2022年三角函数化简题.pdf

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1、课题：三角函数的化简、求值与证明日期： 2009 年月日星期高考目标 能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值，能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式的证明教学重点 熟练地运用三角公式进行化简与证明有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用知识回顾1、三角函数式的化简： （1）常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同角；三角公式的逆用等。 （2）化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊

2、角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题； （2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角” ，如2(),()()等，把所求角用含已知角的式子表示， 求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角： 实质上转化为 “给值求值” 问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。3、三角等式的证明： （1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”； （2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、 消

3、参法或分析法进行证明。主要方法1三角函数的求值：1寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；2正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；3一些常规技巧： “1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等1三角函数式的化简：三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角， 异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化2三角恒等式的证明：三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等基本训练1、已知是第三

4、象限角，且4459sincos，那么2sin等于（A ）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - A、2 23B、2 23C、23D、232、函数23232ysinxcos x的最小正周期（B ）A、2B、C、3D、43、tan70 cos10 (3 tan201)ooo等于（D ）A、1 B、2 C、 1 D、 24、已知46sin3 cos(4)4mmm，则实数m的取值范围是 1，73 。5、设10,sincos2，则cos274。例题

5、分析 ：例1 已知3sin5mm，42cos5mm（2） ，则tan（C）()A423mm()B342mm()C512()D34或512略 解 ： 由22342()()155mmmm得8m或0m（ 舍 ） ， 5sin13， 5tan12例 2已知1cos(75)3o，是第三象限角，求cos(15)sin(15 )oo的值解：是第三象限角，36025575360345kkooooo（kZ） ，1cos(75)3o，75o是第四象限角，212 2sin(75)1( )33o，原式2 21cos(15)sin(15)sin(75 )cos(75 )3oooo例 3已知2sinsin1，求243co

6、scos2sin1的值解：由题意，22sin1sincos，原式223sinsin2sin1sin1cos1sinsin22精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 例 4已知8cos(2)5cos0，求tan() tan的值解：2()，()，8cos()5cos()0a，得13cos()cos3sin()sin，若cos()cos0，则13tan() tan3，若cos()cos0，tan() tan无意义说 明 ： 角 的 和 、 差

7、、 倍 、 半 具 有 相 对 性 ， 如()()，2()()，2()等，解题过程中应充分利用这种变形例 5已知关于x的方程22( 31)0 xxm的两根为sin,cos,(0,2)，求： （1）sincos1cot1tan的值；（2）m的值； （3）方程的两根及此时的值解： （1）由根与系数的关系，得31sincos2sincos2m，原式2222sincossincos31sincossincoscossinsincos2（2）由平方得：2312sincos2，3sincos4，即324m，故32m（3）当232( 31)02xx，解得1231,22xx，3sin21cos2或1sin23

8、cos2，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - (0,2)x，3或6例 1化简：（1）23 tan123sin12 (4cos 122)ooo；（2）(cottan)(1tantan)222；（3）(1 sincos )(sincos)22 (0)22cos解： （1）原式2132 3(sin12cos12 )3 sin123cos12222sin12cos12 (2cos 121)sin24 cos24ooooooooo2 3 sin

9、(1260 )4 31sin 482ooo（2）原式1cos1cossin1cos()(1)sinsincossin2cos1cos1(1)2cot(11)2cscsincoscos（3）原式2(2cos2cossin)(sincos)222222(1 cos )22cos(cossin)(sincos)222222 2cos2222cos(sincos)cos( cos )22222|cos|cos|220，022，| cos| cos22，原式cos例 3证明： （1）222(3cos4 )tancot1cos4xxxx； （2）sin(2)sin2cos()sinsinABBABAA精品

10、资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 证： （1）左边22442222222222sincossincos(sincos)2sincos1cossinsincossin 24xxxxxxxxxxxxx22222111sin 21sin 284sin 244cos 222111cos41 cos4sin 2(1 cos4 )48xxxxxxxx42(1 cos4 )2(3cos4 )1cos41cos4xxxx右边，得证说明：由等式两边的差异

11、知：若选择“从左证到右”，必定要“切化弦” ；若“从右证到左” ，必定要用倍角公式（2）左边sin()2cos()sinsinABBABAAsin()coscos()sinsinABAABAAsin()sinsinsinABABAA右边，得证课堂练习1若cos130ao，则tan50o（D）()A21aa()B21aa()C21aa()D21aa2(1tan20 )(1tan21 )(1tan24 )(1tan25 )oooo（B）()A2 ()B4 ()C8 ()D163化简：42212cos2cos2.2tan()sin ()44xxxx答案：1cos22x4设3 177cos(),451

12、24xx，求2sin22sin1tanxxx的值。 答案：28756已知11sin()cossin(2)cos ,022，求的值。 答案：27 （ 05 北京卷） 已知tan2=2，求（ I ）tan()4的值；（II ）6sincos3sin2cos的值解： （I ） tan2=2, 22tan2 242tan1 431tan2;精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 所以tantantan14tan()41tan1tantan4=41

13、134713；（II ）由 (I), tan=34, 所以6sincos3sin2cos=6tan13tan2=46()173463()23.8 （05 全国卷）已知函数2( )2sinsin 2 ,0,2 .f xxx x求使( )fx为正值的x的集合 .解： ( )1cos2sin2f xxx2 分12 sin(2)4x4 分( )012 sin(2)04f xx2sin(2)42x 6 分5222444kxk8 分34kxk10 分又0,2.x37(0,)( ,)44x12 分9(05 浙江卷 )已知函数f(x) 3sin2xsinxcosx( ) 求f(256) 的值； ( ) 设(0

14、 ，) ，f(2) 4132，求 sin的值解： ( ) 251253sin,cos6262Q225252525()3sinsincos06666f () 331( )cos2sin 2222f xxx31313()cossin222242f011sin4sin162解得8531sin0sin),0(8531sin a11sin4cos41sin 4cos4（B）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - ()Acot()Bcot2()Cta

15、n()Dtan2a2已知( )1f xx，当53(,)42时，式子(sin 2 )( sin 2 )ff可化简为（D）()A2sin()B2cos()C2sin()D2cos3222cos12 tan()sin()44 1 课后作业课题：三角函数的化简、求值与证明日期： 2009 年月日星期一、选择题1、已知1sin()43，则cos()4的值等于（D ）A、2 23B、2 23C、13D 、132、已知tan、tan是方程23 340 xx的两根，且(,)22、，则等于（B）A、3B、23C、3或23D、3或233、化简23cos(1sin )2tan()422cos ()42xxxx为（B

16、 ）A、sinxB 、cosxC、tanxD、cot x4、 （全国卷）22sin 2cos1cos2cos2（ B ）(A) tan (B) tan2 (C) 1 (D)125、 （山东卷） 函数0,01),sin()(12xexxxfx，若2)()1(aff，则a的所有可能值为（ B ）（A ）1 （B）22,1（C）22（ D）22, 1班级姓名题号123456789101112精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 答案二、填空题

17、6、 （全国卷） 设a为第四象限的角，若513sin3sinaa，则 tan 2a=_43_.7、 （北京卷） 已知 tan 2=2，则 tan 的值为34，tan()4的值为 -718、已知tan()34，则2sin22cos的值为45。9、已知 A、B为锐角，且满足tantantantan1ABAB，则cos()AB22.三、解答题10、求证：21tan1sin2.12sin1tan2211、已知2sin 22sin()1tan42k，试用k表示sincos的值。答案：1k12、求值：2(3 tan123)csc12.4cos 122ooo答案：4 313、已知3tantan3，求(2cos2 )(2cos2 )的值。 答案： 3【备用题】【参考资料】精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -