2022年八级几何辅助线专题训练.pdf

《2022年八级几何辅助线专题训练.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年八级几何辅助线专题训练.pdf（25页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、常见的辅助线的作法1. 等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2. 倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3. 角平分线在三种添辅助线：（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线， （2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。 （3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点， 然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4. 垂直平分线联结线段两端：在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。5. 用“截长法”或“补短法”： 遇到有二

2、条线段长之和等于第三条线段的长，6. 图形补全法：有一个角为60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形 .7. 角度数为 30 度、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8. 面积方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、等腰三角形“三线合一”法精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -

3、 - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 25 页 - - - - - - - - - - DCBAEDFCBA1.如图，已知 ABC中， A90，AB AC ，BE平分 ABC ，CE BD于 E，求证： CE=BD. 中考连接：（2014? 扬州，第 7 题， 3 分）如图，已知AOB=60，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）A3B4C5D6二、倍长中线（线段）造全等例 1、 （ “希望杯”试题）已知，如图ABC 中，AB=5 ，AC=3 ，则中线 AD的取值范围是 _.例 2、如图，ABC

4、中，E、F分别在 AB 、AC上，DE DF ，D是中点，试比较 BE+CF与 EF的大小 .例 3、如图， ABC 中，BD=DC=AC，E是 DC的中点，求证： AD平分 BAE.EDCBA中考连接：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 25 页 - - - - - - - - - - OEDCBAABC（09 崇文）以的两边 AB 、AC为腰分别向外作等腰Rt 和等腰 RtACE，90 ,BADCAE连接 DE ，M 、N分别是 BC 、DE的中点探究： AM与 DE的关 系

5、（ 1） 如 图 当ABC为 直 角 三 角 形 时 ， AM 与DE 的 位 置 关 系是，线段 AM与 DE的数量关系是；（2）将图中的等腰 RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(090)后，如图所示， （1）问中得到的两个结论是否发生改变并说明理由三、借助角平分线造全等1、如图，已知在 ABC中，B=60，ABC的角平分线 AD,CE相交于点 O ，求证：OE=OD2、如图，已知点 C是MAN 的平分线上一点， CE AB于 E，B、D分别在 AM 、AN精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第

6、3 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 上，且 AE= （AD+AB ）. 问： 1和2 有何关系中考连接：( 2012 年北京 )如图，OP是MON 的平分线， 请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在 ABC中，ACB是直角， B=60，AD 、CE分别是 BAC 、BCA的平分线， AD 、CE相交于点 F。请你判断并写出FE与 FD之间的数量关系；（2）如图，在 ABC中，如果 ACB 不是直角，而 (1) 中的其它条件不变，请问，你在 (1) 中所得结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成

7、立，请说明理由。四, 垂直平分线联结线段两端1. （ 2014 ? 广西贺州，第17 题 3 分）如图，等腰ABC中，AB=AC，OPAMNEBCDFACEFBD图图图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 25 页 - - - - - - - - - - EDGFCBADBC=15，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则A的度数是2、如图， ABC中，AD平分 BAC ，DG BC且平分 BC ，DE AB于 E，DF AC于 F. （1）说明 BE=CF 的理由； （2）如果 AB=

8、a，AC= b ，求 AE 、BE的长.中考连接：（2014 年广东汕尾，第19 题 7 分）如图，在RtABC中，B=90，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE（1）求ADE； （直接写出结果）（2）当AB=3，AC=5 时，求ABE的周长补充：尺规作图过直线外一点做已知直线的垂线五、截长补短1、如图，ABC中，AB=2AC ，AD平分BAC ，且 AD=BD ，求证： CD AC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第

9、5 页，共 25 页 - - - - - - - - - - EDCBADCBAPQCBA2、如图， AD BC ，EA,EB分别平分 DAB,CBA ，CD过点 E，求证 ;ABAD+BC 。3、如图，已知在 ABC内，060BAC，040C，P，Q分别在 BC ，CA上，并且 AP ，BQ分别是BAC ，ABC的角平分线。求证： BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形 ABCD 中，BC BA,AD CD ，BD平分ABC，求证：0180CA5. 如图，已知正方形 ABCD 中，E为 BC边上任意一点，AF平分 DAE 求证： AE BE DF CDBA精品资料 - - - 欢迎下载 -

10、 - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 25 页 - - - - - - - - - - FEDCBA6. 如图， ABC中，ABC=60 ， AD 、CE分别平分 BAC ，ACB ，判断 AC的长与 AE+CD 的大小关系并证明 .7. 如图，RtABC中，ACB=90 ， CD AB于 D ，AF平分 CAB交 CD于 E，交CB于 F，且 EG AB交 CB于 G ，判断 CF与 GB的大小关系并证明。六、综合1、正方形 ABCD 中，E为 BC上的一点， F 为 CD上的一点，精品资料 - - - 欢迎下载

11、- - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 25 页 - - - - - - - - - - NMEFACBABE+DF=EF，求 EAF的度数.2、如图， ABC为等边三角形， 点,MN分别在,BC AC上，且 BMCN ，AM与 BN 交于Q点。求AQN的度数。3、已知四边形 ABCD 中， ABAD ， BCCD ， ABBC ，120ABCo，60MBNo，MBN绕 B 点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于 EF，当MBN绕 B 点旋转到 AECF 时（如图 1） ，易证 AECFEF 当MBN绕

12、 B 点旋转到 AECF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF， EF 又有怎样的数量关系请写出你的猜想，不需证明4、D为等腰 Rt ABC 斜边 AB的中点， DM DN,DM,DN 分别交 BC,CA于点 E,F。（1） 当MDN 绕点 D转动时，求证 DE=DF 。（2） 若 AB=2 ，求四边形 DECF 的面积。（图 1）ABCDEFMN（图 2）ABCDEFMN（图 3）ABCDEFMN精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第

13、8 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 5、在等边ABC的两边 AB 、AC所在直线上分别有两点M 、N，D为ABCV外一点，且60MDN,120BDC,BD=DC. 探究：当 M 、N分别在直线 AB 、AC上移动时， BM 、NC 、MN之间的数量关系及AMN 的周长 Q与等边ABC的周长L 的关系图 1 图 2 图 3（I ）如图 1，当点 M 、N边 AB 、AC上，且 DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是； 此时LQ；（II ）如图 2，点 M 、N边 AB 、AC上，且当 DM DN时，猜想（ I ）问的两个结论还成立吗写出你的猜想并加以证明

14、；（III ） 如图 3，当 M 、N分别在边 AB 、CA的延长线上时，若 AN=x，则 Q= （用x、L 表示） 中考连接：（2014? 抚顺第 25 题（ 12 分） ）已知： RtABC Rt ABC ， ACB=ACB=90 ， ABC =ABC=60 ， RtABC 可绕点 B 旋转，设旋转过程中直线CC 和 AA 相交于精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 点 D （1）如图 1 所示，当点 C在 AB边上时，判断线段

15、AD和线段 AD之间的数量关系，并证明你的结论；（2）将 RtABC 由图 1 的位置旋转到图2 的位置时，（1）中的结论是否成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）将 RtABC 由图 1 的位置按顺时针方向旋转 角（0 120） ，当 A、C 、A三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数参考答案与提示一、倍长中线（线段）造全等例 1、（ “希望杯”试题）已知，如图 ABC中， AB=5， AC=3， 则中线 AD的取值范围是 _.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共

16、25 页 - - - - - - - - - - DCBAEDFCBA解：延长AD至 E使 AE 2AD ，连 BE ，由三角形性质知AB-BE 2ADAB+BE 故 AD的取值范围是1AD4例 2、如图， ABC中， E、F分别在 AB 、AC上，DEDF ，D是中点，试比较BE+CF与 EF的大小 .解： ( 倍长中线 , 等腰三角形“三线合一”法) 延长 FD至 G使 FG 2EF，连 BG ，EG,显然 BG FC，在 EFG中，注意到DEDF，由等腰三角形的三线合一知EG EF在 BEG中，由三角形性质知EGBG+BE 故： EFBE+FC例 3、如图， ABC中， BD=DC=AC

17、，E是 DC的中点，求证：AD平分 BAE.EDCBA解：延长AE至 G使 AG 2AE，连 BG ，DG,显然 DG AC ，GDC= ACD由于 DC=AC ，故ADC= DAC在 ADB与 ADG 中， BDAC=DG ，AD AD ，ADB= ADC+ ACD= ADC+ GDC ADG故 ADB ADG ，故有 BAD= DAG ，即 AD平分 BAE精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 应用：RtABD和 等 腰1、 （

18、09崇文二模）以的两边AB 、AC为腰分别向外作等腰RtACE，90 ,BADCAE连接DE ，M 、N分别是BC 、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；（2） 将图中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(090) 后，如图所示， （1）问中得到的两个结论是否发生改变并说明理由解： （1）AMED2，EDAM；证明：延长AM到G，使AMMG，连BG，则ABGC是平行四边形BGAC，180BACABG又180BACDAEDAEABG再证：ABGDAEAMDE2，EDABAG延长MN交DE于H90DA

19、HBAG90DAHHDAEDAM（2）结论仍然成立证明：如图，延长CA至 F，使FAAC，FA交DE于点P，并连接BFBADA，AFEAEADDAFBAF90在FAB和EAD中DABAEADBAFAEFAEADFAB（SAS）ABCGCHABDMNEFCPABDMNE精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 25 页 - - - - - - - - - - EDCBADEBF，AENF90AENAPEFFPDDEFB又AFCA，MBCMFBAM /，且FBAM21DEAM，DEAM21

20、二、截长补短1、如图，ABC中， AB=2AC ，AD平分BAC，且 AD=BD ，求证： CD AC解： （截长法）在AB上取中点 F，连 FDADB是等腰三角形，F是底 AB中点，由三线合一知DFAB ，故 AFD 90ADF ADC （SAS ）ACD AFD 90即： CD AC2、如图， AD BC ，EA,EB分别平分 DAB,CBA ，CD过点 E，求证 ;ABAD+BC解： （截长法）在AB上取点 F，使 AF AD ，连 FEADE AFE （SAS ）ADE AFE ，ADE+ BCE 180AFE+ BFE 180故 ECB EFBFBE CBE （AAS ）故有 BF

21、BC从而 ;ABAD+BC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 25 页 - - - - - - - - - - DCBAPQCBA3、如图，已知在ABC内，060BAC，040C，P，Q分别在 BC ，CA上，并且 AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP解： （补短法 , 计算数值法）延长AB至 D，使 BD BP ，连 DP在等腰 BPD中，可得 BDP 40从而 BDP 40 ACPADP ACP （ASA ）故 AD AC又 QBC 40 Q

22、CB 故 BQQCBD BP从而 BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD 中， BC BA,AD CD ，BD平分ABC，求证：0180CA解： （补短法）延长BA至 F，使 BF BC，连 FDBDF BDC （SAS ）故 DFB DCB ，FDDC又 AD CD故在等腰 BFD中DFB DAF故有 BAD+ BCD 1805、如图在 ABC中， AB AC ， 1 2，P为 AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 25 页 -

23、 - - - - - - - - - P21DCBA解： （补短法）延长AC至 F，使 AF AB，连 PDABP AFP （SAS ）故 BP PF由三角形性质知PB PC PFPC CFAF ACAB AC应用：分析： 此题连接AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。解：有AEADBC连接AC，过E作BCEF /并AC于F点则可证AEF为等边三角形即EFAE，60AFEAEF120CFE又BCAD/，60B120BAD又60DECDEADEACBF精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -

24、 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 25 页 - - - - - - - - - - OEDCBAFECAED在ADE与FCE中CFEEAD，EFAE，FECAEDFCEADEFCADAEADBC点评： 此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形的性质解决。三、四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC中， B=60， ABC的角平分线AD,CE相交于点 O ，求证： OE=OD ，DC+AE =AC证明( 角平分线在三种添辅助线 , 计算数值法 ) B=60度,则BAC+ BCA=120 度;AD,CE均为角平分线

25、,则OAC+ OCA=60 度=AOE= COD;AOC=120 度.在 AC上截取线段 AF=AE, 连接 OF.又 AO=AO; OAE= OAF. 则OAE OAF(SAS),OE=OF;AE=AF; AOF= AOE=60 度.则COF= AOC- AOF=60 度=COD;又 CO=CO; OCD= OCF.故OCD OCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图， ABC中， AD平分 BAC ，DG BC且平分 BC ，DE AB于 E，DF AC于 F. （1）说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE 、BE的

26、长.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 解： ( 垂直平分线联结线段两端) 连接 BD ，DCDG垂直平分BC ，故 BD DC由于 AD平分 BAC ， DEAB于 E，DFAC于 F，故有ED DF故 RTDBE RT DFC （HL ）故有 BE CF。AB+AC 2AEAE （ a+b）/2BE=(a-b)/2应用：1、如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三

27、角形的方法，解答下列问题：（ 1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（ 2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而 (1) 中的其它条件不变，请问，你在(1) 中所得结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由。解： （1）FE与FD之间的数量关系为FDFE（2）答：（1）中的结论FDFE仍然成立。证法一： 如图 1，在AC上截取AEAG，连结FG 21，AF为公共边，AGFAEFAFGAFE，FGFE60B，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线EDGFCBA( 第 23题

28、图 )OPAMNEBCDFACEFBD图图图FBED精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 25 页 - - - - - - - - - - FEDCBA603260AFGCFDAFE60CFG43及FC为公共边CFDCFGFDFGFDFE证法二： 如图 2，过点F分别作ABFG于点G，BCFH于点H 60B，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线可得6032，F是ABC的内心160GEF，FGFH又1BHDFHDFGEF可证DHFEGFFDFE五、旋转例 1 正方形 ABCD中，E

29、为 BC上的一点， F为 CD上的一点， BE+DF=EF ，求EAF的度数 .证明：将三角形 ADF绕点 A顺时针旋转 90 度， 至三角形 ABG则 GE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE ，AF=AG ，所以三角形 AEF全等于 AEG所以 EAF= GAE= BAE+ GAB= BAE+ DAF又EAF+ BAE+ DAF=90所以 EAF=45度例 2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB的中点， DM DN,DM,DN 分别交 BC,CA于点 E,F。(1) 当MDN绕点 D转动时，求证DE=DF 。(2) 若 AB=2 ，求四边形DECF的面积。FBEACD图 22143H

30、G精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 解： ( 计算数值法 ) （1）连接 DC ，D为等腰Rt ABC斜边 AB的中点，故有CD AB ，CD DACD平分 BCA 90， ECD DCA 45由于 DM DN ，有 EDN 90由于 CDAB ，有 CDA 90从而 CDE FDA 故有 CDE ADF （ASA ）故有 DE=DF（2）SABC=2, S四 DECF= SACD=1例 3 如图，ABC是边长为3的等边三角形，

31、BDC是等腰三角形，且0120BDC，以 D为顶点做一个060角，使其两边分别交AB于点 M ，交 AC于点 N，连接 MN ，则AMN的周长为；解： ( 图形补全法 , “截长法”或“补短法”, 计算数值法 ) AC 的延长线与BD的延长线交于点 F，在线段CF上取点 E，使 CE BM ABC为等边三角形，BCD为等腰三角形，且 BDC=120 ， MBD= MBC+ DBC=60 +30=90，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 25 页 - - - - - - - - -

32、 - DCE=180 - ACD=180 - ABD=90 ，又 BM=CE ，BD=CD ， CDE BDM ， CDE= BDM ， DE=DM ，NDE= NDC+ CDE= NDC+ BDM= BDC-MDN=120 - 60=60，在 DMN 和 DEN中， DM=DEMDN= EDN=60 DN=DN DMN DEN ，MN=NE在 DMA 和 DEF中， DM=DEMDA=6 0- MDB=6 0- CDE= EDF (CDE= BDM) DAM= DFE=3 0 DMN DEN (AAS) ，MA=FEAMN 的周长为 AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6应用：1、 已

33、 知 四 边 形ABCD中 ，ABAD，BCCD，ABBC，120ABCo，60MBNo，MBN绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，当MBN绕B点旋转到AECF时（如图 1） ，易证AECFEF当MBN绕B点旋转到AECF时，在图2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，EF又有怎样的数量关系请写出你的猜想，不需证明ABEMABEMAB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 25 页 - - - - - - -

34、- - - 解： （1）ADAB，CDBC，BCAB，CFAECBFABE（SAS） ；CBFABE，BFBE120ABC，60MBN30CBFABE，BEF为等边三角形BFEFBE，BEAECF21EFBECFAE（2）图 2 成立，图3 不成立。证明图 2，延长DC至点K，使AECK，连接BK则BCKBAEBKBE，KBCABE60FBE，120ABC60ABEFBC60KBCFBC60FBEKBFEBFKBFEFKFEFCFKC即EFCFAE图 3 不成立，AE、CF、EF的关系是EFCFAE2、 （西城 09 年一模）已知 :PA=2,PB=4, 以 AB为一边作正方形ABCD, 使

35、P、D两点落在直线 AB的两侧 .(1) 如图 , 当 APB=45 时 , 求 AB及 PD的长; (2) 当 APB变化 , 且其它条件不变时, 求 PD的最大值 , 及相应 APB的大小 . 分析： （1） 作辅助线， 过点A作PBAE于点E， 在PAERt中，已知APE，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，KABCDEFMN图 2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 由PB的值，可求BE的值，在ABERt中，根据勾

36、股定理可将AB的值求出；求PD的值有两种解法，解法一：可将PAD绕点A顺时针旋转90得到ABP，可得ABPPAD，求PD长即为求BP的长，在PAPRt中，可将PP的值求出，在BPPRt中，根据勾股定理可将BP的值求出；解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在AEGRt中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在PFGRt中，可求出PF，在PDFRt中，根据勾股定理可将PD的值求出；（2）将PAD绕点A顺时针旋转90，得到ABP，PD的最大值即为BP的最大值，故当P、P、B 三点共线时，BP取得最大值，根据PBPPBP可求BP的最大值，此时135180PAPAPB解：

37、 （1）如图，作PBAE于点EPAERt中，45APB，2PA1222PEAE4PB3PEPBBE在ABERt中，90AEB1022BEAEAB解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将将PAD绕点A顺时针旋转90得到ABP， ，可得ABPPAD，BPPD，APPA90PPA，45PAP，90PBP2PP，2PA52422222PBPPBPPD；解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的延长线交PB于G在AEGRt中，可得310coscosABEAEEAGAEAG，31EG，32EGPEPG在PFGRt中，可得510coscosABEPGFPGPGPF，1510FG

38、在PDFRt中，可得523101510105102222FGAGADPFPDEPADCBPPACBDEGFPACBDE精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 25 页 - - - - - - - - - - PPACBDPPACBD（2）如图所示，将PAD绕点A顺时针旋转90, 得到ABP，PD的最大值，即为BP的最大值BPP中，PBPPBP，22PAPP，4PB且P、D两点落在直线AB的两侧当P、P、B三点共线时，BP取得最大值（如图）此时6PBPPBP，即BP的最大值为6此时13

39、5180PAPAPB3、在等边ABC的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N，D 为ABCV外一点，且60MDN,120BDC,BD=DC. 探究：当 M 、N分别在直线AB 、AC上移动时， BM 、NC 、MN之间的数量关系及AMN的周长 Q与等边ABC的周长 L 的关系图 1 图 2 图 3（I ）如图1，当点M 、N 边 AB 、AC 上，且DM=DN时， BM 、NC 、MN之间的数量关系是； 此时LQ；（II ）如图 2，点 M 、N边 AB 、AC上，且当 DM DN时，猜想（ I ）问的两个结论还成立吗写出你的猜想并加以证明；（III） 如图 3，当 M 、N分别在边

40、AB 、CA的延长线上时，若 AN=x，则 Q= （用x、L 表示） 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 图 1NMADCB分 析 ：（ 1 ） 如 果DNDM，DNMDMN， 因 为DCBD， 那 么30DCBDBC，也就有903060NCDMBD，直角三角形MBD、NCD中，因 为DCBD，DNDM， 根 据HL定 理 ， 两 三 角 形 全 等 。 那 么NCBM，60DNCBMD，三角形NCD中，30NDC，NCDN2，在

41、三角形DNM中，DNDM，60MDN， 因 此 三 角 形DMN是 个 等 边 三 角 形 ， 因 此BMNCNCDNMN2，三角形AMN的周长MNANAMQABACABNCMBANAM2，三角形ABC的周长ABL3，因此3:2: LQ（2）如果DNDM，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。延长AC至E，使BMCE，连接DE （1）中我们已经得出，90NCDMBD，那么三角形MBD和ECD中，有了一组直角，CEMB，DCBD，因此两三角形全等，那么DEDM，CDEBDM，60MDNBDCEDN三角形MDN和EDN中，有DEDM，60MDNEDN，有一条公共边，因此两三角形全等，NEMN，

42、至此我们把BM转换成了CE，把MN转换成了NE，因为CECNNE，因此CNBMMNQ与L的关系的求法同（ 1） ，得出的结果是一样的。（3） 我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换，思路同（2） 过D作MDBCDH，三 角 形BDM和CDH中 ， 由 （ 1） 中 已 经 得 出 的90MBDCH， 我 们 做 的 角CDHBDM，CDBD，因此两三角形全等（ASA） 那么CHBM，DHDM，三角形MDN和NDH中，已知的条件有DHMD，一条公共边ND，要想证得两三角形全等就需要 知 道HDNMDN， 因 为MDBCDH， 因 此120BDCMDH， 因 为60MDN，那么60120NDH6

43、0，因此NDHMDN，这样就构成了两三角形全等的条件三角形MDN和DNH就全等了那么BMACANNHNM，三角形AMN的周长BMABANMNAMANQABANBMACAN22 因 为xAN，LAB31， 因 此 三 角 形AMN的 周 长LxQ322解： （1）如图 1，BM、NC、MN之间的数量关系：MNNCBM；此时32LQ（2）猜想：结论仍然成立证明：如图2，延长AC至E，使BMCE，连接DECDBD，且120BDC30DCBDBC又ABC是等边三角形90NCDMBDNA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - -

44、 - - - -第 24 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 在MBD与ECD中DCBDECDMBDCEBMECDMBD（SAS）DEDM，CDEBDM60MDNBDCEDN在MDN与EDN中DNDNEDNMDNDEDMEDNMDN（SAS）BMNCNEMN故AMN的周长MNANAMQABACABNCANBMAM2而等边ABC的周长ABL33232ABABLQ（3）如图 3，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若xAN，则LxQ322（用x、L表示）点评： 本题考查了三角形全等的判定及性质；题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的，当题中没有明显的全等三角形时，我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所求条件相关的全等三角形。H图 3NMADCB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 25 页，共 25 页 - - - - - - - - - -