2015中考数学真题分类汇编：二次函数(压轴题)(共254页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上26（13分）（2015福州）如图，抛物线y=x24x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q（1）这条抛物线的对称轴是，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是；（2）若两个三角形面积满足SPOQ=SPAQ，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：PD+DQ的最大值；PDDQ的最大值考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可求得对称轴；求得直线与坐标轴的交点坐标，即可证得直线和坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，从而求得直线PQ与x轴所夹锐角的度数；（

2、2）分三种情况分别讨论根据已知条件，通过OBEABF对应边成比例即可求得；（3）过点C作CHx轴交直线PQ于点H，可得CHQ是等腰三角形，进而得出ADPH，得出DQ=DH，从而得出PD+DQ=PH，过P点作PMCH于点M，则PMH是等腰直角三角形，得出PH=PM，因为当PM最大时，PH最大，通过求得PM的最大值，从而求得PH的最大值；由可知：PD+PH6，设PD=a，则DQa，得出PDDQa（6a）=a2+6a=（a3）2+18，当点P在抛物线的顶点时，a=3，得出PDDQ18解答：解：（1）y=x24x=（x2）24，抛物线的对称轴是x=2，直线y=x+m，直线与坐标轴的交点坐标为（m，0）

3、，（0，m），交点到原点的距离相等，直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45，故答案为x=2、45（2）设直线PQ交x轴于点B，分别过O点，A点作PQ的垂线，垂足分别是E、F，显然当点B在OA的延长线时，SPOQ=SPAQ不成立；当点B落在线段OA上时，如图，=，由OBEABF得，=，AB=3OB，OB=OA，由y=x24x得点A（4，0），OB=1，B（1，0），1+m=0，m=1；当点B落在线段AO的延长线上时，如图，同理可得OB=OA=2，B（2，0），2+m=0，m=2，综上，当m=1或2时，SPOQ=SPAQ；（3）过点C作CHx轴交直线PQ于点H

4、，如图，可得CHQ是等腰三角形，CDQ=45+45=90，ADPH，DQ=DH，PD+DQ=PH，过P点作PMCH于点M，则PMH是等腰直角三角形，PH=PM，当PM最大时，PH最大，当点P在抛物线顶点出时，PM最大，此时PM=6，PH的最大值为6，即PD+DQ的最大值为6由可知：PD+PH6，设PD=a，则DQa，PDDQa（6a）=a2+6a=（a3）2+18，当点P在抛物线的顶点时，a=3，PDDQ18PDDQ的最大值为18点评：本题是二次函数的综合题，考查了抛物线的性质，直线的性质，三角形相似的判定和性质，难度较大25（10分）（2015莆田）抛物线y=ax2+bx+c，若a，b，c满

5、足b=a+c，则称抛物线y=ax2+bx+c为“恒定”抛物线（1）求证：“恒定”抛物线y=ax2+bx+c必过x轴上的一个定点A；（2）已知“恒定”抛物线y=x2的顶点为P，与x轴另一个交点为B，是否存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题菁优网版权所有专题：综合题分析：（1）由“恒定”抛物线y=ax2+bx+c，得到b=a+c，即ab+c=0，即可确定出抛物线恒过定点（1，0）；（2）先求出抛物线y=x2的顶点坐标和B的坐标，由题意得出PACQ，PA=CQ；存在两种情况：

6、作QMAC于M，则QM=OP=，证明RtQMCRtPOA，MC=OA=1，得出点Q的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+2）2，把点A坐标代入求出a的值即可；顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合；证明OQCOPA，得出OQ=OP=，得出点Q坐标，设抛物线的解析式为y=ax2+，把点C坐标代入求出a的值即可解答：（1）证明：由“恒定”抛物线y=ax2+bx+c，得：b=a+c，即ab+c=0，抛物线y=ax2+bx+c，当x=1时，y=0，“恒定”抛物线y=ax2+bx+c必过x轴上的一个定点A（1，0）；（2）解：存在；理由如下：“恒定”抛物线y=x2，当y=0时，x2=0，解得：x=1，A（1

7、，0），B（1，0）；x=0时，y=，顶点P的坐标为（0，），以PA，CQ为边的平行四边形，PA、CQ是对边，PACQ，PA=CQ，存在两种情况：如图1所示：作QMAC于M，则QM=OP=，QMC=90=POA，在RtQMC和RtPOA中，RtQMCRtPOA（HL），MC=OA=1，OM=2，点A和点C是抛物线上的对称点，AM=MC=1，点Q的坐标为（2，），设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为y=a（x+2）2，把点A（1，0）代入得：a=，抛物线的解析式为：y=（x+2）2，即yx2+4x+3；如图2所示：顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合，点C坐标为（1，0），

8、CQPA，OQC=OPA，在OQC和OPA中，OQCOPA（AAS），OQ=OP=，点Q坐标为（0，），设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为y=ax2+，把点C（1，0）代入得：a=，抛物线的解析式为：y=x2+；综上所述：存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形，抛物线的解析式为：y=x2+4x+3，或y=x2+点评：本题是二次函数综合题目，考查了新定义“恒定”抛物线、用待定系数法求抛物线的解析式、全等三角形的判定与性质、抛物线的对称性、坐标与图形性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要作辅助线证明

9、三角形全等求出点的坐标才能得出抛物线的解析式26（13分）（2015泉州）阅读理解抛物线y=x2上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y=1的距离相等，你可以利用这一性质解决问题问题解决如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与y轴交于C点，与函数y=x2的图象交于A，B两点，分别过A，B两点作直线y=1的垂线，交于E，F两点（1）写出点C的坐标，并说明ECF=90；（2）在PEF中，M为EF中点，P为动点求证：PE2+PF2=2（PM2+EM2）；已知PE=PF=3，以EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若1PD2，试求CP的取值范围考点：二次函数综合题；勾股定理；矩形的判定与性质菁优网

10、版权所有专题：综合题；阅读型分析：（1）如图1，只需令x=0，即可得到点C的坐标根据题意可得AC=AE，从而有AEC=ACE易证AECO，从而有AEC=OCE，即可得到ACE=OCE，同理可得OCF=BCF，然后利用平角的定义即可证到ECF=90；（2）过点P作PHEF于H，分点H在线段EF上（如图2）和点H在线段EF的延长线（或反向延长线）上（如图2）两种情况讨论，然后只需运用勾股定理及平方差公式即可证到PE2+PF22PM2=2EM2，即PE2+PF2=2（PM2+EM2）；连接CD，PM，如图3易证CEDF是矩形，从而得到M是CD的中点，且MC=EM，然后根据中的结论，可得：在PEF中，

11、有PE2+PF2=2（PM2+EM2），在PCD中，有PC2+PD2=2（PM2+CM2）由MC=EM可得PC2+PD2=PE2+PF2根据PE=PF=3可求得PC2+PD2=18根据1PD2可得1PD24，即118PC24，从而可求出PC的取值范围解答：解：（1）当x=0时，y=k0+1=1，则点C的坐标为（0，1）根据题意可得：AC=AE，AEC=ACEAEEF，COEF，AECO，AEC=OCE，ACE=OCE同理可得：OCF=BCFACE+OCE+OCF+BCF=180，2OCE+2OCF=180，OCE+OCF=90，即ECF=90；（2）过点P作PHEF于H，若点H在线段EF上，如

12、图2M为EF中点，EM=FM=EF根据勾股定理可得：PE2+PF22PM2=PH2+EH2+PH2+HF22PM2=2PH2+EH2+HF22（PH2+MH2）=EH2MH2+HF2MH2=（EH+MH）（EHMH）+（HF+MH）（HFMH）=EM（EH+MH）+MF（HFMH）=EM（EH+MH）+EM（HFMH）=EM（EH+MH+HFMH）=EMEF=2EM2，PE2+PF2=2（PM2+EM2）；若点H在线段EF的延长线（或反向延长线）上，如图2同理可得：PE2+PF2=2（PM2+EM2）综上所述：当点H在直线EF上时，都有PE2+PF2=2（PM2+EM2）；连接CD、PM，如图

13、3ECF=90，CEDF是矩形，M是EF的中点，M是CD的中点，且MC=EM由中的结论可得：在PEF中，有PE2+PF2=2（PM2+EM2），在PCD中，有PC2+PD2=2（PM2+CM2）MC=EM，PC2+PD2=PE2+PF2PE=PF=3，PC2+PD2=181PD2，1PD24，118PC24，14PC217PC0，PC24（12分）（2015福建）如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）（1）求抛物线的解析式；（2）求点O到直线AB的距离；（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且MND=OAB，

14、当DMN与OAB相似时，请你直接写出点M的坐标考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；（2）根据勾股定理，可得OA2、OB2、AB2的长，根据勾股定理的逆定理，可得OAB的度数，根据点到直线的距离的定义，可得答案；（3）根据抛物线上的点满足函数解析式，可得方程，根据相似三角形的性质，可得方程，根据解方程组，可得M点的坐标解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x1）21，将B点坐标代入函数解析式，得（51）2a1=3，解得a=故抛物线的解析式为y=（x1）21；（2）由勾股定理，得OA2=11+12=2，OB2=52+32=34，AB2=（51）2+

15、（3+1）2=32，OA2+AB2=OB2，OAB=90，O到直线AB的距离是OA=；（3）设M（a，b），N（a，0）当y=0时，（x1）21=0，解得x1=3，x2=1，D（3，0），DN=3a当MNDOAB时，=，即=，化简，得4b=a3 M在抛物线上，得b=（a1）21 联立，得，解得a1=3（不符合题意，舍），a2=2，b=，M1（2，），当MNDBAO时，=，即=，化简，得b=124a ，联立，得，解得a1=3（不符合题意，舍），a2=17，b=124（17）=80，M2（17，80）综上所述：当DMN与OAB相似时，点M的坐标（2，），（17，80）点评：本题考查了二次函数综合题

16、，（1）设成顶点式的解析式是解题关键，（2）利用了勾股定理及勾股定理的逆定理，点到直线的距离；（3）利用了相似三角形的性质，图象上的点满足函数解析式得出方程组是解题关键，要分类讨论，以防遗漏25（14分）（2015漳州）如图，抛物线y=x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，请解决下列问题（1）填空：点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（1，4）；（2）设点P的坐标为（a，0），当|PDPC|最大时，求的值并在图中标出点P的位置；（3）在（2）的条件下，将BCP沿x轴的正方向平移得到BCP，设点C对应点C的横坐标为t（其中0t6），在运动过程中BCP与BCD重叠

17、部分的面积为S，求S与t之间的关系式，并直接写出当t为何值时S最大，最大值为多少？考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：（1）根据抛物线与坐标轴交点坐标求法和顶点坐标求法计算即可；（2）求|PDPC|的值最大时点P的坐标，应延长CD交x轴于点P因为|PDPC|小于或等于第三边CD，所以当|PCPD|等于CD时，|PCPD|的值最大因此求出过CD两点的解析式，求它与x轴交点坐标即可；（3）过C点作CEx轴，交DB于点E，求出直线BD的解析式，求出点E的坐标，求出PC与BC的交点M的坐标，分点C在线段CE上和在线段CE的延长线上两种情况，再分别求得N点坐标，再利用图形的面积的差，可表示出S，再求

18、得其最大值即可解答：解：（1）y=x2+2x+3=（x1）2+4，C（0，3），D（1，4），故答案为：0；3；1；4；（2）在三角形中两边之差小于第三边，延长DC交x轴于点P，设直线DC的解析式为y=kx+b，把D、C两点坐标代入可得，解得，直线DC的解析式为y=x+3，将点P的坐标（a，0）代入得a+3=0，求得a=3，如图1，点P（3，0）即为所求；（3）过点C作CEx，交直线BD于点E，如图2，由（2）得直线DC的解析式为y=x+3，由法可求得直线BD的解析式为y=2x+6，直线BC的解析式为y=x+3，在y=2x+6中，当y=3时，x=，E点坐标为（，3），设直线PC与直线BC交于点

19、M，PCDC，PC与y轴交于点（0，3t），直线PC的解析式为y=x+3t，联立，解得，点M坐标为（，），BCBC，B坐标为（3+t，0），直线BC的解析式为y=x+3+t，分两种情况讨论：当0t时，如图2，BC与BD交于点N，联立，解得，N点坐标为（3t，2t），S=SBCPSBMPSBNB=63（6t）（6t）t2t=t2+3t，其对称轴为t=，可知当0t时，S随t的增大而增大，当t=时，有最大值；当t6时，如图3，直线PC与DB交于点N，立，解得，N点坐标为（，），S=SBNPSBMP=（6t）（6t）=（6t）2=t2t+3；显然当t6时，S随t的增大而减小，当t=时，S=综上所述，S

20、与t之间的关系式为S=，且当t=时，S有最大值，最大值为点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形三边关系、平移的性质和二次函数的性质等知识点在（1）中掌握二次函数的顶点式是解题的关键，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中用t分别表示出E、M、N的坐标是解题的关键，注意分类讨论思想的应用本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大28（12分）（2015甘南州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c，经过A（0，4），B（x1，0），C（x2，0）三点，且|x2x1|=5（1）求b，c的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的

21、菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：（1）把A（0，4）代入可求c，运用两根关系及|x2x1|=5，对式子合理变形，求b；（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点；（3）由四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形即可解答：解：（1）抛物线y=x2+bx+

22、c，经过点A（0，4），c=4又由题意可知，x1、x2是方程x2+bx4=0的两个根，x1+x2=b，x1x2=6由已知得（x2x1）2=25又（x2x1）2=（x2+x1）24x1x2=b224b224=25解得b=，当b=时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去b=（2）四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，又y=x2x4=（x+）2+，抛物线的顶点（，）即为所求的点D（3）四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（6，0），根据菱形的性质，点P必是直线x=3与抛物线y=x2x4的交点，当x=3时，y=（3）2（3）4=4，

23、在抛物线上存在一点P（3，4），使得四边形BPOH为菱形四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（3，3），但这一点不在抛物线上点评：本题考查了抛物线解析式的求法，根据菱形，正方形的性质求抛物线上符合条件的点的方法28（10分）（2015酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使NAC的面积最大

24、？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x1）（x5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；（2）点A关于对称轴的对称点A的坐标为（6，4），连接BA交对称轴于点P，连接AP，此时PAB的周长最小，可求出直线BA的解析式，即可得出点P的坐标（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使NAC面积最大设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2t+4）（0t5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与ACN的面积，由二次函数最大

25、值的问题即可求得答案解答：解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x1）（x5），把点A（0，4）代入上式得：a=，y=（x1）（x5）=x2x+4=（x3）2，抛物线的对称轴是：x=3；（2）P点坐标为（3，）理由如下：点A（0，4），抛物线的对称轴是x=3，点A关于对称轴的对称点A的坐标为（6，4）如图1，连接BA交对称轴于点P，连接AP，此时PAB的周长最小设直线BA的解析式为y=kx+b，把A（6，4），B（1，0）代入得，解得，y=x，点P的横坐标为3，y=3=，P（3，）（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使NAC面积最大设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2t+4

26、）（0t5），如图2，过点N作NGy轴交AC于G；作ADNG于D，由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=x+4，把x=t代入得：y=t+4，则G（t，t+4），此时：NG=t+4（t2t+4）=t2+4t，AD+CF=CO=5，SACN=SANG+SCGN=AMNG+NGCF=NGOC=（t2+4t）5=2t2+10t=2（t）2+，当t=时，CAN面积的最大值为，由t=，得：y=t2t+4=3，N（，3）点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵活应用28（12分）（2015兰州）已知二次函数y=ax2的图象经过点（

27、2，1）（1）求二次函数y=ax2的解析式；（2）一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的图象交于点A（x1、y1）、B（x2、y2）两点当m=时（图），求证：AOB为直角三角形；试判断当m时（图），AOB的形状，并证明；（3）根据第（2）问，说出一条你能得到的结论（不要求证明）考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：（1）把点（2，1）代入可求得a的值，可求得抛物线的解析式；（2）可先求得A、B两点的坐标，过A、B两点作x轴的垂线，结合条件可证明ACOODB，可证明AOB=90，可判定AOB为直角三角形；可用m分别表示出A、B两点的坐标，过A、B两点作x轴的垂线，表示出AC、BD的长

28、，可证明ACOODB，结合条件可得到AOB=90，可判定AOB为直角三角形；（3）结合（2）的过程可得到AOB恒为直角三角形等结论解答：（1）解：y=ax2过点（2，1），1=4a，解得a=，抛物线解析式为y=x2；（2）证明：当m=时，联立直线和抛物线解析式可得，解得或，A（2，1），B（8，16），分别过A、B作ACx轴，BDx轴，垂足分别为C、D，如图1，AC=1，OC=2，OD=8，BD=16，=，且ACO=ODB，ACOODB，AOC=OBD，又OBD+BOD=90，AOC+BOD=90，即AOB=90，AOB为直角三角形；解：AOB为直角三角形证明如下：当m时，联立直线和抛物线解析

29、式可得，解得或，A（2m2，（m）2），B（2m+2，（m+）2），分别过A、B作ACx轴，BDx轴，如图2，AC=（m）2，OC=（2m2），BD=（m+）2，OD=2m+2，=，且ACO=ODB，ACOOBD，AOC=OBD，又OBD+BOD=90，AOC+BOD=90，即AOB=90，AOB为直角三角形；（3）解：由（2）可知，一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的交点为A、B，则AOB恒为直角三角形（答案不唯一）点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角的判定和性质、直角三角形的判定等知识点在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中注意表示出A、B两点

30、的坐标，构造三角形相似是解题的关键，在（3）中答案不唯一，可结合（2）的过程得出本题知识点较多，综合性很强，难度较大26（12分）（2015天水）在平面直角坐标系中，已知y=x2+bx+c（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是

31、否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；（2）如答题图2，设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离时，到达P，作PMy轴，PMx轴，交于M点，根据直线AC的斜率求得PPM是等腰直角三角形，进而求得抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，从而求得平移后的解析式，进而求得与x轴的交点，与直线AC的交点，即可证得结论；（3）如答图3所示，作点B关于直线AC的对称点B，由分析可知，当B、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段BF的长度解答：解：（1）等腰直角三

32、角形ABC的顶点A的坐标为（0，1），C的坐标为（4，3）点B的坐标为（4，1）抛物线过A（0，1），B（4，1）两点，解得：b=2，c=1，抛物线的函数表达式为：y=x2+2x1（2）如答题图2，设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离时，到达P，作PMy轴，PMx轴，交于M点，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），直线AC的解析式为y=x1，直线的斜率为1，PPM是等腰直角三角形，PP=，PM=PM=1，抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，y=x2+2x1=（x2）2+1，平移后的抛物线的解析式为y=（x3）2+2，令y=0，则0=（x3）2+2，解得x1=1，x=52，平

33、移后的抛物线与x轴的交点为（1，0），（5，0），解，得或平移后的抛物线与AC的交点为（1，0），平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点（1，0）（3）如答图3，取点B关于AC的对称点B，易得点B的坐标为（0，3），BQ=BQ，取AB中点F，连接QF，FN，QB，易得FNPQ，且FN=PQ，四边形PQFN为平行四边形NP=FQNP+BQ=FQ+BQFB=2当B、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为2点评：本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换（平移，对称）、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称最短路线问题等知识点，考查了存在型问题和分类讨论

34、的数学思想，试题难度较大28（10分）（2015酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x1）（x5），代入A（0，4）即可求得

35、函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；（2）点A关于对称轴的对称点A的坐标为（6，4），连接BA交对称轴于点P，连接AP，此时PAB的周长最小，可求出直线BA的解析式，即可得出点P的坐标（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使NAC面积最大设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2t+4）（0t5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案解答：解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x1）（x5），把点A（0，4）代入上式得：a=，y=（x1）（x5）=x2x+4=（x3）2，抛物线的对称轴是：x=3；（2）P点坐标为（3，）理由如

36、下：点A（0，4），抛物线的对称轴是x=3，点A关于对称轴的对称点A的坐标为（6，4）如图1，连接BA交对称轴于点P，连接AP，此时PAB的周长最小设直线BA的解析式为y=kx+b，把A（6，4），B（1，0）代入得，解得，y=x，点P的横坐标为3，y=3=，P（3，）（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使NAC面积最大设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2t+4）（0t5），如图2，过点N作NGy轴交AC于G；作ADNG于D，由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=x+4，把x=t代入得：y=t+4，则G（t，t+4），此时：NG=t+4（t2t+4）=t2+4t

37、，AD+CF=CO=5，SACN=SANG+SCGN=AMNG+NGCF=NGOC=（t2+4t）5=2t2+10t=2（t）2+，当t=时，CAN面积的最大值为，由t=，得：y=t2t+4=3，N（，3）点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵活应用24（10分）（2015佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得POA，求POA的面积；（4）在OA上

38、方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），MOA的面积等于POA的面积请直接写出点M的坐标考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；（3）作PQx轴于点Q，ABx轴于点B根据SPOA=SPOQ+S梯形PQBASBOA，代入数值计算即可求解；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得MOA的面积等于POA的面积设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3再与抛物

39、线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标解答：解：（1）由题意得，y=x2+4x=（x2）2+4，故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；（2）联立两解析式可得：，解得：，或故可得点A的坐标为（，）；（3）如图，作PQx轴于点Q，ABx轴于点BSPOA=SPOQ+S梯形PQBASBOA=24+（+4）（2）=4+=；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则MOA的面积等于POA的面积设直线PM的解析式为y=x+b，P的坐标为（2，4），4=2+b，解得b=3，直线PM的解析式为y=x+3由，解得，点M的坐标为（，）点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到

40、两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，三角形的面积，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键25（14分）（2015广州）已知O为坐标原点，抛物线y1=ax2+bx+c（a0）与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，x1x20，|x1|+|x2|=4，点A，C在直线y2=3x+t上（1）求点C的坐标；（2）当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；（3）将抛物线y1向左平移n（n0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n

41、25n的最小值考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：（1）利用y轴上点的坐标性质表示出C点坐标，再利用O，C两点间的距离为3求出即可；（2）分别利用若C（0，3），即c=3，以及若C（0，3），即c=3，得出A，B点坐标，进而求出函数解析式，进而得出答案；（3）利用若c=3，则y1=x22x+3=（x+1）2+4，y2=3x+3，得出y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=（x+1+n）2+4，进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围，若c=3，则y1=x22x3=（x1）24，y2=3x3，y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=（x1+n）24，进而求出平移后的直线与P有公

42、共点时得出n的取值范围，进而利用配方法求出函数最值解答：解：（1）令x=0，则y=c，故C（0，c），OC的距离为3，|c|=3，即c=3，C（0，3）或（0，3）；（2）x1x20，x1，x2异号，若C（0，3），即c=3，把C（0，3）代入y2=3x+t，则0+t=3，即t=3，y2=3x+3，把A（x1，0）代入y2=3x+3，则3x1+3=0，即x1=1，A（1，0），x1，x2异号，x1=10，x20，|x1|+|x2|=4，1x2=4，解得：x2=3，则B（3，0），代入y1=ax2+bx+3得，解得：，y1=x22x+3=（x+1）2+4，则当x1时，y随x增大而增大若C（0，3），即c=3，把C（0，3）代入y2=3x+t，则0+t=3，即t=3，y2=3x3，把A（x1，0），代入y2=3x3，则3x13=0，即x1=1，A（1，0），x1，x2异号，x1=10，x20|x1|+|x2|=4，1