2022年全等三角形问题中常见的几种辅助线的作法.pdf

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1、全等三角形问题中常见的辅助线的作法( 有答案 ) 总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1. 等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2. 倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3. 角平分线在三种添辅助线4. 垂直平分线联结线段两端5. 用“截长法”或“补短法” ：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6. 图形补全法：有一个角为60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形7. 角度数为 30、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30 度或 60 度，可以从角一边

2、上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形 , 常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换

3、中的“对折”法构造全等三角形 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是

4、全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - - DCBAEDFCBA6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点

5、到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等例 1、 （ “希望杯”试题）已知，如图ABC中， AB=5 ，AC=3 ，则中线AD的取值范围是_.例 2、如图， ABC中， E、F 分别在 AB 、AC上， DE DF，D是中点，试比较BE+CF与 EF的大小 .例 3、如图， ABC中， BD=DC=AC，E是 DC的中点，求证：AD平分 BAE.EDCBA应用：1 、 （ 09 崇 文 二 模 ） 以ABC的 两 边AB、 AC为 腰 分 别 向 外 作 等 腰 RtABD和 等 腰 RtACE，90 ,BADCAE连接DE ，M 、N分别是BC 、D

6、E的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；（2）将图中的等腰RtABD绕点 A沿逆时针方向旋转(0AD+AE.EDCBA四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC中， B=60， ABC的角平分线AD,CE相交于点 O ，求证： OE=OD2、如图， ABC中，AD平分 BAC ，DG BC且平分 BC ，DEAB于 E，DFAC于 F. （1）说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE 、BE的长 .应用：1、如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的

7、全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而 (1) 中的其它条件不变，请问，你在(1) 中所得结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由。五、旋转例 1 正方形ABCD中，E 为 BC 上的一点， F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF ，求 EAF 的度数.EDGFCBA( 第 23 题图 )OPAMNEBCDFACEFBD图图图精品资料 - - - 欢迎下载 - - -

8、 - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - - NMEFACBA例 2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB的中点， DM DN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F。（1）当MDN绕点 D转动时，求证DE=DF 。（2）若 AB=2 ，求四边形DECF的面积。例 3 如图，ABC是边长为 3 的等边三角形，BDC是等腰三角形， 且0120BDC， 以 D为顶点做一个060角，使其两边分别交AB于点 M ，交 AC于点 N，连接 MN ，则AMN的周长为；BCDNMA应用：1、已知四边

9、形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，120ABCo，60MBNo，MBN绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，当MBN绕B点旋转到AECF时（如图 1） ，易证AECFEF当MBN绕B点旋转到AECF时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，EF又有怎样的数量关系请写出你的猜想，不需证明2、 （西城 09 年一模）已知 :PA=2,PB=4, 以 AB为一边作正方形ABCD, 使 P、D两点落在直线AB的两侧 .(1) 如图, 当 APB=45 时 , 求 AB及 PD的长 ; (2) 当APB变化 ,且其

10、它条件不变时, 求 PD 的最大值 , 及相应 APB的大小 . （图 1）ABCDEFMN（图 2）ABCDEFMN（图 3）ABCDEFMN精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - - A3 、 在 等 边ABC的 两 边AB、 AC 所 在 直 线 上 分 别 有 两 点M、 N， D为ABCV外 一 点 ， 且60MDN,120BDC,BD=DC. 探究：当 M 、N分别在直线AB 、AC上移动时， BM 、NC 、MN 之间的数量关

11、系及AMN的周长 Q与等边ABC的周长 L 的关系图 1 图 2 图 3（I ）如图 1，当点 M 、N边 AB、AC上，且 DM=DN 时， BM 、 NC 、MN之间的数量关系是； 此时LQ；（II ）如图 2，点 M 、 N边 AB 、AC上，且当 DM DN时，猜想（ I ）问的两个结论还成立吗写出你的猜想并加以证明；（III） 如图 3，当 M 、N分别在边 AB、CA的延长线上时，若 AN=x，则 Q= （用x、L 表示）参考答案与提示一、倍长中线（线段）造全等例 1、 （ “希望杯”试题）已知，如图ABC中， AB=5 ，AC=3 ，则中线AD的取值范围是_.解：延长AD至 E使

12、 AE2AD ，连 BE ，由三角形性质知精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - - EDFCBAAB-BE 2ADAB+BE 故 AD的取值范围是1AD4例 2、如图， ABC中， E、F 分别在 AB 、AC上， DE DF，D是中点，试比较BE+CF与 EF的大小 .解： ( 倍长中线 , 等腰三角形“三线合一”法) 延长 FD至 G使 FG2EF，连 BG ，EG,显然 BG FC ，在 EFG中，注意到DE DF，由等腰三角形的三

13、线合一知EG EF在 BEG中，由三角形性质知EGBG+BE 故： EFBE+FC例 3、如图， ABC中， BD=DC=AC，E是 DC的中点，求证：AD平分 BAE.EDCBA解：延长AE至 G使 AG 2AE ，连 BG ，DG,显然 DG AC ，GDC= ACD由于 DC=AC ，故ADC= DAC在 ADB与ADG中， BDAC=DG ，AD AD ，ADB= ADC+ ACD= ADC+ GDC ADG故 ADB ADG ，故有 BAD= DAG ，即 AD平分 BAE应用：RtABD和等腰RtACE，1、 （09崇文二模）以的两边AB 、AC为腰分别向外作等腰90 ,BADCA

14、E连接DE ，M 、N分别是BC 、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；（2）将图中的等腰RtABD绕点 A沿逆时针方向旋转(090) 后，如图所示， （1）问中得到的两个结论ABC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - - EDCBA是否发生改变并说明理由二、截长补短1、如图，ABC中， AB=2AC ，AD平分BAC，且 AD=BD ，求证：

15、CD AC解： （截长法）在AB上取中点F，连 FDADB是等腰三角形，F是底 AB中点，由三线合一知DFAB ，故 AFD 90ADF ADC （SAS ）ACD AFD 90即： CD AC2、如图， AD BC ，EA,EB分别平分 DAB,CBA ，CD过点 E，求证 ;ABAD+BC解： （截长法）在AB上取点 F，使 AFAD ，连 FEADE AFE （SAS ）ADE AFE ，ADE+ BCE 180AFE+ BFE 180故 ECB EFBFBE CBE （AAS ）故有 BFBC从而 ;ABAD+BC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - -

16、- 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - - DCBAP21DCBAPQCBA3、如图，已知在ABC 内，060BAC，040C，P，Q分别在 BC ，CA上，并且AP ，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP解： （补短法 , 计算数值法）延长AB至 D，使 BD BP ，连 DP在等腰 BPD中，可得 BDP 40从而 BDP 40 ACPADP ACP （ASA ）故 AD AC又 QBC 40 QCB 故 BQQCBD BP从而 BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD中

17、， BC BA,AD CD ，BD平分ABC，求证：0180CA解： （补短法）延长BA至 F，使 BFBC ，连 FDBDF BDC （SAS ）故 DFB DCB ，FDDC又 AD CD故在等腰 BFD中DFB DAF故有 BAD+ BCD 1805、如图在 ABC中，AB AC ， 1 2，P为 AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC解： （补短法）延长AC至 F，使 AFAB ，连 PDABP AFP （SAS ）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 16 页 - -

18、 - - - - - - - - 故 BP PF由三角形性质知PB PC PF PC BF=BA+AF=BA+AC从而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=PA例 2 如图，在 ABC的边上取两点D 、E，且 BD=CE ，求证： AB+ACAD+AE.证明：取 BC中点 M,连 AM 并延长至 N,使 MN=AM, 连 BN,DN. BD=CE,精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - - OEDCBADM=EM,DMN E

19、MA(SAS),DN=AE,同理 BN=CA.延长 ND交 AB于 P,则 BN+BPPN,DP+PAAD,相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD,各减去 DP,得 BN+ABDN+AD,AB+ACAD+AE。四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC中， B=60， ABC的角平分线AD,CE相交于点 O ，求证： OE=OD ， DC+AE =AC证明( 角平分线在三种添辅助线 , 计算数值法 )B=60度,则BAC+ BCA=120 度;AD,CE均为角平分线 ,则OAC+ OCA=60 度=AOE= COD;AOC=120 度.在 AC上截取线段 AF=AE, 连接 OF.又 AO

20、=AO; OAE= OAF. 则OAE OAF(SAS),OE=OF;AE=AF; AOF= AOE=60 度.则COF= AOC- AOF=60 度=COD;又 CO=CO; OCD= OCF.故OCD OCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图， ABC中，AD平分 BAC ，DG BC且平分 BC ，DEAB于 E，DFAC于 F. （1）说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE 、BE的长 .解： ( 垂直平分线联结线段两端) 连接 BD ，DCDG垂直平分 BC ，故 BDDC由于 AD平分 BAC ， DEAB

21、于 E，DF AC于 F，故有ED DF故 RTDBE RTDFC （HL）故有 BE CF。AB+AC 2AEEDGFCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - - FEDCBAAE （ a+b）/2BE=(a-b)/2应用：1、如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA

22、的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而 (1) 中的其它条件不变，请问，你在(1) 中所得结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由。五、旋转例 1 正方形 ABCD 中， E为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=EF ，求 EAF的度数 .证明：将三角形 ADF绕点 A顺时针旋转 90度， 至三角形 ABG则 GE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE ，AF=AG ，所以三角形 AEF全等于 AEG所以 EAF= GAE= BAE+ GAB= BAE+ DAF又EAF+ BAE

23、+ DAF=90所以 EAF=45度例 2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB的中点， DM DN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F。(1) 当MDN绕点 D转动时，求证DE=DF 。(2) 若 AB=2，求四边形DECF 的面积。( 第 23 题图 )OPAMNEBCDFACEFBD图图图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 解： ( 计算数值法 ) （1）连接 DC ，D为等腰Rt ABC斜边 AB的中点，故有CD AB，

24、CD DACD平分 BCA 90， ECD DCA 45由于 DM DN ，有 EDN 90由于 CDAB ，有 CDA 90从而 CDE FDA 故有 CDE ADF （ASA ）故有 DE=DF（2）SABC=2, S四 DECF= SACD=1例 3 如图，ABC是边长为 3 的等边三角形，BDC是等腰三角形， 且0120BDC， 以 D为顶点做一个060角，使其两边分别交AB于点 M ，交 AC于点 N，连接 MN ，则AMN的周长为；解： ( 图形补全法 , “截长法”或“补短法”, 计算数值法 ) AC 的延长线与BD的延长线交于点F，在线段CF上取点 E，使 CE BM ABC为

25、等边三角形，BCD为等腰三角形，且 BDC=120 ， MBD= MBC+ DBC=60 +30=90，DCE=180 - ACD=180 - ABD=9 0，又 BM=CE ，BD=CD ， CDE BDM ， CDE= BDM ，DE=DM ，NDE= NDC+ CDE= NDC+ BDM= BDC- MDN=120 - 60=60，在 DMN 和 DEN中， DM=DEMDN= EDN=60 DN=DN精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 16 页 - - - - - - -

26、 - - - DMN DEN ，MN=NE在 DMA 和 DEF中， DM=DEMDA=6 0- MDB=6 0- CDE= EDF (CDE= BDM)DAM= DFE=3 0 DMN DEN (AAS) ，MA=FEAMN 的周长为 AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6应用：1、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，120ABCo，60MBNo，MBN绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，当MBN绕B点旋转到AECF时（如图 1） ，易证AECFEF当MBN绕B点旋转到AECF时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立若成立，请给予

27、证明；若不成立，线段AECF，EF又有怎样的数量关系请写出你的猜想，不需证明2、 （西城 09 年一模）已知 :PA=2,PB=4, 以 AB为一边作正方形ABCD, 使 P、D两点落在直线AB的两侧 .(1) 如图, 当 APB=45 时 , 求 AB及 PD的长 ; (2) 当APB变化, 且其它条件不变时, 求 PD的最大值 , 及相应 APB的大小 . （图 1）ABCDEFMN（图 2）ABCDEFMN（图 3）ABCDEFMN精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 16

28、页 - - - - - - - - - - 3 、 在 等 边ABC的 两 边AB、 AC 所 在 直 线 上 分 别 有 两 点M、 N， D为ABCV外 一 点 ， 且60MDN,120BDC,BD=DC. 探究：当 M 、N分别在直线AB 、AC上移动时， BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN的周长 Q与等边ABC的周长 L 的关系图 1 图 2 图 3（I ）如图 1，当点 M 、N边 AB、AC上，且 DM=DN 时， BM 、 NC 、MN之间的数量关系是； 此时LQ；（II ）如图 2，点 M 、 N边 AB 、AC上，且当 DM DN时，猜想（ I ）问的两个结论还成立吗写出你的猜想并加以证明；（III） 如图 3，当 M 、N分别在边 AB、CA的延长线上时，若 AN=x，则 Q= （用x、L 表示）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - - -