保证对偶小波的傅立叶变换存在的稳定性。值得指出的是，一个小波的对偶小波一般不是唯

6、一的，然而，在实际应用中，我们又总是希望它们是唯一对应的。因此，寻找具有唯一对偶小波的合适小波也就成为小波分析中最基本的问题。连续小波变换具有以下重要性质：（1）线性性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和（2）平移不变性：若f（t）的小波变换为，则的小波变换为（3）伸缩共变性：若f（t）的小波变换为，则f（ct）的小波变换为，（4）自相似性：对应不同尺度参数a和不同平移参数b的连续小波变换之间是自相似的。（5）冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。小波变换的冗余性事实上也是自相似性的直接反映，它主要表现在以下两个方面：（1）由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。也

7、就是说，信号f（t）的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅立叶变换与傅立叶反变换是一一对应的。（2）小波变换的核函数即小波函数存在许多可能的选择（例如，它们可以是非正交小波、正交小波、双正交小波，甚至允许是彼此线性相关的）。小波变换在不同的（a，b）之间的相关性增加了分析和解释小波变换结果的困难，因此，小波变换的冗余度应尽可能减小，它是小波分析中的主要问题之一。2.2.2 高维连续小波变换对，公式 (2.9)存在几种扩展的可能性，一种可能性是选择小波使其为球对称，其傅立叶变换也同样球对称，（2.10）并且其相容性条件变为（2.11）对所有的。 （2.12）这里，=，其中且，公式（2.6）

8、也可以写为（2.13）如果选择的小波不是球对称的，但可以用旋转进行同样的扩展与平移。例如，在二维时，可定义（2.14）这里，相容条件变为（2.15）该等式对应的重构公式为（2.16）对于高于二维的情况，可以给出类似的结论。2.3 离散小波变换在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。因此，有必要讨论连续小波和连续小波变换的离散化。需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数a和连续平移参数b的，而不是针对时间变量t的。这一点与我们以前习惯的时间离散化不同。在连续小波中，考虑函数：这里，且，是容许的，为方便起见，在离散化中，总限制a只取正值，这样相容性条件就变为 (2.

9、17)通常，把连续小波变换中尺度参数a和平移参数b的离散公式分别取作，这里，扩展步长是固定值，为方便起见，总是假定（由于m可取正也可取负，所以这个假定无关紧要）。所以对应的离散小波函数即可写作（2.18）而离散化小波变换系数则可表示为（2.19）其重构公式为（2.20）C是一个与信号无关的常数。然而，怎样选择和，才能够保证重构信号的精度呢？显然，网格点应尽可能密（即和尽可能小），因为如果网格点越稀疏，使用的小波函数和离散小波系数就越少，信号重构的精确度也就会越低。3 几种常用的小波3.1 Haar小波A.Haar于1990年提出一种正交函数系,定义如下： （3.1）这是一种最简单的正交小波，即

10、 (3.2)3.2 Daubechies（dbN）小波系该小波是Daubechies从两尺度方程系数出发设计出来的离散正交小波。一般简写为dbN，N是小波的阶数。小波和尺度函数吁中的支撑区为2N-1。的消失矩为N。除N1外(Haar小波)，dbN不具对称性即非线性相位；dbN没有显式表达式(除N1外)。但的传递函数的模的平方有显式表达式。假设，其中，为二项式的系数，则有 (3.3)其中 3.3 Biorthogonal（biorNr.Nd）小波系Biorthogonal函数系的主要特征体现在具有线性相位性，它主要应用在信号与图像的重构中。通常的用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函数进行

11、重构。Biorthogonal函数系通常表示为biorNr.Nd的形式：Nr=1 Nd=1，3，5Nr=2 Nd=2，4，6，8Nr=3 Nd=1，3，5，7，9Nr=4 Nd=4Nr=5 Nd=5Nr=6 Nd=8其中，r表示重构，d表示分解。3.4 Coiflet（coifN）小波系coiflet函数也是由Daubechies构造的一个小波函数，它具有coifN（N=1，2，3，4，5）这一系列，coiflet具有比dbN更好的对称性。从支撑长度的角度看，coifN具有和db3N及sym3N相同的支撑长度；从消失矩的数目来看，coifN具有和db2N及sym2N相同的消失矩数目。3.5 S

12、ymletsA（symN）小波系Symlets函数系是由Daubechies提出的近似对称的小波函数，它是对db函数的一种改进。Symlets函数系通常表示为symN（N=2，3，8）的形式。3.6 Mexican Hat（mexh）小波Mexican Hat函数为 (3.4)它是Gauss函数的二阶导数，因为它像墨西哥帽的截面，所以有时称这个函数为墨西哥帽函数。墨西哥帽函数在时间域与频率域都有很好的局部化，并且满足 (3.5)由于它的尺度函数不存在，所以不具有正交性。3.7 Meyer函数Meyer小波函数和尺度函数都是在频率域中进行定义的，是具有紧支撑的正交小波。 (3.6)其中，为构造M

13、eyer小波的辅助函数，且有 (3.7)4小波分析用于图像压缩4.1 图像压缩概述通常所说的图像压缩主要指无损压缩（无失真）和有损压缩（有失真）两大类。所谓无损压缩是指图像数据经压缩后可以完全得到复原，复原后的图像与原始图像完全一致。有损压缩则是指经它处理的数据在基本保持原图像的特征的前提下，不可避免地要丢掉一部分原始图像信息。图像能够进行压缩的主要原因是：（1）原始图像信息存在着很大的冗余度，数据之间存在着相关性，如相邻像素之间色彩的相关性等，消息中这些冗余信息将会产生额外的编码。如果去掉冗余信息，就会减少消息所占的空间。（2）在美图系统的应用领域中，人眼作为图像信息的接收端，其视觉对于边缘

14、急剧变化不敏感（视觉掩盖效应），以及人眼对图像的亮度信息敏感，而对颜色分辨率弱等，因此在高压缩比的情况下，解压缩后的图像信号仍比较满意。基于上述两点，发展出数据压缩的两类方法：一种是将相同的或相似的数据或数据特征归类，使用较少的数据量描述原始数据，达到减少数据量的目的，这种压缩一般为无损压缩；另一种是利用人眼的视觉特性有针对性地简化不重要的数据，以减少总的数据量，这种压缩一般为有损压缩。只要损失的数据不太影响人眼主观接受的效果，即可采用。基于小波分析的图像压缩方法很多，比较成功的有小波包、小波变换零数压缩、小波变换矢量量化压缩等。一个图像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子图像，不同分辨率

15、的子图像对应的频率是不相同的。高分辨率（即高频）子图像上大部分分点的数值都接近于0，越是高频这种现象越明显。对一个图像来说，表现一个图像最主要的部分是低频部分，所以一个最简单的压缩方法是利用小波分解，去掉图像的高频部分而只保留低频部分。图像压缩可按如下程序进行处理。4.2 主要调用命令“whos”用于显示当前MATLAB工作空间的变量，而在命令窗口中输入data后，将显示该数据。变量查询函数who与whos，作用都是列出在matlab工作空间中已经驻留的变量名清单，不同的是whos在给出驻留变量的同时，还给出他们的维数及性质。wavedec2是多尺度二维小波分解，调用格式为：C,L = wav

16、edec2(X,N,wname)即对信号X进行N尺度的小波分解，wname 为所使用的小波名称。N为正整数。输出分解结构包括行向量C，它包含计算出的小波变换系数及定义了C中系数的排列的记录矩阵L。C的组织形式是A(N)|H(N)|V(N)|D(N)|H(N-1) |.H(1)|V(1)|D(1)，其中A、H、V及D分别表示逼近系数、水平系数、垂直系数及对角系数，小括号中数字的含义如H(N)表示第N次分解的水平系数。L由两列组成，每一列对应相应的系数矩阵的大小。4.3 程序流程图图 4.1 图像压缩流程图5 小波分析用于图像去噪5.1 图像去噪概述噪声可以理解为妨碍人的视觉器官或系统传感器对所接

17、收图像源进行理解或分析的各种因素。一般噪声是不可预测的随机信号，它只能用概率统计的方法去认识，。噪声对图像处理十分重要，它影响图像处理的输入、采集、处理的各个环节以及输出结果的全过程。特别是图像的输入、采集的噪声是个十分关键的问题，若输入伴有较大噪声，必然影响处理全过程及输出结果。因此一个良好的图像处理系统，不论是模拟处理还是计算机处理无不把减少最前一级的噪声作为主攻目标。去噪已成为图像处理中极其重要的步骤。对二维图像信号的去噪方法同样适用于一维信号，尤其是对于几何图像更适合。二维模型可以表述为s(i,j)=f( i,j)+e(i,j) i,j=0,1,，m-1其中，e是标准偏差不变的高斯白噪

18、声。二维信号用二维小波分析的去噪步骤有3步：（1）二维信号的小波分解。选择一个小波和小波分解的层次N，然后计算信号s到第N层的分解。（2）对高频系数进行阈值量化。对于从1到N的每一层，选择一个阈值，并对这一层的高频系数进行软阈值量化处理。（3）二维小波的重构。根据小波分解的第N层的低频系数和经过修改的从第一层到第N层的各层高频系数计算二维信号的小波重构。在这3个步骤中，重点是如何选取阈值和阈值的量化5.2 主要调用命令ddencmp的调用格式有以下三种：（1）THR,SORH,KEEPAPP,CRIT=ddencmp(IN1,IN2,X)（2）THR,SORH,KEEPAPP,CRIT=dde

19、ncmp(IN1,wp,X)（3）THR,SORH,KEEPAPP,CRIT=ddencmp(IN1,wv,X)函数ddencmp用于获取信号在消噪或压缩过程中的默认阈值。输入参数X为一维或二维信号；IN1取值为den或cmp，den表示进行去噪，cmp表示进行压缩；IN2取值为wv或wp，wv表示选择小波，wp表示选择小波包。返回值THR是返回的阈值；SORH是软阈值或硬阈值选择参数；KEEPAPP表示保存低频信号；CRIT是熵名（只在选择小波包时使用）。wdencmp用于一维或二维信号的消噪或压缩。其调用格式为：1.XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2=wdencmp(gbl,X

20、,wname,N,THR,SORH,KEEPAPP)2.XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2=wdencmp(lvd,X,wname,N,THR,SORH)3.XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2=wdencmp(lvd,C,L,wname,N,THR,SORH)wname是所用的小波函数，gbl(global的缩写)表示每层都采用同一个阈值进行处理，lvd表示每层用不同的阈值进行处理，N表示小波分解的层数，THR为阈值向量，对于格式(2)(3)每层都要求有一个阈值，因此阈值向量THR的长度为N，SORH表示选择软阈值还是硬阈值(分别取为s和h)，参数KEEPAPP取值为1

21、时，则低频系数不进行阈值量化处理，反之，则低频系数进行阈值量化。XC是消噪或压缩后的信号，CXC，LXC是XC的小波分解结构，PERF0和PERFL2是恢复和压缩L2的范数百分比。5.3 程序流程图图4.1 图像去噪流程图6 运行结果6.1图像压缩结果压缩前图像X的大小： Name Size Bytes Class X 256x256 double arrayGrand total is 65536 elements using bytes第一次压缩图像的大小为： Name Size Bytes Class ca1 135x135 double arrayGrand total is 1822

22、5 elements using bytes第二次压缩图像的大小为： Name S ize Bytes Class ca2 75x75 45000 double arrayGrand total is 5625 elements using 45000 bytes运行结果如图所示：图6.1 利用二维小波分析进行图像压缩图像对比如图所示。可以看出，第一次压缩提取的是原始图像中小波分解第一层的低频信息，此时压缩效果较好，压缩比较小：第二次压缩是提取第一层分解低频部分的低频部分（即小波分解第二层的低频部分），其压缩比较大，压缩效果在视觉上也基本过的去。这是一种最简单的压缩方法，只保留原始图像中低频信

23、息，不经过其他处理即可获得较好的压缩效果。在上面的例子中，我们还可以只提取小波分解第3、4、层的低频信息。从理论上说，我们可以获得任意压缩比的压缩图像。MATLAB中实现图像压缩，还可利用现有的函数来实现。这种方法主要包括获取压缩阈值和进行图像压缩两反面。实现获取压缩阈值的函数有ddencmp和wdcbm2两个，实现图像压缩的函数有wdencmp、wpdencm和wthcoef2三个。6.2 图像去噪结果输出结果从图中5个图像的比较可以看出，Matlab中的ddencmp和wdencmp函数可以有效地进行去噪处理。图6.2 图像去噪比较小波阈值法去噪：主要适用于信号中混有白噪声的情况。其优点是

24、噪声几乎完全得到抑制，且反映原始信号的特征尖峰点得到很好的保留。用软阈值法去噪可以使去噪信号是原始信号的近似最优估计，且估计信号至少和原始信号同样光滑而不会产生附加振荡。参考文献1 张德丰数字图像处理M北京：人民邮电出版社，2009：186-2202 周伟MATLAB小波分析高级技术M西安：西安电子科技大学出版社，2005：129-1543 高成MATLAB小波分析与应用M北京：国防工业出版社，20074 张志勇，彭玉青小波分析在图像处理中的应用J常州工学院学报，2005,12附录压缩图像：%zhangyuazhu 2010.12%jiyuxiaobofenxidetuxiangyasuo %

25、装入图像load wbarb;subplot(221);image(X);colormap(map)title(原始图像);axis square disp(压缩前图像X的大小：);whos(X)c,s=wavedec2(X,2,bior3.7);ca1=appcoef2(c,s,bior3.7,1);ch1=detcoef2(h,c,s,1);cv1=detcoef2(v,c,s,1);cd1=detcoef2(d,c,s,1);a1=wrcoef2(a,c,s,bior3.7,1);h1=wrcoef2(h,c,s,bior3.7,1);v1=wrcoef2(v,c,s,bior3.7,1

26、);d1=wrcoef2(d,c,s,bior3.7,1);c1=a1,h1;v1,d1;subplot(222);image(c1);axis squaretitle(分解后低频和高频信息);%下面进行图像压缩处理ca1=appcoef2(c,s,bior3.7,1);ca1=wcodemat(ca1,440,mat,0);ca1=0.5*ca1;subplot(223);image(ca1);colormap(map);axis squaretitle(第一次压缩);disp(第一次压缩图像的大小为：);whos(ca1)ca2=appcoef2(c,s,bior3.7,2);ca2=wc

27、odemat(ca2,440,mat,0);%改变图像的高度ca2=0.25*ca2;subplot(224);image(ca2);colormap(map);axis squaretitle(第二次压缩);disp(第二次压缩图像的大小为：);whos(ca2)图像去噪：%zhangyuzhu 2010.12%jiyuxiaobofenxide tuxiangquzaosheng%caiyongyuzhifa quedingyuzhihouquzao%装入图像load tire%下面进行噪声的产生init=;rand(seed,init);Xnoise=X+18*(rand(size(X)

28、;%显示原始图像及它的含噪声的图像colormap(map);subplot(2,3,1);image(wcodemat(X,192);title(原始图像X)axis squaresubplot(2,3,2);image(wcodemat(X,192);title(含噪声的图像Xnoise);axis square%用sym5小波对图像信号进行二层的小波分解c,s=wavedec2(X,2,sym5);%使用ddencmp函数来计算去噪的默认阈值和熵标准%使用wdencmp函数来实现图像的压缩，去噪thr,sorh,keepapp=ddencmp(den,wv,Xnoise);Xdenois

29、e,cxc,lxc,perf0,perfl2=wdencmp(gbl,c,s,sym5,2,thr,s,keepapp);%显示去噪后的图像subplot(233);image(Xdenoise);title(基于软阈值去噪后的图像);axis squareXdenoise,cxc,lxc,perf0,perfl2=wdencmp(gbl,c,s,sym5,2,thr,h,keepapp);%显示去噪后的图像subplot(234);image(Xdenoise);title(硬阈值去噪后的图像);axis squareXdenoise,cxc,lxc,perf0,perfl2=wdencmp(gbl,c,s,sym5,2,thr,sorh,keepapp);subplot(235);image(Xdenoise);title(默认阈值去噪后图像);axis square专心-专注-专业