2022年三角函数公式大全关系.pdf

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1、名师推荐精心整理学习必备三角函数公式大全关系：倒数tan cot =1sin csc=1cos sec=1商的关系：sin /cos =tan=sec/csc cos/sin =cot=csc/sec 平方关系：sin2( )+cos2( )=11+tan2( )=sec2( )1+cot2( )=csc2( )平常针对不同条件的常用的两个公式sin2( )+cos2( )=1tan *cot =1一个特殊公式（sina+sin ）*（sina-sin ）=sin（a+ ）*sin（a- ）证明：（sina+sin ）*（sina-sin ）=2 sin(+a)/2 cos(a-)/2 *2

2、cos(+a)/2 sin(a-)/2=sin（a+ ）*sin（a- ）坡度公式我们通常半坡面的铅直高度h 与水平高度 l 的比叫做坡度（也叫坡比），用字母 i 表示，即 i=h / l, 坡度的一般形式写成l : m 形式，如 i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a(叫做坡角），那么i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式正弦： sin = 的对边 / 的斜边余弦： cos = 的邻边/的斜边正切： tan = 的对边 /的邻边余切： cot = 的邻边 /的对边二倍角公式正弦sin2A=2sinA cosA 余弦1.Cos2a=Cos2(a)-Sin2(a) 2.Cos2a=1-2

3、Sin2(a) 3.Cos2a=2Cos2(a)-1 即 Cos2a=Cos2(a)-Sin2(a)=2Cos2(a)-1=1-2Sin2(a) 正切tan2A= （2tanA）/（1-tan2(A) ）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备三倍角公式sin3 =4sin sin( /3+)sin( /3-)cos3=4coscos( /3+)cos( /3-)tan3a = tan a tan( /3+a) t

4、an( /3-a) 三倍角公式推导sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin2 a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos2a-1)cosa-2(1-cosa)cosa =4cos3a-3cosa sin3a=3sina-4sin3a =4sina(3/4-sin2 a) =4sina( 3/2)2-sin2a =4sina(sin260 -sin2a) =4sina(sin60 +sina)(sin60-sina) =4s

5、ina*2sin(60+a)/2cos(60-a)/2*2sin(60-a)/2cos(60-a)/2 =4sinasin(60 +a)sin(60 -a) cos3a=4cos3a-3cosa =4cosa(cos2a-3/4) =4cosacos2a-(3/2)2=4cosa(cos2a-cos230 ) =4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30 ) =4cosa*2cos(a+30 )/2cos(a-30)/2*-2sin(a+30)/2sin(a-30)/2 =-4cosasin(a+30 )sin(a-30) =-4cosasin90 -(60 -a)sin-90+

6、(60 +a) =-4cosacos(60 -a)-cos(60+a) =4cosacos(60 -a)cos(60 +a) 上述两式相比可得tan3a=tanatan(60 -a)tan(60 +a) 现列出公式如下 : sin2 =2sin cos tan2 =2tan/(1-tan2( ) cos2=cos2( )-sin2( )=2cos2( )-1=1-2sin2( ) 可别轻视这些字符 ,它们在数学学习中会起到重要作用。包括一些图像问题和函数问题中三倍角公式精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -

7、 - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备sin3 =3sin -4sin3( )=4sin sin( /3+ )sin(/3-) cos3=4cos3( )-3cos=4cos cos( /3+ )cos( /3-) tan3 =tan( )*(-3+tan( )2)/( -1+3*tan( )2)=tan a tan( /3+a) tan( /3-a) 半角公式sin2( /2)=(1-cos)/2 cos2( /2)=(1+cos)/2 tan2( /2)=(1 -cos)/(1+cos) tan( /2)=sin/(1+cos )=

8、(1-cos)/sin万能公式sin =2tan( /2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2( /2)/1+tan2(/2) tan =2tan( /2)/1-tan2( /2)其他sin +sin( +2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+ +sin +2*(n-1)/n=0 cos+cos( +2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+ +cos +2*(n-1)/n=0 以及sin2( )+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角公式sin4A=-4

9、*(cosA*sinA*(2*sinA2-1) cos4A=1+(-8*cosA2+8*cosA4) tan4A=(4*tanA-4*tanA3)/(1-6*tanA2+tanA4) 五倍角公式sin5A=16sinA5-20sinA3+5sinA cos5A=16cosA5-20cosA3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA2+tanA4)/(1-10*tanA2+5*tanA4) 六倍角公式sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA2) cos6A=(-1+2*cosA2)*(16*cosA4-16*cosA2

10、+1) tan6A=(-6*tanA+20*tanA3-6*tanA5)/(-1+15*tanA2-15*tanA4+tanA6) 七倍角公式sin7A=-(sinA*(56*sinA2-112*sinA4-7+64*sinA6) cos7A=(cosA*(56*cosA2-112*cosA4+64*cosA6-7) tan7A=tanA*(-7+35*tanA2-21*tanA4+tanA6)/(-1+21*tanA2-35*tanA4+7*tanA6) 八倍角公式sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA2-1)*(-8*sinA2+8*sinA4+1) cos8A=1+(16

11、0*cosA4-256*cosA6+128*cosA8-32*cosA2) tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA2-7*tanA4+tanA6)/(1-28*tanA2+70*tanA4-28*tanA6+tanA8) 九倍角公式sin9A=(sinA*(-3+4*sinA2)*(64*sinA6-96*sinA4+36*sinA2-3) cos9A=(cosA*(-3+4*cosA2)*(64*cosA6-96*cosA4+36*cosA2-3) tan9A=tanA*(9-84*tanA2+126*tanA4-36*tanA6+tanA8)/(1-36*tanA2+126*ta

12、nA4-84*tanA6+9*tanA8) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备十倍角公式sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA2+2*sinA-1)*(4*sinA2-2*sinA-1)*(-20*sinA2+5+16*sinA4) cos10A=(-1+2*cosA2)*(256*cosA8-512*cosA6+304*cosA4-48*cosA2+1) tan10A=-2*tanA*(5-

13、60*tanA2+126*tanA4-60*tanA6+5*tanA8)/(-1+45*tanA2-210*tanA4+210*tanA6-45*tanA8+tanA10) N 倍角公式根据棣美弗定理， (cos+ i sin)n = cos(n)+ i sin(n) 为方便描述， 令 sin =s ，cos=c 考虑 n 为正整数的情形：cos(n )+ i sin(n) = (c+ i s)n = C(n,0)*cn + C(n,2)*c(n-2)*(i s)2 + C(n,4)*c(n-4)*(i s)4 + . +C(n,1)*c(n-1)*(i s)1 + C(n,3)*c(n-3)

14、*(i s)3 + C(n,5)*c(n-5)*(i s)5 + . =比较两边的实部与虚部实部：cos(n )=C(n,0)*cn + C(n,2)*c(n -2)*(i s)2 + C(n,4)*c(n-4)*(i s)4 + . i*(虚部)： i*sin(n)=C(n,1)*c(n-1)*(i s)1 + C(n,3)*c(n-3)*(i s)3 + C(n,5)*c(n-5)*(i s)5 + . 对所有的自然数 n， 1. cos(n )： 公式中出现的 s 都是偶次方，而 s2=1-c2( 平方关系 )，因此全部都可以改成以c(也就是 cos) 表示。 2. sin(n)： (1

15、)当 n 是奇数时：公式中出现的 c 都是偶次方， 而 c2=1-s2( 平方关系 )，因此全部都可以改成以s(也就是 sin )表示。 (2)当 n 是偶数时：公式中出现的 c 都是奇次方，而 c2=1-s2( 平方关系 )，因此即使再怎么换成 s，都至少会剩 c(也就是 cos) 的一次方无法消掉。(例. c3=c*c2=c*(1-s2) ，c5=c*(c2)2=c*(1-s2)2) 半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin2(a/2)=(1-cos(a)/2 co

16、s2(a/2)=(1+cos(a)/2 tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a) 和差化积sin +sin = 2 sin(+)/2 cos(-)/2sin -sin = 2 cos(+)/2 sin(-)/2cos+cos = 2 cos(+)/2 cos(-)/2cos -cos = -2 sin(+)/2 sin(-)/2tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 两角和公式tan( +)=(t

17、an +tan)/(1-tantan)tan( -)=(tan -tan)/(1+tantan)cos( +)=coscos-sin sin cos( -)=coscos+sin sin sin( +)=sin cos+cossin sin( -)=sin cos -cossin 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备积化和差sin sin =-cos( +)-cos( -) /2coscos = cos(+)+

18、cos( -)/2sin cos = sin(+)+sin( -)/2cossin = sin(+)-sin( -)/2双曲函数sh a = ea-e(-a)/2 ch a = ea+e(-a)/2 th a = sin h(a)/cos h(a) 公式一：设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2k+ ）= sin cos（2k+ ）= cos tan（2k+ ）= tan cot（2k+ ）= cot 公式二：设 为任意角， + 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系：sin（+ ）= -sin cos（+ ）= -costan（+ ）= tan cot（+ ）= cot

19、 公式三：任意角 与 -的三角函数值之间的关系：sin（- ）= -sin cos（- ）= cos tan（- ）= -tancot（- ）= -cot 公式四：利用公式二和公式三可以得到 -与 的三角函数值之间的关系：sin（ - ）= sin cos（ - ）= -costan（ - ）= -tancot（ - ）= -cot 公式五：利用公式 -和公式三可以得到2 -与 的三角函数值之间的关系：sin（2- ）= -sin cos（2 - ）= cos tan（2- ）= -tan精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - -

20、 - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备cot（2- ）= -cot 公式六：/2 及 3/2 与 的三角函数值之间的关系：sin（/2+ ）= cos cos（/2+ ）= -sin tan（/2+ ）= -cot cot（/2+ ）= -tansin（/2 - ）= cos cos（/2 - ）= sin tan（/2 - ）= cot cot（/2 - ）= tan sin（3/2+ ）= -coscos（3/2+ ）= sin tan（3/2+ ）= -cot cot（3/2+ ）= -tansin（3/2-

21、）= -coscos（3/2 - ）= -sin tan（3/2- ）= cot cot（3/2- ）= tan (以上 kZ) Asin( t+)+ B sin( t+) =(A2 +B2 +2ABcos( -) sin t + arcsin (Asin +Bsin ) / A2 +B2; +2ABcos( -) 表示根号 ,包括 中的内容三角函数的诱导公式（六公式）公式一sin(-) = -sin cos(-) = cos tan (- )= -tan公式二sin( /2 -) = coscos( /2 -) = sin公式三sin( /2+ ) = coscos( /2+) = -sin

22、公式四精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备sin( -) = sincos( -) = -cos公式五sin( +) = -sin cos( +) = -cos公式六tanA= sinA/cosA tan（/2+ ）=cot tan（/2 ）=cottan（ ）=tantan（+ ）=tan诱导公式记背诀窍 ：奇变偶不变，符号看象限万能公式sin =2tan( /2)/1+(tan(/2)2cos=1-(tan

23、( /2)2/1+(tan(/2)2tan=2tan( /2)/1-(tan( /2)2其它公式(1) (sin)2+(cos )2=1（平方和公式）(2)1+(tan )2=(sec )2(3)1+(cot )2=(csc )2证明下面两式，只需将一式,左右同除 (sin )2，第二个除 (cos )2即可(4)对于任意非直角三角形，总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证：A+B= -C tan(A+B)=tan( -C) (tanA+tanB)/(1- tanAtanB)=(tan -tanC)/(1+tantanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAta

24、nBtanC 得证同样可以得证 ,当 x+y+z=n(nZ)时，该关系式也成立由 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA)2;+(cosB)2+(cosC)2=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA)2+(sinB)2+(sinC)2=2+2cosAcosBcosC 其他非重点三角函数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载

25、 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a) (seca)2+(csca)2=(seca)2(csca)2 幂级数展开式sin x = x-x3/3!+x5/5!-+(-1)(k-1)*(x(2k-1)/(2k-1)!+ 。 (-x)cos x = 1-x2/2!+x4/4!- +(-1)k*(x(2k)/(2k)!+ (-x)arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + (|x|1)arcc

26、os x = - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ) (|x|1)arctan x = x - x3/3 + x5/5 -(x 1)无限公式sinx=x(1- x2/ 2)(1 -x2/4 2)(1 -x2/9 2)cosx=(1- 4x2/ 2)(1 -4x2/9 2)(1-4x2/25 2)tanx=8x1/(2 -4x2)+1/(9 2 -4x2)+1/(25 2 -4x2)+secx=41/( 2-4x2)- 1/(9 2 -4x2)+1/(25 2 -4x2)-+(sinx)x=cosx/2cosx/4cosx/8(1/4)tan/4+(1/8)t

27、an/8+(1/16)tan/16+=1/arctan x = x - x3/3 + x5/5 -(x 1)和自变量数列求和有关的公式sinx+sin2x+sin3x+ +sinnx=sin(nx/2)sin(n+1)x/2)/sin(x/2)cosx+cos2x+cos3x+ +cosnx= cos(n+1)x/2sin(nx/2)/sin(x/2) tan(n+1)x/2)=(sinx+sin2x+sin3x+sinnx)/(cosx+cos2x+cos3x+ +cosnx)sinx+sin3x+sin5x+ +sin(2n -1)x=(sinnx)2/sinx cosx+cos3x+co

28、s5x+ +cos(2n -1)x=sin(2nx)/(2sinx) 编辑本段内容规律三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。1三角函数本质：1根据右图，有sin =y/ r; cos=x/r; tan=y/x; cot=x/y。深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例：推导：首先画单位圆交X 轴于 C，D，在单位圆上有任意A，B 点。角 AOD 为 ，BOD 为 ，旋转 AOB

29、使 OB 与 OD 重合，形成新 AOD。A(cos,sin ),B(cos ，sin ),A(cos(-),sin(-)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备OA=OA=OB=OD=1,D(1,0) cos( -)-12+sin(-)2=(cos -cos)2+(sin -sin )2和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2 与(a-b)/2）单位圆定义单位圆六个三角函数也可以依据半径为一

30、中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在0 和 /2 弧度之间的角。它也提供了一个图象，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等式是：图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x 轴正半部分得到一个角 ，并与单位圆相交。这个交点的x 和 y 坐标分别等于cos 和 sin 。图象中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为 1，所以有sin = y/1 和 cos = x/1 。单位圆可

31、以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于1 的一种查看无限个三角形的方式。两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -