数学教育哲学(共5页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上数学教育哲学（西方视角） Paul Ernest关键词：数学哲学，数学教育哲学两千多年来的数学一直处于绝对主义范式的统治下，不过现在却发生了一些变化数学是可误的、变化的，像其他知识一样，数学是人类创造的产物。数学哲学的这一变化具有重要意义，因为数学被认为是人类知识最可靠的组成部分，是其他知识的基础。如果对它的可靠性提出异议，就可能导致人类根本没有可靠知识的结论。但是，放弃数学的可靠性也许就是方式同数学与生俱来的伪安全性，同时也是人类进一步成熟的标志。可以将其视为一种动态的数学观，一种理性的思维方式。数学教育的四个组成部分：1）数学哲学？数学是什么？如何解释其本质？提出

2、过哪些数学哲学？2）数学学习的本质是什么？3）数学教育的目的是什么？4）教学的本质是什么？Part One 数学哲学1.1 来自认识论的观点冲突：绝对主义观可误主义观数学知识是由具有证明的一组命题所构成，数学的证明依靠推理而不是经验材料。知识是已判定为合理的信念。包括先验知识和经验知识。数学知识属于先验知识，因为它只基于推理而断定的命题构成。数学命题的证明是以该命题为终结的一个有限的陈述序列。逻辑假设即推理规则和逻辑句法是逻辑的基本组成部分，因此逻辑毫无疑问是知识判定的依据。简而言之，数学真理取决于数学证明，而数学证明又取决于基本的数学公理和基础逻辑。数学知识由证明合理的命题组成，而证明则依赖

3、于数学公理以及基础逻辑。数学知识的绝对主义观是建立在以下两种假设基础上：1）涉及公理和定义假设的数学假设，2）以及涉及公理假设、推理规则和形式语言及其句法的逻辑假设。逻辑主义：把纯数学作为逻辑基本构成的思想学派。代表人物Russell。其观点包括所有数学概念最终都可以归结为逻辑概念，所有数学真理都可以单凭公理和逻辑推演规则得到证明。哥德尔的不完全定理表明，演绎证明对论证所有数学真理是不够的。形式主义：数学是按规则在纸上用符号所做的一种无意义的形式游戏，代表人物Hilbert、Bishop。其主要观点包括1）纯数学可表示为不予解释的形式系统，在此系统中数学真理由形式定理来表现。2）可用元数学的方

4、法，借助摆脱不相容性来证实形式系统的可靠性。构造主义：数学知识是一种重建（数学活动的改革），以防止数学意义的丧失或陷入矛盾。最著名的构造主义者是直觉主义者，其认为数学真理和数学对象的存在性这两者都必须由构造方法加以确定。缺陷构造主义既没有证实经典数学所面临的无法回避的问题，也没有说明经典数学的非协调性和非真实性。演绎逻辑仅能传递真理而不能注入真理，逻辑证明所得到的结论充其量相当于最弱的前提条件。“我们不得不承认元数学无法中止证明中的无限回归，无限回归在更为丰富的元理论的无穷层次上反复出现”。数学真理终究要依赖一个未经证明即予接受的不可简约的一组假设，但为使假设成为真实的知识，它需要有判断的依据

5、，对于数学知识来说，除了证明或论证之外，没有其他有效依据了。所以，假设是信念而不是知识，允许对假设提出争议，也可以持有怀疑的态度。即采取一种较弱的绝对主义立场。数学真理和证明依据演绎和逻辑，但逻辑本身缺乏可靠基础，还要依据不可简约的假设。数学可靠性的信念是建立在经验基础和信仰之上。把证明用作数学可靠性的依据时出现了进一步的问题，只有完全形式的演绎证明能保证数学的可靠性，但这样的证明几乎不存在，因此，绝对主义需要将非形式数学改造成为形式演绎系统，这就引起了更多假设。1.2 可误主义观的观点其论点有两种形式：正面的表达形式和反面的表达形式。反面形式涉及对绝对主义的否定数学知识不是绝对真理，它没有绝

6、对有效性。正面表达的形式认为数学知识是可纠正的且永远要接受更正。Popper（1979）知识没有权威的根源，没有什么根源特别可靠。每一件事情可成为灵感的根源，包括直觉，但是没有一件事情是可靠的，我们都会出错。Lakatos（1978）可以宣称欧几里德理论是正确的；拟经验理论最多是充分确证的，但总是推测的。同样，在欧几里德理论中，处于演绎系统顶端的那些正确的基本陈述，证明了如果它是的话系统的其余部分；总之，数学是拟经验的。Putnam（1975）数学知识反映了经验知识即数学中的真理检验标准像物理学中的一样，都是我们实践中思想火花的成功闪烁，数学是可纠正的而不是绝对的。我们考虑的不是失去了知识的绝

7、对框架和可靠性，相反，我们从中看到了知识的发展，并知道了我们认识的局限性。2.1 数学哲学流派Lakatos（1976）缺乏哲学指导的数学史是盲目的，而不见数学史上最动人的现象的数学哲学是空洞的。数学哲学拓宽了绝对主义仅考虑内在问题的这一哲学问题，还应该考虑解释数学的本质是什么，这一任务包括诸如解释数学的历史、发生和实践这些外在的问题，还有诸如数学知识的判定这些内在的认识论和本体论的问题。应该数学哲学包括：1）数学知识它的本质、判定和生成；2）数学对象它们的本质和根源；3）数学应用在科学、技术和其他领域中数学的有效性；4）数学实践数学家的活动，他们的现在和过去。绝对主义学派：包括逻辑主义、形式

8、主义和直觉主义学派进步绝对主义：其把数学看作是人类为真理而努力奋斗的结果，而并不是数学的成就。进步的绝对主义哲学接纳公理理论的创造和变化，还承认纯形式数学之外还有其他类型的数学存在，以及承认新知识和理论创造中人类的活动和活动的结果。柏拉图主义：把数学对象看作某个概念领域里的真实的、客观存在。其坚持数学结构和对象不依赖人类而真实存在，做数学即是发现这些结构和对象的先验存在关系的过程。按照其观点，数学知识是由这些对象以及对其关系和结构的描述所组成。柏拉图主义的两大缺陷1）其没有适当解释数学家们是如何获得柏拉图王国中的知识。2）它既不可内在，也不可外在地恰当解释数学。约定主义：数学知识和真理基于语言

9、约定。根据这一观点，语言约定提供了数学和逻辑的基础和可靠真理，演绎逻辑把这些真理传送到数学知识本体的其他地方。但实质上，约定主义仍旧是绝对主义。约定主义用数学的语言基础来系统阐述数学，它提供了对数学本质进行描述性论述的开端，约定主义接纳数学可误观，并且通过我们必然接受的语言规则，它能够解释数学知识的客观性，并且通过语言的获得，至少部分地解释了数学知识的发生。因为语言将数学与其他知识领域相联系，所以约定主义有可能解释数学的应用。经验主义：数学真理是经验的概括。论点1数学概念起源于经验；论点2数学真理可用经验来判断。数学的原则和公理是对客观世界观察结果的归纳，而其他真理则是从这些原则和公理出发通过

10、演绎导出的。当然，这里仍旧有一些争议，1当经验与数学基本真理矛盾时，我们并不放弃这些真理而往往认为推理出错。2数学主要是抽象的，所以它的很多概念并非来源于对世界观察，相反，它们是建立在先前形成的概念基础上。3经验主义往往只注重基础主义的问题而未恰当地解释数学的本质。拟经验主义：其观点认为，数学是数学家做的或做过的事情，它具有任何人类活动或创造所固有的不完善性。数学是处理数学问题时人与人之间的对话。数学是可误的，决不可认为数学结果是最终的它们是随着严密性的标准的变化而需要重新商榷。因为数学是人类活动，那么它必然是历史的。Lakatos拟经验主义的说明1）数学知识是可误的；2）数学是假设演绎的；3

11、）历史是核心的；4）断定非形式数学的首要性；5）包括知识创造理论。数学发现的一般步骤最初设想证明产生反例重新检验证明其他定理的证明反例变成新例子，开辟新的探究领域Lakatos数学哲学的实质在于数学知识的发生论，这是数学实践的理论，也是数学历史的理论。Lakatos没有提出数学创造或发现的心理学理论，他不同意将知识发展的哲学理论和该理论的历史实现相分离。该理论的一个优势在于解释数学的成功作用，不是规定性的而是表述性的，其努力表述数学的本来面目，不是表述它如何加以实现数学。缺陷：1）拟经验主义没有解释数学的可靠性；2）没有论述数学对象或其发生的本质；3）没有论及数学引用的本质和成功所在；4）把数学史作为其数学哲学的实质点，但没有证实这种做法的充分合理性。5）他的哲学身份与其历史论点不相称的问题；6）仅提出为建立数学知识所必要但不充分的依据。专心-专注-专业