2022年全等三角形问题中常见的辅助线的作法.pdf

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1、DCBAEDFCBA全等三角形问题中常见的辅助线的作法( 有答案 ) 一、倍长中线（线段）造全等1、 （ “希望杯” 试题）已知，如图 ABC中，AB=5，AC=3 ，则中线 AD的取值范围是_.2、如图， ABC中， E、F 分别在 AB 、AC上， DEDF，D是中点，试比较BE+CF与 EF的大小.3、如图， ABC中，BD=DC=AC， E是 DC的中点，求证：AD平分 BAE.EDCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - -

2、EDCBADCBAP21DCBAPQCBA二、截长补短1、如图，ABC中， AB=2AC ，AD平分BAC，且 AD=BD ，求证： CD AC2、如图， AD BC ，EA,EB分别平分 DAB,CBA ，CD过点 E，求证 ;ABAD+BC 。3、如图，已知在ABCV内，060BAC，040C，P，Q分别在 BC ，CA上，并且 AP ，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD中， BC BA,AD CD ，BD平分ABC，求证：0180CA5、如图在 ABC中，AB AC ， 12，P为 AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PCCDBA

3、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - - OEDCBA三、平移变换例 1 AD 为 ABC的角平分线，直线MN AD于为 MN上一点， ABC周长记为AP， EBC周长记为BP. 求证BPAP.例 2 如图，在 ABC的边上取两点D 、E，且 BD=CE ，求证： AB+ACAD+AE.EDCBA四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC中， B=60， ABC的角平分线AD,CE相交于点O ，求证： OE=OD2、如图， ABC中，A

4、D平分 BAC ，DG BC且平分 BC ，DE AB于 E，DF AC于 F. （1）说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE 、BE的长 .EDGFCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - - NMEFACBAFEDCBABCDNMA五、旋转例 1 正方形 ABCD 中，E为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=EF ，求 EAF的度数 .例 2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB的中点， DM

5、 DN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F。（1）当MDN绕点 D转动时，求证DE=DF 。（2）若 AB=2 ，求四边形DECF 的面积。例 3 如图，ABC是边长为3 的等边三角形，BDC是等腰三角形， 且0120BDC，以 D为顶点做一个060角，使其两边分别交 AB于点 M ，交 AC于点 N，连接 MN ，则AMN的周长为；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - - DCBAEDFCBA参考答案与提示一、倍长中线（线段）造全

6、等例 1、 （ “希望杯”试题）已知，如图 ABC中，AB=5 ， AC=3 ， 则中线 AD的取值范围是_.解：延长 AD至 E使 AE 2AD ，连 BE ，由三角形性质知AB-BE 2ADAB+BE 故 AD的取值范围是1AD4例 2、如图， ABC中，E、F 分别在 AB 、AC上， DE DF，D是中点，试比较BE+CF与 EF的大小 .解： ( 倍长中线 , 等腰三角形“三线合一”法) 延长 FD至 G使 FG2EF，连 BG ，EG,显然 BG FC ，在 EFG中，注意到DE DF，由等腰三角形的三线合一知EG EF在 BEG中，由三角形性质知EGBG+BE 故： EFBE+F

7、C例 3、如图， ABC中， BD=DC=AC，E是 DC的中点，求证：AD平分 BAE.EDCBA解：延长 AE至 G使 AG 2AE ，连 BG ，DG,显然 DG AC ，GDC= ACD由于 DC=AC ，故ADC= DAC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 在 ADB与ADG中， BDAC=DG ，AD AD ，ADB= ADC+ ACD= ADC+ GDC ADG故 ADB ADG ，故有 BAD= DAG ，即 AD平

8、分 BAE应用：RtABD和 等 腰1、 （09崇文二模）以的两边AB 、AC为腰分别向外作等腰RtACE，90 ,BADCAE连接DE ，M 、N分别是BC 、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；（2） 将图中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(090) 后， 如图所示， （ 1）问中得到的两个结论是否发生改变并说明理由解： （1）AMED2，EDAM；证明：延长AM到G，使AMMG，连BG，则ABGC是平行四边形BGAC，180BACABG又180BACDAEDAEABG再证：ABGDAEA

9、MDE2，EDABAG延长MN交DE于H90DAHBAG90DAHHDAEDAM（2）结论仍然成立ABCGCHABDMNE精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 证明：如图，延长CA至 F，使FAAC，FA交DE于点P，并连接BFBADA，AFEAEADDAFBAF90在FAB和EAD中DABAEADBAFAEFAEADFAB（SAS）DEBF，AENF90AENAPEFFPDDEFB又AFCA，MBCMFBAM /，且FBAM21DE

10、AM，DEAM21二、截长补短1、如图，ABC中， AB=2AC ，AD平分BAC，且 AD=BD ，求证： CD AC解： （截长法）在AB上取中点F，连 FDADB是等腰三角形，F 是底 AB中点，由三线合一知DF AB ，故 AFD 90ADF ADC （SAS ）ACD AFD 90即： CD ACFCPABDMNE精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - - EDCBADCBAPQCBA2、如图， AD BC ，EA,EB分别平分

11、DAB,CBA ，CD过点 E，求证 ;ABAD+BC解： （截长法）在AB上取点 F，使 AFAD ，连 FEADE AFE （SAS ）ADE AFE ，ADE+ BCE 180AFE+BFE 180故 ECB EFBFBE CBE （AAS ）故有 BFBC从而 ;ABAD+BC3、如图，已知在ABC内，060BAC，040C，P，Q分别在 BC ， CA上，并且AP ，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP解： （补短法 , 计算数值法）延长AB至 D，使 BD BP ，连 DP在等腰 BPD中，可得 BDP 40从而 BDP 40 ACPADP ACP （A

12、SA ）故 AD AC又 QBC 40 QCB 故 BQ QCBD BP从而 BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD中， BC BA,AD CD ，BD平分ABC，求证：0180CA解： （补短法）延长BA至 F，使 BFBC ，连 FDBDF BDC （SAS ）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - - P21DCBA故 DFB DCB ，FDDC又 AD CD故在等腰 BFD中DFB DAF故有 BAD+ BCD 1805、

13、如图在 ABC中，AB AC ， 12，P为 AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC解： （补短法）延长AC至 F，使 AFAB ，连 PDABP AFP （SAS ）故 BP PF由三角形性质知PB PC PF PC BF=BA+AF=BA+AC从而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=PA例 2 如图，在 ABC的边上取两点D 、E，且 BD=CE ，求证： AB+ACAD+AE.DEACB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 20 页 - - - - - -

14、 - - - - OEDCBA证明：取 BC中点 M,连 AM并延长至 N,使 MN=AM, 连 BN,DN. BD=CE,DM=EM,DMN EMA(SAS),DN=AE,同理 BN=CA.延长 ND交 AB于 P,则 BN+BPPN,DP+PAAD,相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD,各减去 DP,得 BN+ABDN+AD,AB+ACAD+AE。四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC中， B=60， ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证： OE=OD ，DC+AE =AC证明( 角平分线在三种添辅助线 , 计算数值法 )B=60度,则BAC+ BCA=120 度;AD,C

15、E均为角平分线 ,则OAC+ OCA=60 度=AOE= COD;AOC=120 度.在 AC上截取线段 AF=AE, 连接 OF.又 AO=AO; OAE= OAF. 则OAE OAF(SAS),OE=OF;AE=AF; AOF= AOE=60 度.则COF= AOC- AOF=60 度=COD;又 CO=CO; OCD= OCF.故OCD OCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=OD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - -

16、DC+AE=CF+AF=AC.2、如图， ABC中，AD平分 BAC ，DG BC且平分 BC ，DE AB于 E，DF AC于 F. （1）说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE 、BE的长 .解： ( 垂直平分线联结线段两端) 连接 BD ，DCDG垂直平分 BC ，故 BD DC由于 AD平分 BAC ， DEAB于 E，DF AC于 F，故有ED DF故 RTDBE RTDFC （HL）故有 BE CF。AB+AC 2AEAE （ a+b）/2BE=(a-b)/2应用：1、如图，OP是MON的平分线， 请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请

17、你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而 (1) 中的其它条件不变，请问，你在(1) 中所得结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由。解： （1）FE与FD之间的数量关系为FDFE（2）答：（1）中的结论FDFE仍然成立。证法一： 如图 1，在AC上截取AEAG，连结FG 21，AF为公共边，AGFAEFAFGAFE，FGFEEDGFCBA( 第 23 题图 )OPAMNEBCDFAC

18、EFBD图图图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - - FEDCBA60B，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线603260AFGCFDAFE60CFG43及FC为公共边CFDCFGFDFGFDFE证法二： 如图 2，过点F分别作ABFG于点G，BCFH于点H 60B，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线可得6032，F是ABC的内心160GEF，FGFH又1BHDFHDFGEF可证DHFEGFFDFE五、旋转例 1 正方形 ABC

19、D 中，E为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=EF ，求 EAF的度数 .证明：将三角形 ADF绕点 A顺时针旋转 90 度， 至三角形 ABG则 GE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE ，AF=AG ，所以三角形 AEF全等于 AEG所以 EAF= GAE= BAE+ GAB= BAE+ DAF又EAF+ BAE+ DAF=90所以 EAF=45度例 2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB的中点， DM DN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F。(1) 当MDN绕点 D转动时，求证DE=DF 。(2) 若 AB=2，求四边形DECF 的面积。FBEACD图

20、12143GFBEACD图 22143HG精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 解： (计算数值法 ) （1）连接 DC ，D为等腰Rt ABC斜边 AB的中点，故有CD AB，CD DACD平分 BCA 90， ECD DCA 45由于 DM DN ，有 EDN 90由于 CDAB ，有 CDA 90从而 CDE FDA 故有 CDE ADF （ASA ）故有 DE=DF（2）SABC=2, S四 DECF= SACD=1例 3

21、如图，ABC是边长为 3 的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以 D为顶点做一个060角，使其两边分别交AB于点 M ，交 AC于点 N，连接 MN ，则AMN的周长为；解： ( 图形补全法 , “截长法”或“补短法”, 计算数值法 ) AC 的延长线与BD的延长线交于点 F，在线段 CF上取点 E，使 CE BM ABC为等边三角形，BCD为等腰三角形，且 BDC=120 ， MBD= MBC+ DBC=60 +30=90，DCE=180 - ACD=180 - ABD =90，又 BM=CE ，BD=CD ， CDE BDM ， CDE= BDM ，DE=DM ，精品资料

22、- - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - - NDE= NDC+ CDE= NDC+ BDM= BDC- MDN=120 - 60=60，在 DMN 和 DEN中， DM=DEMDN= EDN=60 DN=DN DMN DEN ，MN=NE在 DMA 和 DEF中， DM=DEMDA=6 0- MDB=6 0- CDE= EDF (CDE= BDM)DAM= DFE=3 0 DMN DEN (AAS) ，MA=FEAMN 的周长为 AN+MN+AM=

23、AN+NE+EF=AF=6应用：1、 已 知 四 边 形ABCD中 ，ABAD，BCCD，ABBC，120ABCo，60MBNo，MBN绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，当MBN绕B点旋转到AECF时（如图 1） ，易证AECFEF当MBN绕B点旋转到AECF时，在图2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，EF又有怎样的数量关系请写出你的猜想，不需证明解： （1）ADAB，CDBC，BCAB，CFAE（图 1）ABCDEFMN（图 2）ABCDEFMN（图 3）ABCDEFMN精品资料 - - - 欢迎下载 - - -

24、 - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - - - CBFABE（SAS） ；CBFABE，BFBE120ABC，60MBN30CBFABE，BEF为等边三角形BFEFBE，BEAECF21EFBECFAE（2）图 2成立，图 3 不成立。证明图 2，延长DC至点K，使AECK，连接BK则BCKBAEBKBE，KBCABE60FBE，120ABC60ABEFBC60KBCFBC60FBEKBFEBFKBFEFKFEFCFKC即EFCFAE图 3 不成立，AE、CF、EF的关系是EFCFA

25、E2、 （西城 09 年一模）已知 :PA=2,PB=4, 以 AB为一边作正方形ABCD, 使 P、D两点落在直线 AB的两侧 .(1) 如图, 当 APB=45 时 , 求 AB及 PD的长 ; (2) 当APB变化, 且其它条件不变时, 求 PD的最大值 , 及相应 APB的大小 . 分析： （1）作辅助线，过点A作PBAE于点E， 在PAERt中，已知APE，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在ABERt中，根据勾股定理可将AB的值求出； 求PD的值有两种解法，解法一：可将PAD绕点A顺时针旋转90得到ABP，可得ABPPAD，求PD长即为求BP的

26、长，在PAPRt中，可将PP的值求出，在BPPRt中，根据勾股定理可将BP的值求出；解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在AEGRt中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在PFGRt中，可求出PF，在PDFRt中，根据勾股定理可将PD的值求出；（2）将PAD绕点A顺时针旋转90，得到ABP，PD的最大值即为BP的最大值，故当P、P、B 三点共线时，BP取得最大值，根据PBPPBP可求BP的最大值，此时135180PAPAPB解： （1）如图，作PBAE于点EPAERt中，45APB，2PAKABCDEFMN图 2EPADCB精品资料 - - - 欢迎下载 -

27、- - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 20 页 - - - - - - - - - - PPACBDPPACBD1222PEAE4PB3PEPBBE在ABERt中，90AEB1022BEAEAB解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将将PAD绕点A顺时针旋转90得到ABP， ，可得ABPPAD，BPPD，APPA90PPA，45PAP，90PBP2PP，2PA52422222PBPPBPPD；解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的延长线交PB于G在AEGRt中，可得310coscos

28、ABEAEEAGAEAG，31EG，32EGPEPG在PFGRt中，可得510coscosABEPGFPGPGPF，1510FG在PDFRt中，可得523101510105102222FGAGADPFPD（2）如图所示，将PAD绕点A顺时针旋转90, 得到ABP，PD的最大值，即为BP的最大值BPP中，PBPPBP，22PAPP，4PB且P、D两点落在直线AB的两侧当P、P、B三点共线时，BP取得最大值（如图）此时6PBPPBP，即BP的最大值为6此时135180PAPAPBPPACBDEGFPACBDE精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师

29、归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 3、在等边ABC的两边AB、AC 所在直线上分别有两点M 、N，D 为ABCV外一点，且60MDN,120BDC,BD=DC. 探究：当 M 、N分别在直线AB 、AC上移动时， BM 、NC 、MN之间的数量关系及AMN的周长 Q与等边ABC的周长 L 的关系图 1 图 2 图 3（I ）如图1，当点M 、N 边 AB 、AC 上，且DM=DN 时， BM 、 NC 、MN之间的数量关系是； 此时LQ；（II ）如图 2，点 M 、N边 AB 、AC上，且当 DM DN时，猜想（

30、I ）问的两个结论还成立吗写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图 3，当 M 、N分别在边 AB、CA的延长线上时，若 AN=x，则 Q= （用x、L 表示） 分 析 ：（ 1 ） 如 果DNDM，DNMDMN， 因 为DCBD， 那 么30DCBDBC，也就有903060NCDMBD，直角三角形MBD、NCD中，因 为DCBD，DNDM， 根 据HL定 理 ， 两 三 角 形 全 等 。 那 么NCBM，60DNCBMD，三角形NCD中，30NDC，NCDN2，在三角形DNM中，DNDM，60MDN， 因 此 三 角 形DMN是 个 等 边 三 角 形 ， 因 此BMNCNCDNMN2，

31、三角形AMN的周长MNANAMQABACABNCMBANAM2，三角形ABC的周长ABL3，因此3:2: LQ（2）如果DNDM，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。延长AC至E，使BMCE，连接DE （1）中我们已经得出，90NCDMBD，那么三角形MBD和ECD中，有了一组直角，CEMB，DCBD，因此两三角形全等，那么DEDM，CDEBDM，60MDNBDCEDN三角形MDN和EDN中，有DEDM，60MDNEDN，有一条公共边，因此两三角形全等，NEMN，至此我们把BM转换成了CE，把MN转换成了NE，因为CECNNE，因此CNBMMNQ与L的关系的求法同（ 1） ，得出的结果是

32、一样的。（3） 我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换，思路同（2） 过D作MDBCDH，三 角 形BDM和CDH中 ， 由 （ 1 ） 中 已 经 得 出 的90MBDCH， 我 们 做 的 角CDHBDM，CDBD，因此两三角形全等（ASA） 那么CHBM，DHDM，三角形MDN和NDH中，已知的条件有DHMD，一条公共边ND，要想证得两三角形全等就需要 知 道HDNMDN， 因 为MDBCDH， 因 此120BDCMDH， 因 为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 20

33、页 - - - - - - - - - - 图 1NMADCB60MDN，那么60120NDH60，因此NDHMDN，这样就构成了两三角形全等的条件三角形MDN和DNH就全等了那么BMACANNHNM，三角形AMN的周长BMABANMNAMANQABANBMACAN22 因 为xAN，LAB31， 因 此 三 角 形AMN的 周 长LxQ322解： （1）如图 1，BM、NC、MN之间的数量关系：MNNCBM；此时32LQ（2）猜想：结论仍然成立证明：如图2，延长AC至E，使BMCE，连接DECDBD，且120BDC30DCBDBC又ABC是等边三角形90NCDMBD在MBD与ECD中DCBD

34、ECDMBDCEBMECDMBD（SAS）DEDM，CDEBDM60MDNBDCEDN在MDN与EDN中DNDNEDNMDNDEDMEDNMDN（SAS）BMNCNEMN故AMN的周长MNANAMQABACABNCANBMAM2而等边ABC的周长ABL33232ABABLQ（3）如图 3，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若xAN，则LxQ322（用x、L表示）点评：本题考查了三角形全等的判定及性质；题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的， 当题中没有明显的全等三角形时，我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所E图 2NMADCBH图 3NMADCB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 求条件相关的全等三角形。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - - -