一次函数与几何综合拔高(共24页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上一次函数与几何综合（讲义）一、知识点睛1一次函数y=kx+b（k0），k表示倾斜程度，是坡面的铅直高度与水平宽度的比(也叫坡度或坡比)，如图所示AM即为铅直高度，BM即为水平宽度，则这就是几何中常用的“构造小山坡”快速求一次函数表达式的方法。A、 首先通过构造“小山坡”，快速求出；B、 然后根据直线与横轴正半轴所成的角是锐角还是钝角，判断其符号，若是锐角，则k0；若是钝角，则k0；C、 b是直线与纵轴交点的纵坐标，也可从图像中直接得出；2设直线l1：y1=k1x+b1，直线l2：y2=k2x+b2，其中k1，k20若k1=k2，且b1b2，则直线l1 l2；若k1k2

2、= 1，则直线l1 l2；3“一次函数与几何综合”解题思路：_坐标代入可求表达式_；_由表达式可求坐标或者表达坐标_；_坐标转线段长；_线段长转坐标_；_ k、b的几何意义以及直线的位置关系（平行或垂直）；二、精讲精练7. 如图，点B，C分别在直线y=2x和y=kx上，点A，D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k值为_ 总结提升：此题可通过“设份数法”解题。由于直线y=2x的斜率为2，所以其铅直高度比水平宽度就是2；故而我们设OA=1，则AB=AD=CD=2，OD=3，所以y=kx的斜率就是三分之二；与横轴正半轴夹角是锐角，所以k0；如图，直线l1交x轴，y轴于A，B两点，OA=m，

3、OB=n，将AOB绕点O逆时针旋转90得到CODCD所在直线l2与直线l1交于点E，则l1 l2；若直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1k2=_总结提升：此题可先通过构造小山坡法，算出直线l1的斜率，由于其与横轴正半轴的夹角是钝角，所以k0，斜率前加负号；再根据旋转是一种全等变换，对应边和对应角都相等，计算出直线l2的斜率，夹角为锐角，所以k0；k1k2=1；如图，已知直线l：y=与x轴交于点A，与y轴交于点B，将AOB沿直线l折叠，点O落在点C处，则直线CA的表达式为_ 总结提升：1、 首先应学会“数形结合”的思想，看到一个直线的表达式，从中读出相应的信息。比如直线l：y=，首先我们

4、可以从中读出b的信息，它是直线与纵轴交点的纵坐标，所以B点的坐标就是（0，）；其次我们能从中读出斜率的信息，也就是铅直高度与水平宽度的比，由此判断三角形AOB是一个含有30角的直角三角形；2、 根据折叠的轴对称性质，对应边相等，同时有一个角是60，则连接OC，就会出现一个等边三角形，过C点做横轴的垂线，就又会出现一个含有30角的直角三角形，据此可以求出直线AC的斜率，夹角是钝角，所以k为负，前面加负号，再把A点坐标代入表达式求出b即可。16. 如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，BC在x轴上，直线y=kx-1平分梯形ABCD的面积，已知A（4，2），则k= 总结提升：1、 对于一个中心对称的图

5、形来说，若一条直线平分它的面积，那么这条直线必然经过这个中心对称图形的对称中心；2、 由于四边形DCBA是一个等腰梯形，是一个轴对称图形，而不是中心对称图形，但是假使我们过A点做底边的垂线，剖掉两边的两个全等的直角三角形，剩下部分就是一个矩形，而矩形是个中心对称图形，同时直线亦平分它的面积，所以这条直线必然经过矩形的对称中心，连接OA，按照中点坐标公式，可求出对称中心的坐标，再代入直线的表达式即可求。23. 已知：直线y=mx-3，y随x增大而减小，且与直线x=1，x=3，x轴围成的面积为8，则m的值为_总结提升：1、 由于这四条直线围成了一个梯形，高为2，只需求出上底和下底，按照梯形面积公式

6、列方程解题即可；2、 设直线x=1，x=3分别与直线y=mx-3相交与A、B，则A点的横坐标是1，纵坐标是m-3；B点的横坐标是3，纵坐标是3m-3，将坐标转为线段长，则上底长是大坐标小坐标=0（m-3）=3m；下底长是大坐标小坐标=0（3m-3）=33m；据此列方程解题即可。37. 如图，把RtABC放在平面直角坐标系内，其中CAB=90，BC=5，点A，B的坐标分别为（1，0），（4，0），将ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x-6上时，线段BC扫过的面积为( )A4B8C16D总结提升：1、 根据题目中的已知条件，可先求出点C的坐标（1,4）；2、 由于将三角形ABC向右平移，而

7、根据平移的性质，平移不改变图形的形状和大小，是一种全等变换，所以点C的纵坐标是始终不变的，当它与直线y=2x-6相交时，将纵坐标代入直线的表达式，可求出交点的横纵坐标是5，由此三角形ABC沿着横轴正半轴的方向向右平移了4个距离；3、 根据平移的性质，对应线段平行且相等，则BC扫过的图形是一个平行四边形，底是平移的距离，高是C点的纵坐标，代入面积公式可解。49. 如图，已知直线l1：y=与直线l2：y=-2x+16相交于点C，直线l1，l2分别交x轴于A，B两点，矩形DEFG的顶点D，E分别在l1，l2上，顶点F，G都在x轴上，且点G与点B重合，那么S矩形DEFG：SABC=_ 总结提升：1、

8、先根据两条直线的表达式，分别求出A、B两点的坐标，同时将B点的横坐标代入直线l1的表达式，可求出D点的坐标，同时由于四边形DEFG是矩形，D、E两点的纵坐标相同，所以将D点的纵坐标代入直线l2的表达式，可以求出E点的坐标；2、 然后再两条直线联立可以求出其交点C的坐标；则矩形和三角形的面积均可求，代入求解即可。55. 直线AB：y=-x+b分别与x轴，y轴交于A（6，0），B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB:OC=3:1(1)求直线BC的解析式(2)直线EF：y=kx-k（k0）交AB于点E，交BC于点F，交x轴于点D，是否存在这样的直线EF，使得SEBD=SFBD？若存在，求出k的

9、值；若不存在，说明理由(3)如图，P为A点右侧x轴上一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰RtBPQ，连接QA并延长交y轴于点K，求K点坐标 总结提升：1、先将A点的坐标代入直线AB的表达式，求出b的值；由于直线BC的斜率是3，夹角是锐角，所以为正，同时经过B点，因此其表达式为y=3x+6；2、由于直线EF：y=kx-k（k0）交x轴于点D，则D点的纵坐标为0，代入此直线的表达式，可求出其横坐标为1，则D点是一个定点；3、连接BD，则可以看出两个三角形有共同的一边，是“背靠背”的三角形，则其高相等，因此欲使其面积相等，则只需两个底边相等即可，由此D点就是E、F两点的中点，由于这两点

10、分别在两条已知表达式的直线上，所以我们可设E点的坐标为（m，-m+6）， F点的坐标为（n，3n+6）；然后按照中点坐标公式列一个二元一次方程组求解即可。3、 由于平面直角坐标系中出现了直角，我们一般考虑使用“双垂直模型”解题，为此我们过点Q做横轴的垂线QH，构造全等三角形，然后有几何法和代数法两种思路解题；4、 几何法：我们设P点的坐标为（a，0），则H点的坐标为（a6,0），Q点的坐标就是（a6，a），则线段AH的长度就是a，据此计算直线QA的斜率是1，则其同纵轴的夹角=直线y=-x+6同纵轴的夹角=45，则三角形ABK是一个等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，K、B两点关于原点对称

11、，据此可以求出其坐标；5、 代数法：求出直线QA的斜率后，我们将点A的坐标代入其表达式，求出其确切的表达式，然后求这条直线同纵轴交点的坐标即可。【参考答案】【知识点睛】1铅直高度；水平宽度2；-1；3坐标代入可求表达式；由表达式可以求坐标或者表达坐标；坐标转线段长；线段长转坐标；k、b的几何意义以及直线的位置关系（平行和垂直）【精讲精练】12；-134156C78:98（1）（2）存在，k=（3）K（0，-6）一次函数与几何综合（随堂测试）3. 如图，一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，1）和点C（1，3），交x轴于点A（1）求一次函数解析式和A点坐标；（2）过点A的另一直线l与直线AB垂

12、直，且交y轴负半轴于点P，求点P的坐标 12. 如图，已知直线l1：y=-x+2与直线l2：y=2x+8相交于点F，l1，l2分别交x轴于点E，G，矩形ABCD顶点C，D分别在直线l1，l2上，顶点A，B都在x轴上，且点B与点G重合（1）求点F的坐标；（2）求矩形ABCD的面积【参考答案】1（1）；A（，0）（2）P（0，）2（1）F（，4）（2）18一次函数与几何综合（作业）8. 如图，矩形ABCD中，AB=9，AD=3，将此矩形置于平面直角坐标系中，使AB在x轴正半轴上，经过点C的直线y=x-2与x轴交于点E，则四边形AECD的面积是_（根据直线的斜率，可知其铅直高度与水平宽度的比，据此可

13、求出三角形BCE的面积，用矩形的面积减去三角形的面积即是四边形的面积）15. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+4分别交x轴，y轴于点A，B，将AOB绕点O顺时针旋转90后得到AOB（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB与直线l相交于点C，求ABC的面积（根据旋转的性质，旋转是一种全等变换，对应边和对应角都相等，由此可以求出直线AB的解析式，同时联立两个解析式，可以求出点C的坐标，进一步求出三角形的面积。）21. 如图，直线OC，BC的函数表达式分别是y1=x和y2=-2x+6，直线BC与x轴交于点B，直线BA与直线OC相交于点A当直线BA平分BOC的面积时，其表达式为_总结提升：

14、根据直线的表达式可以求出点B的坐标，联立两个表达式可以求出点C的坐标；由于两个三角形是背靠背的三角形，所以它们的高相等，欲使其面积相等，则其底边相等就可以了，由此A是O、C两点的中点，利用中点坐标公式，可求出A点的坐标，再用待定系数法求出直线表达式即可。34. 如图，RtAOB的直角边OA，OB分别与y轴，x轴重合，点A，B的坐标分别是（0，4），（3，0），将AOB向右平移，当点A落在直线y=x-1上时，线段AB扫过的面积是 根据平移不改变图形的形状和大小，是一种全等变换，则点A在平移的过程中，其纵坐标始终不变，然后求出其与直线相交时的点的横坐标，减去A点的横坐标，即是平移的距离；同时平移的

15、过程中，对应线段平行且相等，因此AB扫过的面积是一个平行四边形，底是平移的距离，高是A点的纵坐标，代入平行四边形的面积公式即可。47. 如图，平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，-4），P为y轴上B点下方一点，PB=m（m0），以P为直角顶点，AP为腰在第四象限内作等腰RtAPM（1）求直线AB的解析式；（2）用含m的代数式表示点M的坐标；（3）若直线MB与x轴交于点Q，求Q点的坐标（此题同讲义最后一题完全一个模型，可参照求解）【参考答案】1182（1）（2）34205（1）（2）（m+4，-m-8）（3）Q（-4，0）一次函数与几何综合(每日一题)1.如图，在平面直角

16、坐标系中，点A的坐标为（2，0），以OA为边在第四象限内作等边AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC2），连接BC，以BC为边在第四象限内作等边CBD（1）试问OBC与ABD全等吗？并证明你的结论； （2）直线AD与y轴交于点E，在C点移动的过程中，E点的位置是否发生变化？如果不变求出它的坐标；如果变化，请说明理由总结提升：注意如果一个图形中出现了多个等腰三角形，那么往往存在全等三角形，而且往往通过SAS来证明全等；由于两个三角形全等，则AOB=BAD=60，同时由于三角形OBA是等边三角形，所以EAO=60，所以三角形OAE是一个含有30角的直角三角形，OE的长度就是定值。2.如图1，在平

17、面直角坐标系中，直线y（m0）与x轴，y轴分别交于点A，B，过点A作x轴的垂线交直线yx于点D，C点坐标（m，0），连接CD（1）求证：CDAB；（2）连接BC交OD于点H（如图2），求证：DHBC 总结提升：1、由于A点是直线y（m0）与横轴的交点，据此可以求出A点的坐标是（2m，0），则D点的坐标是（2m,2m），据此求出直线CD的斜率2，两个直线的斜率乘积=1，所以它们垂直；2、注意题目中的隐含条件，直线yx意味着它们同坐标轴的夹角是45，则三角形OAD是一个等腰直角三角形；同时三角形OBC也是一个等腰直角三角形，其底边上的高线三线合一，将这个等腰直角三角形又分成两个小等腰直角三角形，则

18、OH的长度可求，OD的长度也可求，两项相减求出DH的长度，再求出BC的长度，此题得解。 3.如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB落在x轴正半轴上，直线经过点C，与x轴交于点E（1）求四边形AECD的面积；（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；（3）若直线l1经过点F（-，0）且与直线y3x平行，将（2）中直线l沿着y轴向上平移1个单位，交x轴于点M，交直线l1于点N，求NMF的面积总结提升：1、首先从直线的表达式中读出相关的信息，也就是直线的斜率，意味着其铅直高度与水平宽度的比，则据此可以三角形BEC的面积，然后用大正方形的面积

19、减去此三角形的面积即是四边形的面积；2、牢记对于一个中心对称图形来说，若一条直线将其面积平分，则这条直线一定经过这个中心对称图形的对称中心，为此连接AC；根据直线的表达式，E和C点分别在这条直线上，可先分别求出这两点的坐标，同时再倒出点A的坐标，然后根据中点坐标公式，可求出对称中心的坐标，再用代入系数法求出直线l的表达式即可；3、首先根据两直线平行，则其斜率相等，然后把已知点的坐标代入其表达式，求出直线l1的表达式；4、根据“上加下减、左加右减”的平移规律，由于平移不改变直线的斜率，因此只需其b值加1，即可得出向上平移一个单位后的新直线的表达式；5、分别根据两条新直线的表达式，求出N、M、F三

20、点的坐标，根据三角形面积公式可求。4、已知，如图，在平面直角坐标系内，点A的坐标为（0，24），经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B，点B坐标为（18，6）（1）求直线l1，l2的表达式；（2）点C为线段OB上一动点（点C不与点O，B重合），作CDy轴交直线l2于点D，过点C，D分别向y轴作垂线，垂足分别为F，E，得到矩形CDEF设点C的纵坐标为a，求点D的坐标（用含a的代数式表示）；若矩形CDEF的面积为108，求出点C的坐标总结提升：1、两条直线一条是正比例函数，一条是一次函数，可求；2、如果设设点C的纵坐标为a，则我们可以利用直线OB的表达式，求出其横坐标，由于由于四边形是矩

21、形，所以D点的横坐标同于C点，将此横坐标代入直线AB的表达式，就可以求出D点的纵坐标；3、将求出的坐标转化为线段长，代入矩形的面积公式，则面积可求。5.如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E，F分别在AD，AB上，且F点的坐标是（2，4）（1）求G点坐标；（2）求直线EF的解析式；（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由总结提升：1、首先根据已知条件，分别求出C、A两点的坐标，然后

22、将坐标转为线段长，跟着折叠的轴对称性质，对应边相等，对应角相等，则FB=ABAF=1，FG=AF=2，根据勾股定理可求BG的长，再用BCBG=GC，即可得G点的坐标；2、注意到经由折叠得到的小直角三角形的直角边和斜边比是1:2，根据直角三角形中若一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角是30，则可得出BFG=60，这样AFE=EFG=60，这样就又出现了一个含有30角的直角三角形AEF，根据其三边关系比，可以求出AE的长度，进而求出直线EF的斜率和直线上一点E的坐标，则其表达式可求。3、由于平行四边形的四个顶点用顿号隔开，因此无顺序要求，需分类讨论；根据四个顶点的特性，可以判断其中有两个定点F

23、、G，两个动点M、N，根据“两个定点、两个动点”求平行四边形的存在性的解题模型，为保证不重不漏，我们选取定线段FG作为分类的标准进行讨论；4、首先我们让FG作为平行四边形的一边，根据平行四边形对边平行且相等的特性，我们平移FG，使其分别与直线EF和横轴相交，则出现两种情况，分别构成两个等边三角形，求出此等边三角形的底边长，则M点在底边的垂直平分线上，据此可以求出其坐标；5、接着我们让FG作为平行四边形的对角线，根据平行四边形的对角线互相平分的特性，我们让线段EF绕着其中点P旋转，与直线和横轴分别相交，就是要求的点的位置：由于P即是EF的中点，我们可以根据中点坐标公式，求出P点的坐标，然后再根据

24、P是NN的中点，分别设出这两点的坐标，再利用中点坐标公式，建立两个二元一次方程即可解题即可。1.解（1）全等理由如下：AOB和CBD是等边三角形，OBAB，OBACBD60，BCBDOBAABCCBDABC即OBCABDOBCABD（2）不变OBCABD，AOB是等边三角形BADBOC60OAB60OAE180-OAB-BAD60RtOEA中，AE2OA4OE E（0，）2.解：（1）由题意知：A（2m，0），B（0，m）ADx轴，点D在直线yx上D （2m，2m）C （m，0）kCD2kABkCDkAB-1CDAB（2）B（0，m），C（m，0）OBm，OCmBCkBC-1，kOD1kBCk

25、OD-1BCODOHD （2m，2m）ODDHOD-OHDHBC3.解：（1）正方形ABCD的边长是4，AB在x轴上C点的纵坐标为4代入得：C（5，4）A（1，0），B（5，0），D（1，4）与x轴交于点EE（2，0）AE1，CD4，AD4S四边形AECD（14）410（2）如果直线l平分正方形的面积，则l一定过正方形的中心（即对角线的中点）如图，P是对角线AC的中点A（1，0），C（5，4）P（3，2）直线l经过点E（2，0），P（3，2）待定系数法可得直线解析式为：y2x4（3）直线l1经过点F（-，0）且与直线y3x平行，设直线l1的解析式为y1kxb，则：k3代入F（-，0）得：by1

26、3x 直线l沿着y轴向上平移1个单位，则所得的直线的解析式是：y2x-3，M（，0）联立即： 可得： 即：N（-，-18）SNMF-（-）|-18|274.解：（1）设直线l1的表达式为y=k1x点（18，6）在直线l1上6= 18k1k1=y=x设直线l2的表达式为y=k2x +b点A（0，24），B（18，6）在l2上待定系数法可得直线l2的解析式为：y=-x+24（2）点C在直线l1上，且点C的纵坐标为a x=3a，点C的坐标为（3a，a）CDy轴点D的横坐标为3a点D在直线l2上，y=-3a+24D（3a，-3a+24）C（3a，a），D（3a，-3a+24）CF=3a，CD=-3a+

27、24-a=-4a+24矩形CDEF的面积为108S矩形CDEF=CFCD=3a（-4a+24）=108，解得a=3当a=3时，3a=9C点坐标为（9，3）5.解：（1）F(2，4)，B（3，4），四边形ABCD是矩形AF=2，OA=BC=4，AB=3在RtBFG中，由轴对称性质FG=AF=2BF=AB-AF=1BG=G（3，4-）（2）设y=kx+b在RtBFG中，BF= FGBGF=30AFE=EFG=60在RtAEF中，AF=2AE=E（0，4-）b=4-|k|=y=x+4-(3) 存在M（，）提示：如图，过G作EF的平行线交x轴于点N，过N作FG的平行线交EF于点M，连接MN，GN则四边形MNGF为平行四边形利用特殊角及平行四边形性质求点M坐标即可M（，-）提示：与的方法类似M（，）提示： 如图，过G作EF的平行线交x轴于点N，连接NF，过G作NF的平行线交直线EF于点M，连接GM则四边形MFNG是平行四边形专心-专注-专业