第四章分离变量法(共31页).doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上习题3.11考察长为l的均匀细杆的导热问题,若(1)杆的两端温度保零度;(2)杆的两端均绝热;(3)杆的一端为恒温零度,另一端绝热,而初始温度分布均为;试用分离变量法求解在这三种情况下的杆的导热问题的解。解:(1)该问题的数学模型为 其Step1:分离变量:令,代入齐次方程及齐次边界条件有:由于所以有:整理得 Step2:求解特征值问题讨论:若,则此时将代入得,于是 =0不合适,舍去。若时方程的特征方程为 将代入得 得C=-D=0 也不合适,舍去。若时方程的特征方程为 将代入有C=0将代入有 此时Step3:将代入关于的常微分方程有 其中待求。Step4:叠加由于所以
2、: 综上知该热传导问题的解为:其中 (2)该问题的数字模型为 其Step1:分离变量:令,并代入齐次方程及齐次边界条件中有:由于 故上面方程可化为所以有:整理得 Step2:求解下面的特征值问题讨论:若,则方程变为 这样 而 此时有 (取0即可)若时 则方程的特征方程为 C=-D=0 此时 不合适若时,方程的特征方程为 综上所述。该问题的特征值为 特征函数为 Step3:将代入关于的微分方程求有: Step4:叠加,原方程的解为: 其中 (3)该问题的数字模型为: 其中Step1:分离变量:令,代入齐次方程及齐次边界条件中有:由于 整理上面方程有所以有:整理得 Step2:求解下面的特征值问题
3、讨论:若,则 这样 不合适,舍去。若时 则方程的特征方程为 C=-D=0 这说明也不合适若时,方程的特征方程为 Step3:将代入关于的微分方程有:得 Step4:叠加,原方程的解为: 其中 2今有一弦,其两端被钉子钉紧作自由振动,其初始位移为:初速度为零,试求弦振动方程的解(其中h为常数)解:该问题的数字模型为由本节推导知:其中 又 , , 原方程的解为3求解下面的定解问题 (1)解:根据本节推可知(其中) , ,(2)解:取Step1:分离变量:令并代入齐次方程和齐次边界条件有:由于 上面方程变形为整理有Step2:求解特征值问题由第1题知 ,Step3:将代入关于T(t)的微分方程其特征
4、方程为,n=0,1,2, Step4:叠加 , 所以 , n=0, 1, 2, 又 , n=0, 1, 2, 原方程的解为 (3)解:令 则:由于 a=2,l=1,根据第1题结果有:其中 = (4)解:step1:分离变量,令,并代入齐次方程和齐次边界条件中有: 上面方程进行整理有: 即 由第1题知特征值为特征函数为,n=1,2,step3:将代入至于Y(y)的常微分方程有 其特征方程为 n=1,2, step4叠加:原方程的解为: , 即 (1)又 即 (2)联立(1)、(2)有 原方程的解为4求阻尼波动问题的解解:Step1:分离变量,令,并代入齐次方程和齐次边界条件中有由于,于是上面方程
5、变为:整理得下面的常微分方程有:Step2:求解下面的特征值问题由第1题的结果有特征值为特征函数为Step3:将代入关于的常数分方程有:上式是关于的二阶常数系线性齐次常微分方程,其特征方程为,当时 其中,当时 当时 Step4:叠加当时 (1)又而, (2)(1)两边同乘有 (3)(2)-(3)得:(1)两边同乘以有 (4)(2)-(4)得:令 , 则当时,原方程的解为其中,同理可得时,原方程有解:其中 ,当时,其中 , 5均匀细杆长为,在固定,而另一端受着一个沿杆长方向的力,如果在开始一瞬间,突然停止这个力的作用,求杆的纵振动。解:假设细杆的左端点固定,于是该问题的数字桂型为:其中E为细杆的
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