新北师大1.3.1《正方形的性质》习题(共26页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上1.3.1正方形的性质习题解答一、选择题（共13小题）1、如图，ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（）A、12B、13C、26D、302、如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论AE=BF；AEBF；AO=OE；SAOB=S四边形DEOF中，错误的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个3、如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FHAE于H，过H作GHBD于G，下列有四个结

2、论：AF=FH，HAE=45，BD=2FG，CEH的周长为定值，其中正确的结论有（）A、B、C、D、4、一个围棋盘由1818个边长为1的正方形小方格组成，一块边长为1.5的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n个，则n的最大值是（）A、4B、6C、10D、125、如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则AMD的度数是（）A、75B、60C、54D、67.56、在平面直角坐标系中，称横、纵坐标均为整数的点为整点，如下图所示的正方形内（包括边界）整点的个数是（）A、13B、21C、17D、257、在同一平面上，正方形ABCD的四

3、个顶点到直线l的距离只取四个值，其中一个值是另一个值的3倍，这样的直线l可以有（）A、4条B、8条C、12条D、16条8、如图，正方形ABCD的边长为1，E为AD中点，P为CE中点，F为BP中点，则F到BD的距离等于（）A、B、C、D、9、搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD，彩线BD、AN、CM将正方形ABCD分成六部分，其中M是AB的中点，N是BC的中点，AN与CM交于O点已知正方形ABCD的面积为576cm2，则被分隔开的CON的面积为（）A、96cm2B、48cm2C、24cm2D、以上都不对10、如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于O点

4、，在BD上截取BE=BC，连接CE，点P是CE上任意一点，PMBD于M，PNBC于N，若正方形ABCD的边长为1，则PM+PN=（）A、1B、C、D、1+11、顶点为A（6，6），B（4，3），C（1，7），D（9，4）的正方形在第一象限的面积是（）A、25B、36C、49D、3012、ABCD是边长为1的正方形，BPC是等边三角形，则BPD的面积为（）A、B、C、D、13、如图，正方形ABCD的面积为16，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC+PE的和最小，则这个最小值为（）A、4B、2C、2D、2二、填空题（共8小题）14、如图，所示，将五个边长都为1

5、cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是_cm215、如图，若正方体的边长为a，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积为_16、如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系、已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，若在y轴上存在点P，且满足FE=FP，则P点坐标为_17、如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为

6、_，线段O1O2的长为_18、已知正方形纸片ABCD的面积为2007cm2现将该纸片沿一条线段折叠（如图），使点D落在边BC上的点D处，点A落在点A处，AD与AB交于点E则BDE的周长等于_cm19、已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为_和_（只写一组）20、如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A与点B在两个格点上在格点上存在点C，使ABC的面积为2，则这样的点C有_个21、已知正方形内接于圆心角为90，半径为10的扇形（即正方形的各顶点都在扇形上），则这个正方形的边长为_三、解答填空题（共6小题）22、如图，在正方形ABC

7、D中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分BAC，交BD于点F（1）求证：；（2）点A1、点C1分别同时从A、C两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A1F1平分BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1EA1C1，垂足为E，请猜想EF1，AB与三者之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当A1E1=6，C1E1=4时，则BD的长为_23、（1）计算：=_；（2）已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EAAF求证：DE=BF24、如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AGEF，垂足为G，且AG=AB，则EAF=

8、_度25、如图，正方形ABCD中，AB=，点E、F分别在BC、CD上，且BAE=30，DAF=15度（1）求证：DF+BE=EF；（2）则EFC的度数为_度；（3）则AEF的面积为_26、已知正方形ABCD的边长为4cm，E，F分别为边DC，BC上的点，BF=1cm，CE=2cm，BE，DF相交于点G，则四边形CEGF的面积为_cm227、如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O（1）以图中已标有字母的点为端点连接两条线段（正方形的对角线除外），要求所连接的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；（2）若正方形的边长为2cm，重叠部分（四

9、边形AEOD）的面积为，则旋转的角度n=_度答案与评分标准一、选择题（共13小题）1、如图，ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（）A、12B、13C、26D、30考点：全等三角形的判定；等腰直角三角形；正方形的性质。分析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏解答：解：设AB=3，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成10对全等三角形；斜边长为的有6个，它们组成15对全等三角形；斜边

10、长为2的有2个，它们组成1对全等三角形；共计26对故选C点评：本题考查了全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形和正方形的性质，解题的关键是记熟全等三角形的判定方法并做到不重不漏2、如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论AE=BF；AEBF；AO=OE；SAOB=S四边形DEOF中，错误的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个考点：正方形的性质。分析：根据四边形ABCD是正方形及CE=DF，可证出ADEBAF，则得到：AE=BF，以及ADE和BAF的面积相等，得到；SAOB=S四边形DEOF；可以证出ABO+BAO=90，则AEBF

11、一定成立错误的结论是：AO=OE解答：解：四边形ABCD是正方形，CD=ADCE=DFDE=AFADEBAFAE=BF，SADE=SBAF，DEA=AFB，EAD=FBASAOB=S四边形DEOFABF+AFB=DAE+DEA=90AFB+EAF=90AEBF一定成立错误的结论是：AO=OE故选A点评：本题考查了全等三角形的判定和正方形的判定和性质3、如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FHAE于H，过H作GHBD于G，下列有四个结论：AF=FH，HAE=45，BD=2FG，CEH的周长为定值，其中正确的结论有（）A、B、C、D、考点：正方形的性质；全等

12、三角形的判定与性质。专题：动点型。分析：（1）作辅助线，延长HF交AD于点L，连接CF，通过证明ADFCDF，可得：AF=CF，故需证明FC=FH，可证：AF=FH；（2）由FHAE，AF=FH，可得：HAE=45；（3）作辅助线，连接AC交BD于点O，证BD=2FG，只需证OA=GF即可，根据AOFFGH，可证OA=GF，故可证BD=2FG；（4）作辅助线，延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CIHL，则IL=HC，可证AL=HE，再根据MECMIC，可证：CI=IM，故CEM的周长为边AM的长，为定值解答：解：（1）连接FC，延长HF交AD于点L，BD为正方形ABCD的对角线，ADB=C

13、DF=45AD=CD，DF=DF，ADFCDFFC=AF，ECF=DAFALH+LAF=90，LHC+DAF=90ECF=DAF，FHC=FCH，FH=FCFH=AF（2）FHAE，FH=AF，HAE=45（3）连接AC交BD于点O，可知：BD=2OA，AFO+GFH=GHF+GFH，AFO=GHFAF=HF，AOF=FGH=90，AOFFGHOA=GFBD=2OA，BD=2FG（4）延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CIHL，则：LI=HC，根据MECMIC，可得：CE=IM，同理，可得：AL=HE，HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8CEM的周长为8，为定值故（1）（2）（3）

14、（4）结论都正确故选D点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等4、一个围棋盘由1818个边长为1的正方形小方格组成，一块边长为1.5的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n个，则n的最大值是（）A、4B、6C、10D、12考点：正方形的性质。专题：作图题。分析：要n取最大值，就让边长为1.5的正方形卡片边与小方格的边成一定角度解答：解：卡片的边长为1.5，卡片的对角线长为23，且小方格的对角线长1.5故该卡片可以按照如图所示放置：图示为n取最大值的时候，n=12故选D点评：本题考查的是已知正方形边长正方形对角线长的计算，旋转正方形卡片

15、并且找到合适的位置使得n为最大值，是解题的关键5、如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则AMD的度数是（）A、75B、60C、54D、67.5考点：正方形的性质。专题：几何综合题；转化思想。分析：连接BD，根据BD，AC为正方形的两条对角线可知AC为BD的垂直平分线，所以AMD=AMB，要求AMD，求AMB即可解答：解：如图，连接BD，BCE=BCD+DCE=90+60=150，BC=EC，EBC=BEC=（180BCE）=15BCM=BCD=45，BMC=180（BCM+EBC）=120，AMB=180BMC=60AC是线段BD的垂直平分线，M在

16、AC上，AMD=AMB=60故选B点评：本题考查的正方形的对角垂直平分的性质，根据垂直平分线的性质可以求得AMD=AMB，确定AC和BD垂直平分是解题的关键6、在平面直角坐标系中，称横、纵坐标均为整数的点为整点，如下图所示的正方形内（包括边界）整点的个数是（）A、13B、21C、17D、25考点：正方形的性质；坐标与图形性质。专题：计算题。分析：根据正方形边长的计算，计算出边长上的整点，并且根据边长的坐标找出在正方形范围内的整点解答：解：正方形边上的整点为（0，3）、（1，2）、（2，1）、（3，0）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（4，1）、（5，2）、（1，4）、（2，5）、（3，6

17、）；在其内的整点有（1，3）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（5，3）故选D点评：本题考查的是正方形四条边上整点的计算，找到每条边上整点变化的规律是解本题的关键7、在同一平面上，正方形ABCD的四个顶点到直线l的距离只取四个值，其中一个值是另一个值的3倍，这样的直线l可以有（）A、4条B、8条C、12条D、16条考点：正方形的性质；点到直线的距离。分析：根据正方形的性质，一个值为另一个值的3倍，所以本题需要分类讨论，该直线切割正方形，确定直线的位置；该直线在正方形外，确定直线的位置解答：解：符

18、合题目要求的一共16条直线，下图虚线所示直线均符合题目要求点评：本题考查了分类讨论计算点到直线的距离，找到直线的位置是解题的关键8、如图，正方形ABCD的边长为1，E为AD中点，P为CE中点，F为BP中点，则F到BD的距离等于（）A、B、C、D、考点：正方形的性质；三角形的面积。专题：计算题；转化思想。分析：图中，F为BP的中点，所以SBDP=2SBDF，所以要求F到BD的距离，求出P到BD的距离即可解答：解：连接DP，SBDP=SBDCSDPCSBPC=11=，F为BP的中点，P到BD的距离为F到BD的距离的2倍SBDP=2SBDF，SBDF=，设F到BD的距离为h，根据三角形面积计算公式，

19、SBDF=BDh=，计算得：h=故选D点评：本题考查的是转化思想，先求三角形的面积，再根据三角形面积计算公式，计算三角形的高，即F到BD的距离9、搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD，彩线BD、AN、CM将正方形ABCD分成六部分，其中M是AB的中点，N是BC的中点，AN与CM交于O点已知正方形ABCD的面积为576cm2，则被分隔开的CON的面积为（）A、96cm2B、48cm2C、24cm2D、以上都不对考点：正方形的性质；三角形的面积。专题：计算题。分析：先证明BO为正方形ABCD的对角线BD的，再求证CNO，NBO，AMO，BMO的面积相等，即C

20、ON的面积为正方形面积的解答：解：找到CD的中点E，找到AD的中点F，连接CF，AE，则CMEA，ANFC，BOMBKA，=，同理可证：=，故DK=KO=OB，BOC和BOA的面积和为正方形ABCD的面积，CN=NB=AM=BM，OCN的面积为BOC和BOA的面积和，OCN的面积为=48cm2，故选B点评：本题考查了正方形内中位线的应用，考查了正方形四边均相等的性质，解本题的关键是求证BO=BD，OCN的面积为BOC和BOA的面积和10、如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，在BD上截取BE=BC，连接CE，点P是CE上任意一点，PMBD于M，PNBC于N，若正方形ABCD的边长为

21、1，则PM+PN=（）A、1B、C、D、1+考点：正方形的性质。专题：计算题；转化思想。分析：连接BP，PM、PN分别为BPE和BCP的高，且底边长均为1，因此根据面积计算方法可以求PM+PN解答：解：连接BP，作EHBC，则PM、PN分别为BPE和BCP的高，且底边长均为1，SBCE=1SCDE，DE=BDBE=，CDE中CD边上的高为（），SCDE=CD（）=；SBCE=1SCDE=；又SBCE=SBPE+SBPC=BC（PM+PN）PM+PN=故选C点评：本题考查的用求三角形面积的方法求三角形的高的转化思想，考查正方形对角线互相垂直且对角线即角平分线的性质，面积转换思想是解决本题的关键1

22、1、顶点为A（6，6），B（4，3），C（1，7），D（9，4）的正方形在第一象限的面积是（）A、25B、36C、49D、30考点：正方形的性质；坐标与图形性质。分析：根据正方形的顶点坐标，求出直线AD的方程，由方程式知AD与x轴的交点E的坐标，同理求得AB与y轴的交点F的坐标，连接OA，再去求两个三角形的面积，从而求得正方形在第一象限的面积解答：解：连接OA，过A、D两点的直线方程是=，即y=x+16，解得它与x轴的交点E的横坐标是x=7.8，同理求得过A、B两点的直线方程是y=x+4.2，解得它与y轴的交点E的纵坐标是y=4.2，SAOE=23.4，SAFO=12.6，SAOE+SAFO=

23、23.4+12.6=36，即顶点为A（6，6），B（4，3），C（1，7），D（9，4）的正方形在第一象限的面积是36点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质注意在正方形中的特殊三角形的应用，利用直角三角形求面积，在本题中，借助直线方程求的点E、F在坐标轴上的坐标，据此解得所求三角形的边长，代入面积公式求得结果12、ABCD是边长为1的正方形，BPC是等边三角形，则BPD的面积为（）A、B、C、D、考点：正方形的性质；三角形的面积；等边三角形的性质。专题：计算题；转化思想。分析：根据三角形面积计算公式，找到BPD的面积等于BCP和CDP面积和减去BCD的面积的等量关系，并进行求解解答：解：BP

24、D的面积等于BCP和CDP面积和减去BCD的面积因此本题求解BCP、CDP面积和BCD的面积即可，SBCP=，SCDP=，SBCD=11=，SBPD=+=故选B点评：本题考查了三角形面积的计算，考查了正方形对角线平分正方形为2个全等的等腰直角三角形解决本题的关键是找到BPD的面积等于BCP和CDP面积和减去BCD的面积的等量关系13、如图，正方形ABCD的面积为16，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC+PE的和最小，则这个最小值为（）A、4B、2C、2D、2考点：轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质；正方形的性质。专题：计算题。分析：根据正方形的性质，

25、推出C、A关于BD对称，推出CP=AP，推出EP+CP=AE，根据等边三角形性质推出AE=AB=EP+CP，根据正方形面积公式求出AB即可，解答：解：正方形ABCD，ACBD，OA=OC，C、A关于BD对称，即C关于BD的对称点是A，连接AE交BD于P，则此时EP+CP的值最小，C、A关于BD对称，CP=AP，EP+CP=AE，等边三角形ABE，EP+CP=AE=AB，正方形ABCD的面积为16，AB=4，EP+CP=4，故选A点评：本题考查了正方形的性质，轴对称最短问题，等边三角形的性质等知识点的应用，解此题的关键是确定P的位置和求出EP+CP的最小值是AE，题目比较典型，但有一定的难度，主

26、要培养学生分析问题和解决问题的能力二、填空题（共8小题）14、如图，所示，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是cm2考点：正方形的性质。专题：计算题。分析：求面积问题，因为点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点，所以两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的，由此便可求解解答：解：点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的，即11=，当有三个三角形时，其面积为=当有四个时，其面积为=所以当n个三角形时，其面积为故答案为点评：熟练掌握正方形的性质，会运

27、用正方形的性质进行一些简单的计算问题15、如图，若正方体的边长为a，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积为a2考点：正方形的性质；三角形的面积。分析：AC，DM交于点O，连接BO，可以证明OADOAB，又OAD和OCM面积相等，图中阴影部分面积可以转化为OAD和OAB的面积解答：解：找到CD的中点N，连接BN正方形ABCD中，AC为BD的垂直平分线，OB=OD，在OAD和OAB中，AB=AD，OA=OAOADOAB，又，所以阴影部分面积为OAD和OAB的面积和根据中位线定理M、N分别为AB、CD的中点，CE=EO=OA，O到AD的距离为CD长度的SADO+SABO=2SADO=2a=故答案为点

28、评：本题考查中位线定理的灵活应用，以及正方形对角线垂直平分，本题证明CE=EO=OA是解题的关键16、如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系、已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，若在y轴上存在点P，且满足FE=FP，则P点坐标为（0，4），（0，0）考点：正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质。专题：几何图形问题。分析：连接EF，CF=BE=1，若EF=FP，显然RtFCPRtFBE，由此确定CP的长解答：解：连接EF，OA=3，OC=2，AB=2，

29、点E是AB的中点，BE=1，BF=AB，CF=BE=1，FE=FP，RtFCPRtFBE，PC=BF=2，P点坐标为（0，4）或（0，0），即图中的点P和点P故答案为：（0，4），（0，0）点评：本题考查了三角形翻折前后的不变量，利用三角形的全等解决问题17、如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为，线段O1O2的长为考点：正方形的性质。专题：计算题；转化思想。分析：阴影部分的面积可以看成两个三角形面积之和，所以求2个三角形面积即可；线段O1O2的长根据勾股定理求解解答：解：做O1HAE，使O2HO1H，交BG于P

30、，K点，（1）BP=，又O2HHO1，KPHO2，PKO1HO2O1，=，KP=，阴影部分的面积=BK（）=+=；（2）HO1=，HO2=，根据勾股定理O1O2=故答案为：；点评：本题考查的相似三角形的证明即对应边比例相等的性质，三角形面积的计算，考查了根据勾股定理计算直角三角形斜边的应用，解决本题的关键是构建直角三角形HO1O218、已知正方形纸片ABCD的面积为2007cm2现将该纸片沿一条线段折叠（如图），使点D落在边BC上的点D处，点A落在点A处，AD与AB交于点E则BDE的周长等于6cm考点：正方形的性质；翻折变换（折叠问题）。专题：计算题。分析：设正方形边长a=，DDC=则BDE=

31、2，CD=atan，BD=a（1tan），故，BDE的周长为a（1tan）（1+tan 2+sec 2），化简可得BDE的周长为2a解答：解：设正方形边长a=，DDC=则BDE=2，CD=atan，BD=a（1tan）所以，BDE的周长为a（1tan）（1+tan 2+sec 2）=2a=6cm故答案为6点评：本题考查了正方形各边长相等的性质，考查了整式的化简，本题中正确化简BDE的周长=a（1tan）（1+tan 2+sec 2）是解题的关键19、已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为（1，0）和（1，1）（只写一组）考点：正方形的性质；坐标与

32、图形性质。专题：开放型。分析：首先根据正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），在坐标系内找出这两点，根据正方形各边相等，从而可以确定C，D的坐标解答：解：正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），BDx轴，ACx轴，这样画出正方形，即可得出C与D的坐标，分别为：C（1，0），D（1，1）故答案为：（1，0），（1，1）点评：本题主要考查了正方形的性质与坐标内图形的性质，确定已知点的坐标，从而根据正方形的性质，确定其它顶点的坐标是解决问题的关键20、如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A与点B在两个格点上在格点上存在点C，使ABC的面积为2，则这样的点C有5个考

33、点：正方形的性质；三角形的面积。专题：计算题；作图题。分析：要使得ABC的面积为2，即S=ah，则使得a=2、h=2或者a=4、b=1即可，在图示方格纸中找出C点即可解答：解：图中标出的5个点均为符合题意的点故答案为 5点评：本题考查了正方形各边长相等的性质，考查了三角形面积的计算公式，本题中正确地找全C点是解题的关键，考生容易漏掉一个或者几个答案21、已知正方形内接于圆心角为90，半径为10的扇形（即正方形的各顶点都在扇形上），则这个正方形的边长为5或2考点：垂径定理；勾股定理；正方形的性质。专题：分类讨论。分析：根据题意画出图形，由于正方形内接于扇形，故应分两种情况进行讨论解答：解：如图1

34、所示：连接OD，设正方形OCDE的边长为x，则在RtOCD中，OD2=OC2+CD2，即102=x2+x2，解得x=5；如图2所示，过O作OGDE，交CF于点H，连接OD，设FH=x，四边形CDEF是正方形，OHCF，FH=CH=x，AOC=90，CH=OH，OG=3x，在RtODG中，OD2=GD2+OG2，即102=x2+（3x）2，解得x=，CF=2x=2故答案为：5或2点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，解答此题的关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造出直角三角形，再进行解答三、解答填空题（共6小题）22、如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分BAC，交BD

35、于点F（1）求证：；（2）点A1、点C1分别同时从A、C两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A1F1平分BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1EA1C1，垂足为E，请猜想EF1，AB与三者之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当A1E1=6，C1E1=4时，则BD的长为7考点：正方形的性质。分析：（1）可通过构建全等三角形来求解，过F作FGAB于G，那么可通过角平分线上的点到角两边的距离相等得出OF=FG，通过全等三角形AOF和AGF可得出AO=AG，那么AB=AO+OF，而AC=2OA，由此可得证；（2）本题作辅助线的方法与（1）类似，过F1作F1G1

36、AB，F1H1BC，那么可证得四边形F1G1BH1是正方形，EF1=F1G1=F1H1，那么可得出F1就是三角形A1BC1的内心，根据直角三角形的内心公式可得出EF1=（A1B+BC1A1C1）2，然后根据用AB分别表示出A1B，BC1，最后经过化简即可得出ABEF1=A1C1；（3）求BD的长，首先要求出AB的长，本题可借助（2）中，F1是三角形A1BC1的内心来解，那么我们不难看出E，G1，H1都应该是切点，根据切线长定理不难得出A1E+A1G1=A1C1+A1BC1EBG1，由于C1E=C1H1，BG1=BH1，A1E=A1G1因此式子可写成2A1E=A1C1+A1BBC1，而（A1BB

37、C1）正好等于2A1A，由此可求出A1A的长，那么可根据勾股定理用AB表示出两条直角边，求出AB的长，然后即可得出BD的值解答：解：（1）过F作FGAB于G，AF平分CAB，FOAC，FGAB，OF=FG，AOF=AGF=90，AF=AF，OF=FG，AOFAGF，AO=AG，直角三角形BGF中，DGA=45，FG=BG=OF，AB=AG+BG=AO+OF=AC+OF，ABOF=AC（2）过F1作F1G1A1B，过F1作F1H1BC1，则四边形F1G1BH1是矩形同（1）可得EF1=F1G，因此四边形F1G1BH1是正方形EF1=G1F1=F1H1，即：F1是三角形A1BC1的内心，EF1=（

38、A1B+BC1A1C1）2A1B+BC1=AB+A1A+BCCC1，而CC1=A1A，A1B+BC1=2AB，因此式可写成：EF1=（2ABA1C1）2，即ABEF1=A1C1（3）由（2）得，F1是三角形A1BC1的内心，且E1、G1、H1都是切点A1E=（A1C1+A1BBC1）2，如果设CC1=A1A=x，A1E=A1C1+（AB+x）（ABx）2=（10+2x）2=6，x=1，在直角三角形A1BC1中，根据勾股定理有A1B2+BC12=AC12，即：（AB+1）2+（AB1）2=100，解得AB=7，BD=7点评：本题主要考查了正方形的性质，三角形的内接圆与内心等知识点，要注意的是后两

39、问中，结合圆的知识来解会使问题更简单23、（2005扬州）（1）计算：=7；（2）已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EAAF求证：DE=BF考点：实数的运算；直角三角形全等的判定；正方形的性质。分析：（1）按有理数的运算法则计算即可；（2）由同角的余角相等知，FAB=DAE，由正方形的性质知，AB=AD，ABF=ADE=90，则ASA证得AFBADEDE=BF解答：解：（1）解：原式=328=7；（2）证明：FAB+BAE=90，DAE+BAE=90，FAB=DAE，AB=AD，ABF=ADE，AFBADE，DE=BF点评：此题即考查了实数的运算又考查

40、了正方形的性质学生对学过的知识要系统起来24、如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AGEF，垂足为G，且AG=AB，则EAF=45度考点：正方形的性质；全等三角形的判定。分析：根据角平分线的判定，可得出ABFAGF，故有BAF=GAF，再证明AGEADE，有GAE=DAE；所以可求EAF=45解答：解：在RtABF与RtAGF中，AB=AG，AF=AF，B=G=90，ABFAGF（HL），BAF=GAF，同理易得：AGEADE，有GAE=DAE；即EAF=EAG+FAG=DAG+BAG=DAB=45，故EAF=45点评：主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定25、如图，正方形

41、ABCD中，AB=，点E、F分别在BC、CD上，且BAE=30，DAF=15度（1）求证：DF+BE=EF；（2）则EFC的度数为30度；（3）则AEF的面积为考点：正方形的性质。分析：（1）延长EB至G，使BG=DF，连接AG利用正方形的性质，证明AGEAFE，FAEGAE，得出DF+BE=EF；（2）根据AGEAFE及角之间的关系从而求得EFC的度数；（3）SAEF=S正方形ABCDSADFSAEBSCEF=S正方形ABCDSAEFSCEF，关键求SCEF解答：解：（1）延长EB至G，使BG=DF，连接AG，正方形ABCD，AB=AD，ABG=ADF=BAD=90，BG=DF，ABGADF，AG=AF，BAE=30，DAF=15，FAE=GAE=45，AE=AE，FAEGAE，EF=EG=GB+BE=DF+BE；（2）AGEAFE，AFE=AGE=75，DFA=90DAF=75，EFC=180DFAAFE=1807575=30，EFC=30（3）AB=BC=，BAE=30，BE=1，CE=1，EFC=30，CF=3，SCEF=CECF=23，由（1）知，ABGADF，FAEGAE，SAEF=S正方形ABCDSADFSAE