选修2-2——生活中的优化问题举例(共15页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上1.4生活中的优化问题举例1问题导航(1)生活中经常遇到的优化问题主要包括哪些问题？(2)解决一些生活中的优化问题的基本思路是什么？(3)求解优化问题的方法有多种多样，但较简捷的方法是什么？2例题导读通过P3435例1、例2、例3的学习，应体会以下几方面的内容：(1)研究优化问题的实质就是研究函数的最值问题；(2)求解优化问题最简捷的方法就是利用导数作为工具进行求解；(3)解决优化问题的过程是典型的数学建模过程；(4)掌握利用导数解决优化问题的一般步骤1优化问题生活中经常遇到的求利润最大、用料最省、效率最高等问题，通常称为优化问题，导数是求函数最大(小)值的有力工具2

2、利用导数解决优化问题的基本思路3利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，即写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)，注明定义域；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)写出答案1下列不属于优化问题的是()A汽油的使用效率何时最高B磁盘的最大存储量问题C求某长方体容器的容积D饮料瓶大小对饮料公司利润的影响答案：C2有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为()A32 m2B14 m2C16 m2D18 m2解析：选

3、C.设矩形的长为x m，则宽为(8x)m，矩形面积为Sx(8x)(x0)，令S82x0，得x4，此时Smax4216(m2)3内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为()A.RB.RC.RD.R解析：选A.作轴截面如图所示，设圆柱高为2h，则底面半径为，圆柱体体积为V(R2h2)2h2R2h2h3.令V2R26h20，hR.即当2hR时，圆柱体的体积最大4一艘船从A地到B地，其燃料费w与船速v的关系为w(v)(18v30)，则燃料费最低时的船速v_解析：w(v)0，所以w(v)在18，30上单调递增，所以当v18时，w(v)有最小值答案：181解决优化问题的常用方法解决优化问题的方法很多，如

4、：判别式法，基本不等式法，线性规划法及利用二次函数的性质及导数法等不少优化问题，可以化为求函数的最值问题一般来说，导数方法是解决这类问题的有效工具2解决生活中的优化问题应当注意的问题(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点满足f(x)0的情形如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大(小)值(3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间几何中的最值问题(1)圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S，要使它的容积最

5、大，它的高h与底面半径R的比应为_解析因为S2Rh2R2，所以h，所以V(R)R2，(S2R2)RSRR3.由V(R)S3R20，得S6R2，所以当S6R2时，容积最大，此时6R22Rh2R2.即hR21.答案21(2)请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E，F两点在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最

6、大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)由已知得，ax，h(30x)，0x0；当x(20，30)时，V0.所以当x20时，V取得极大值，也是最大值此时，即包装盒的高与底面边长的比值为.解决面积、体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值1(1)如图所示，等腰梯形ABCD的三边AB，BC，CD分别与函数yx22，x2，2的图象切于点P，Q，R.求梯形ABCD面积的最小值解：设梯形ABCD的面积为S，点P的坐标为(0t2)由题意得，点Q的坐标为(0，2)，直线BC的方程为

7、y2.因为yx22，所以yx，所以y|xtt，所以直线AB的方程为yt(xt)，即ytxt22，令y0，得x，所以A.令y2，得xt，所以B，所以S222t，S2，令S0，得t.故当t时，S有最小值为4.所以梯形ABCD的面积的最小值为4.(2)从长为32 cm，宽为20 cm的矩形薄铁皮的四角剪去四个相等的正方形，做一个无盖的箱子，问剪去的正方形边长为多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？解：设剪去的正方形的边长为x cm，则箱子的容积V(x)x(322x)(202x)4x3104x2640x，(0x10)V(x)12x2208x6404(3x252x160)4(3x40)(x4)令V(x

8、)0，得x1(舍去)，x24.当0x0，当4x10时，V(x)0，所以V(x)在(0，4)内为增函数，在(4，10)内为减函数因此V(x)在(0，10)内有唯一的极大值V(4)，且该极大值即为函数V(x)的最大值，其最大值V(4)4(328)(208)1 152(cm3)故当剪去的正方形边长为4 cm时，箱子的容积最大，最大容积为1 152 cm3.用料、费用最省问题如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂铺设的水管费用分别为每千米3

9、a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？解法一：设C点距D点x km(0x50)，则BD40 km，AC(50x)km，BC(km)又设总的水管费用为y元，依题意，得y3a(50x)5a(0x50)y3a，令y0，解得x30.当x(0，30)时，y0，当x30时函数取得最小值，此时AC50x20(km)即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省法二：设BCD，则BC，CD.AC50.设总的水管费用为f()元，依题意有f()3a(50)5a150a40a.f()40a40a.令f()0，得cos .根据问题的实际意义，当cos 时，函数取得最小值，此时sin .tan

10、 .AC5020(km)即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省(1)选取合适的量作为自变量(如法一取C、D之间的距离x为自变量，法二取BCD为自变量)，并确定其取值范围(2)正确列出函数关系式；(3)利用导数求最值；(4)回归到原实际问题其中，正确列出函数关系式是解题的关键2(1)(教材例1变式题)一报刊图文应占S cm2，上、下边各空a cm，左右边各空b cm，若只注意节约用纸，问这种报刊的长、宽各为多少？解：设图文所占区域的长为x，则宽为，报刊的面积为y，如图所示则y(x2b)2axS4ab(x0)，求导得y2a.令y0，解得x或x(舍去)当x，y0，当x 时，y取得

11、最小值即报刊长为 2b，宽为 2a时，报刊用纸最省(2)某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用)解：设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)(56048x)56048x(x10，xN*)，f(x)48，令f(x)0，得x15或x15(舍去)，当x15时，f(x)0；当10x15时，f(x)0，因此当x15时，f(x)取最小值f

12、(15)2 000.故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层利润最大问题某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解(1)因为x5时，y11，所以1011，所以a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2(3x6)从而f(x)1

13、0(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3，4)4(4，6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，最大值为42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大(1)经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动(2)关于利润问题常用的两个等量关系利润收入成本利润每件产品的利润销售件数3某

14、生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与年广告费x(万元)之间的函数关系为Q(x0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元若每件产品售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和(1)试将年利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数，如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？解：(1)由题意，每年销售Q万件，共计成本为(32Q3)万元，销售收入是(32Q3)150%x50%，所以年利润y(年收入)(年成本)(年广告费)(32Q3x)(x0)

15、，所以所求的函数关系式为y(x0)当x100时，y0；x(7，)时，f(x)0)；固定部分为a元(1)把全部运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解(1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为yabv2S(bv)，所求函数及其定义域为yS，v(0，c(2)令yS0，得v，若c，则当v时，全程运输成本y最小；若c，则v(0，c时yc时，行驶速度vc.错因与防范(1)一方面在运用导数解决实际问题的过程中，忽略实际问题中函数的定义域造成求解错误；另一方面由于忽视了对v是否在区间(0，c内的讨论，致

16、使答案错误(2)在解决与实际问题有关的最值问题时，应先将实际问题转化为求函数的最值问题，并且注意自变量的取值范围根据定义域，观察取最值的点是否在定义域内，易因忽视定义域而出错4某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3a5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9x11)时，一年的销售量为(12x)2万件(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)解：(1)分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式为：L(x3a)(12x)2，x9，11(

17、2)由(1)知L(x3a)(12x)2，x9，11，则L(12x)22(x3a)(12x)(12x)(182a3x)令L0解得x6a或x12(舍去)3a5，86a.在x6a两侧L的值由正变负，当86a9，即3a时，LmaxL(9)(93a)(129)29(6a)当96a，即a5时，LmaxL(6a)(6a3a)12(6a)24(3a)3，Q(a).即若3a0)，为使利润最大，应生产()A9千台B8千台C6千台D3千台解析：选C.构造利润函数yy1y218x22x3(x0)，求导得y36x6x20x6(x0舍去)2做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27且用料最省，则圆柱的底面半径为()A5

18、B6C3 D2解析：选C.设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则VR2l27，l.要使用料最省，只需使水桶的表面积最小，而S表R22RlR2，令S表2R0，解得R3，即当R3时，S表最小故选C.3如图，内接于抛物线y1x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积S最大值是_解析：设CDx(0x0，f(x)是递增的，当x时，f(x)0，f(x)是递减的，当x时，f(x)取得最大值.答案：A.基础达标1将8分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为()A2和6B4和4C3和5 D以上都不对解析：选B.设一个数为x，则另一个数为8x，则yx3(8x)3，0x8，y3

19、x23(8x)2，令y0，即3x23(8x)20，解得x4.当0x4时，y0；当40.当x4时，y最小2设函数ht(x)3tx2t，若有且仅有一个正实数x0，使得h7(x0)ht(x0)对任意的正数t都成立，则x0()A5 B.C3 D.解析：选D.h7(x0)ht(x0)对任意的正数t都成立，h7(x0)ht(x0)max.记g(t)ht(x0)3tx02t，则g(t)3x03t，令g(t)0，得tx，易得ht(x0)maxg(x)x，21x014x，将选项代入检验可知选D.3要建造一个容积为8 m3，深为2 m的无盖长方体蓄水池，已知池壁的造价为100元/m2，池底的造价为300元/m2，

20、则总造价最低为()A400元 B1 200元C1 600元 D2 800元解析：选D.设总造价为y元，池底的一边长为x m由题意知池底的面积为4 m2，则池底的另一边长为 m，池壁的面积为4m2，有y1 20010044001 200(x0)y400，令y0，得x2，由y0，得x2，由y0，得0x2，所以当x2时，y取得最小值，且ymin2 800，故选D.4.如图，已知正方形ABCD的边长为1，点P从顶点A沿着AB的方向向顶点B运动，速度为2，同时，点Q从顶点B沿着BC的方向向顶点C运动，速度为1，则|PQ|的最小值为()A0B.C. D1解析：选B.设点P，点Q运动的时间为t，则|PQ|(

21、0t)，令f(t)|PQ|2(12t)2t25t24t1，则f(t)10t4，令f(t)0，得t.当0t时，f(t)0，f(t)单调递减；当0，f(t)单调递增所以当t时，f(t)取得极小值，也是最小值，此时|PQ|也取得最小值，即有|PQ|min，故选B.5某商品的进价为3元/件，根据以往经验，当售价为8元/件时，可卖出30件，市场调查表明，每当售价下降1元时，销量可增加10件，且售价下降x元时，获得的利润为L(x)元，则L(x)的最大值为()A220元 B200元C180元 D160元解析：选D.当售价下降x元时，每件的利润为(5x)元，此时销量为(3010x)件，L(x)(5x)(301

22、0x)10(5x)(3x)10(x22x15)(0x5)，L(x)10(2x2)20(x1)，令L(x)0，得x1；令L(x)0，得0x1，L(x)在区间0，1上单调递增；令L(x)0，得10)由L(x)x20，得x25.令L(x)0，得0x25；令L(x)25，得L(x)在区间(0，25)上单调递增，在区间(25，)上单调递减，所以当x25时，总利润最高答案：257某工厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，其中一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁当砌墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为_解析：要求材料最省，则要求新砌的墙壁总长最短，设堆料场地宽为x m，则长为 m，因此新

23、墙总长为L2x(x0)，则L2，令L0，得x16，又x0，x16，则当x16时，Lmin64，长为32 (m)答案：32 m，16 m8已知正三角形ABC的边长为2，点D是边BC上一动点，点D到AB，AC的距离分别为x，y，则xy的最大值为_解析：由SABDSACDSABC且ABC是边长为2的正三角形，得2x2y2，即xy，令f(x)xyx(x)x2x(0x)，f(x)2x，由f(x)0，得x.令f(x)0，得0x，f(x)在区间上递增；令f(x)0，得0.令f(r)r4，则f(r)4r32r3，令f(r)0，得r，由f(r)0，得r，由f(r)0，得0r0)要将直径为d的圆木锯成强度最大的横

24、梁，断面的宽x应为()A.B.C.dD.d解析：选C.设断面高为h，则h2d2x2.设横梁的强度为f(x)，则f(x)kxh2kx(d2x2)(0xd)令f(x)k(d23x2)0，解得xd(xd舍去)当0x0，f(x)在区间上单调递增；当dxd时，f(x)0，f(x)在区间上单调递减所以函数f(x)在定义域(0，d)内只有一个极大值点xd.所以当xd时，f(x)有最大值，故选C.2某工厂有一段旧墙长14 m，现准备利用这段旧墙建造一个平面图形为矩形，面积为126 m2的厂房，工程条件是：建1 m新墙的费用为a元；修1 m旧墙的费用为元；拆去1 m旧墙，用可得的建材建1 m新墙的费用为元若利用

25、旧墙中长为x m的一段(0x14)为矩形的一边，则建墙总费用最少为()A35a元 B35元C12a元 D12元解析：选A.修旧墙的费用为元，拆旧墙造新墙的费用为元，其余新墙的费用为a元，记总费用为y元，则y7a(00，得12x14，令y0，得0x12，所以当x12时，ymin35a，即建墙总费用最少为35a元，故选A.3.如图，已知点A(1，1)，B(2，0)，O为坐标原点，设OAB被直线xt与xt1所夹部分的面积为S，则当t1时，S的最大值为_解析：由题意得S21t22(t1)2t2t，S2t12，当t1时，S0，St2t单调递减，所以当t时，S取得最大值，且Smax.答案：4(2015银川

26、高二检测)一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要库存费40元，并假设该书均匀投放市场，则此书店分_次进货、每次进_册，可使所付的手续费与库存费之和最少解析：设每次进书x千册(0x150)，手续费与库存费之和为y元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即，故有y3040，y20，令y0，得x15.列表如下：x(0，15)15(15，150)y0y极小值所以当x15时，y取得极小值，故当x15时，y取得最小值，此时进货次数为10(次)即该书店分10次进货，每次进15 000册书，所付手续费与库存费之和最少答案：1015 000

27、5某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)如果池四周围墙建造单价为400元/m2，中间两道隔墙建造单价为248元/m2，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 m试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价解：(1)设污水处理池的长为x m，则宽为 m，再设总造价为y元，则有y2x4002400248280200800x16 0002 16 00028001816 00044 800，当且仅当800x，即x18 m时，y取

28、得最小值当污水池的长为18 m，宽为 m时总造价最低，为44 800元(2)0x16，016，12.5x16，x18，y(x)800，当12.5x16时，y8000，(x)在12.5，16上为减函数从而(x)(16)45 000.所以，当该池的长为16 m，宽为12.5 m时，总造价最低，最低总造价为45 000元6.某园林公司计划在一块以O为圆心，R(R为常数)为半径的半圆形(如图所示)地上种植花草树木，其中弓形CMD区域用于观察样板地，OCD区域用于种植花木出售其余区域用于种植草皮出售已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木地的利润是每平方米8元，草皮地的利润是每平方米3元(1)设COD，

29、弧CMD的长为l，分别用，l表示弓形CMD的面积S弓f()，S弓g(l)；(2)园林公司应该怎样规划这块土地，才能使总利润最大？(参考公式：扇形面积公式SR2Rl)解：(1)S扇形OCDR2，SOCDR2sin ，S弓f()R2(sin )又S扇形OCDRl，SOCDR2sin，S弓g(l)R.(2)设总利润为y元，草皮地的利润为y1元，花木地的利润为y2元，观察样板地成本为y3元，y13，y2R2sin 8，y3R2(sin )2，yy1y2y33R2sin 8R2(sin )2R23(510sin )设g()510sin ，(0，)，则g()510cos ，令g()，g()在上为减函数；令g()0，得cos ，g()在上为增函数当时，g()取到最小值，此时总利润最大，当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润最大专心-专注-专业