2018年高考数学总复习-解三角形(共11页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上第四节解三角形考纲解读掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.命题趋势探究1.本节为高考的必考和重点考查内容，在选择题、填空题和解答题中都有出现，并越来越成为三角函数部分的核心考点.2.题型有三：一是解三角形出现边角互化求角、求边；二是三角形形状判定；三是最值问题.题型和分值较稳定，且有逐渐上升趋势，属中等难度.知识点精讲在中，角所对边依次为1.角的关系2.正弦定理为的外接圆的直径）.正弦定理的应用：已知两角及一边求解三角形.已知两边及其中一边的对角，求另一对角：若ab,已

2、知角求角. 若ab,已知角求角，一解（锐角）.3.余弦定理（已知两边a,b及夹角求第三边c）（已知三边求角）.余弦定理的应用：已知两边及夹角求解第三边；已知三边求角；已知两边及一边对角不熟第三边.4.三角形面积公式题型归纳及思路提示题型67正弦定理的应用思路提示（1）已知两角及一边求解三角形；（2）已知两边一对角；.（3）两边一对角，求第三边.一、利用正弦定理解三角形例4.39已知中，求及边长分析已知两角及一边用正弦定理.解析因为为的内角，所以有因为且所以.由此知据正弦定理得所以因此且得故因此由正弦定理得得评注本题已知两角及一边，用正弦定理：在中，变式1在中，角所对边依次为则角的大小为.例4.

3、40在中，角所对边依次为记若函数是常数）只有一个零点，则实数的取值范围是（）.或或分析三角形问题首先根据题意画出三角形，的最小值为边的垂线段，再根据零点的意义及函数求解.解析由且，得如图434所示，由知边和的最小值为唯一的符合即若则此时存在函数有唯一零点，若时，则此时以点为圆心，b边为半径的圆与边及延长线有两个交点，如图434所示，则存在两个值使得有两个零点.若时，则则以点为圆心，b边为半径的圆与边及延长线（除点外）只有一个交点，使得，故函数有唯一零点.综上，实数k的取值范围为或故选.评注三角形问题一般先根据题意作出图 形，抓住已知量，充分想到三角形的边角关系及正弦定理，并尽可能转化和构造 直

4、角三角形.变式1 （1）在中，已知角所对的边分别为且 如果三角形有解，则角A的取值范围是 ;(2) 在中，已知角所对的边分别为且如果三角形有解，则角B的取值范围是 ;（3）在中，已知角所对的边分别为且如果三角形有解，则角C的取值范围是 .二、利用正弦定理进行边角转化例4.41 在中，若A=2B，则的取值范围为（ ）. 分析 题中有边与角的关系及角的范围，可考虑用正弦定理转化为角的关系，再由角的范围来定边的范围.解析 由正弦定理知且即得，因此所以 故选A.评注 在中，利用正弦定理，进行边与角的转化，在条件中有边也有角时，一般考虑统一成边或角的形式，再由两角和与差的公式来求解.变式1 （1）若在锐

5、角中，若A=2B，则的取值范围为 ;（2）若在直角中，若A=2B，则的取值集合为 ;（3）若在钝角中，若A=2B，则的取值集合为 .变式2 在中，则AB+2BC的最大值为 .变式3（2012课标全国理17）已知分别为三个内角的对边，（1）求A；（2）若，的面积为，求.变式4 （2012江西理17）在中，角的对边分别为已知，（1）求证：（2）若，求的面积.题型68 余弦定理的应用思路提示(1)已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边.(2)已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，若余弦值一、利用余弦定理解三角形例4.42 在 中， ，则a= . 分析 已知两边一对角，求第三边用

6、余弦定理，求另一对角用正弦定理.解析由余弦定理得，得 ，即 ，且 ，故 由正弦定理得，即 ，得 ，又 ，则 变式1在 中， ， (1)求的值；（2）求 的值. 变式2（2012北京理11）在 中，若，则变式3（2012福建理13）已知的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为 .例4.43 （2012陕西理9）在中，角所对边的长分别为若，则的最小值为（ ）. 解析 因为当且仅当时取“=”，所以的最小值为故选C.变式1 在中，角所对边分别为若，求的取值范围.变式2在中，角所对边分别为若，求的最大值.二、利用余弦定理进行边角转化例4.44在中，角所对边分别为若则角B的值为（ ）. 或 或解析

7、 （边化角）已知等式可变化为则得所以或.故选D.变式1在中，角所对边分别为且（1）求A的值；（2）求的最大值.变式2 在锐角三角形中，角所对边分别为若，则变式3在中，角所对边分别为且，求题型69 判断三角形的形状思路提示（1）求最大角的余弦，判断是锐角、直角还是钝角三角形.（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形.例4.45 在中，若，则此三角形必为（ ）.A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形分析 角化边或.解析 解法一：角化边. ，则三角形为等腰三角形，故选A.解法二：因为，所以，则三角形为等腰三角形，故选A.变式1

8、设的内角为所对边分别为若 则的形状为（ ）.A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定变式2（2012上海理16）在中，若，则的形状为（ ）.A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定变式3已知中，则的形状为（ ）.A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.正三角形 D. 等腰直角三角形变式4（1）已知函数求的最小正周期和值域；（2）在中，角所对边分别为若且，试判断的形状.题型70 正、余弦定理与的综合思路提示 先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化求解.例4.46在中，角所对边分别为且（1）求证： （2）求边

9、长的值；（3）若，求的面积.分析（3）中为对角线AD长，由平行四边形对角线性质可求出AC=BC，设AB中点为M，解析 （1）利用数量积定义，（2）如图4-35所示，取等腰三角形AB边上的中线（即高线CM，则.，故或是在方向上的投影，由向量数量积的几何意义可知故(3)如图4-35所示，中， 在中，在中，由+得即，在等边中，或评注 +得平行四边形公式：平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和，即在中，.变式1（2012湖南理7）在中，则BC=（） 变式2在中，角所对边分别为(1)求C； （2）若，求变式3在中，角所对边分别为且（1）求的面积； （2），求的值.变式4在中，角所对边分别为且（1）

10、求的值；（2）若且，求和的值.题型71 解三角形的实际应用思路提示根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解.例4.47 如图4-36所示，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min，在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B处匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为了130m/min，山路AC长为1260m，经测量，（1）求索道AB的长； （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆

11、车上与甲的距离 最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？分析 （1）的值可求得的值，然后在中利用正弦定理可得AB的长度；（2）利用余弦定理将乙与甲之间的距离表示为出发时间的函数，然后求得函数的最小值，即得最短距离；（3）利用正弦定理求出BC的长，再根据题意列不等式求解.解析 （1）在中，因为所以从而由正弦定理，得所以索道AB的长为1040m.(2)假设乙出发tmin后，甲、乙两游客距离为d，此时甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得由于，即，故当时，甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理，得乙从B出发时，甲已走了还

12、需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为m/min，由题意得解得所以为使两游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在（单位：m/min）范围内.评注 解三角形应用题问题，关键是能根据实际问题的背景建立三角形的模型，再正弦定理和余弦定理求解三角形，最后要特别注意结果要符合题意，并带上单位.变式1 为了测量正在海面匀速行驶的某航船的位置，如图4-37所示，在海岸上选取距离1km的两个观测点C，D，在某天10：00观察到该航船在A处，此时测得2分钟后，该船行驶到B处，此时测得则船速为 .(km/min). 最有效训练题20（限时45分钟）1.在中，角所对边分别为若角依次成等差数

13、列，且则 2.的三个内角所对边分别为则 3.已知的三边长分别为且面积则 4 .若的内角所对边分别为满足且，则的值为（ ）. 5. .在中，则A的取值范围是（ ）. 6.在锐角中，已知，则的取值范围为（ ）. 7.在中，若的面积为，则8.在中，角所对边分别为如果那么角C等于 .9.已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则 的面积为 .10.在中，角所对边分别为，若，则的最大值为 .11.在中，已知（1）求的值；（2）若，求BC的长.12.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支架如图4-38所示，要求的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC的最短长度，并求出此时BC的长度.专心-专注-专业