2022年三角函数及解三角形知识点.pdf

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1、三角函数知识点正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角 负角:按顺时针方向旋转形成的角零角: 不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合， 角的始边与 x轴的非负半轴重合， 终边落在第几象限，则称为第几象限角第一象限角的集合为36036090 ,kkk第二象限角的集合为36090360180 ,kkk第三象限角的集合为360180360270 ,kkk第四象限角的集合为360270360360 ,kkk终边在 x轴上的角的集合为180 ,kk终边在 y 轴上的角的集合为18090 ,kk终边在坐标轴上的角的集合为90 ,kk3、与角终边相同的角的集合为360,kk4、已知是第几象限角，确定*n

2、n所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从 x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为n终边所落在的区域5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度6、半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是lr7、弧度制与角度制的换算公式：2360，1180，180157.3 8、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为 r ，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr，2Crl，21122Slrr9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是, x y ，它与原点的距离是220r rxy，则sinyr，cosxr，tan0yxx精品资料 - - -

3、 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - PxyAOMT10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正11、三角函数线：sin，cos，tan12、同角三角函数的基本关系：221 sincos12222sin1cos,cos1sin；sin2tancossinsintancos,costan13、三角函数的诱导公式：1 sin 2sink， cos 2cosk， tan 2tankk2 sinsin， cos

4、cos， tantan3 sinsin， coscos， tantan4 sinsin， coscos， tantan口诀：函数名称不变，符号看象限5 sincos2，cossin26 sincos2，cossin2口诀：奇变偶不变，符号看象限14、函数sinyx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变） ，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长 （缩短）到原来的倍 （横坐标不变），得到函数sinyx的图象函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长 （缩短）到原来

5、的1倍（纵坐标不变），得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 的纵坐标伸长 （缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数sinyx的图象函数sin0,0yx的性质：振幅：；周期：2；频率：12f；相位：x；初相：函数sinyx，当1xx 时，取得最小值为miny；当2xx 时，取得最大值为maxy，则

6、maxmin12yy，maxmin12yy，21122xxxx15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2x xkk值域1,11,1R最值当22xkk时，max1y；当22xkk时，min1y当2xkk时，max1y；当2xkk时，min1y既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kk在 2,2kkk上是增函数；在在,22kk函数性质精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - -

7、 - - - - k上是增函数；在32,222kkk上是减函数2,2kkk上是减函数k上是增函数对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴 xkk对称中心,02kk无对称轴半角公式sin(A/2)= (1 -cosA)/2) sin(A/2)=-(1 -cosA)/2) cos(A/2)= (1+cosA)/2) cos(A/2)=-(1+cosA)/2) tan(A/2)= (1 -cosA)/(1+cosA) tan(A/2)=-(1 -cosA)/(1+cosA) ctg(A/2)= (1+cosA)/(1-cosA) ctg(A/2)=-(1+cosA)/(1-cos

8、A) 和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2 cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 辅助

9、角公式22sincossin，其中tan降幂公式（sin2 ）x=1-cos2x/2 （cos2）x=i=cos2x/2 万能公式令 tan(a/2)=t sina=2t/(1+t2) cosa=(1-t2)/(1+t2) tana=2t/(1-t2) 公式一：设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2k）sin cos（2k）cos tan （2k）tan cot（2k）cot 公式二：设 为任意角， + 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系： sin（） sin cos（） cos tan （）tan cot（）cot 公式三：任意角 与 - 的三角函数值之间的关系：

10、 sin（） sin cos（）cos精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - - tan （） tan cot（） cot 公式四：利用公式二和公式三可以得到- 与 的三角函数值之间的关系： sin（）sin cos（） cos tan （） tan cot（） cot 公式五：利用公式一和公式三可以得到2- 与 的三角函数值之间的关系： sin（2） sin cos（2）cos tan （2） tan cot（2）cot 公式六：/2 及

11、3/2 与 的三角函数值之间的关系： sin（/2 ）cos cos（/2 ） sin tan （/2 ） cot cot（/2 ） tan sin（/2 ）cos cos（/2 ）sin tan （/2 ）cot cot（/2 ）tan (以上 kZ) 注意：在做题时，将a 看成锐角来做会比较好做。诱导公式记忆口诀奇变偶不变，符号看象限。同角三角函数基本关系同角三角函数的基本关系式倒数关系 : tan cot 1 sin csc1 cos sec1 商的关系： sin/cos tan sec/csc cos /sin cot csc/sec 两角和差公式两角和与差的三角函数公式sin(A+B

12、)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）tan2A=2tanA/(1-tan2A) sin2a=2sinacos

13、a cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） sin2(/2) (1cos) 2 cos2(/2) (1cos) 2 tan2(/2) (1cos) (1 cos) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 另也有 tan( /2)=(1 cos)/sin =sin /(1+cos ) 万能公式 sin=2tan( /2)/1+tan2(/2) cos =1-

14、tan2(/2)/1+tan2(/2) tan =2tan( /2)/1-tan2(/2) 万能公式推导附推导： sin2=2sin cos=2sin cos/(cos2( )+sin2( ).*，（因为 cos2( )+sin2( )=1）再把*分式上下同除 cos2( )，可得 sin2 2tan /(1 tan2( ) 然后用 /2 代替 即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。和差化积公式三角函数的和差化积公式 sinsin 2sin( )/2 cos( )/2 sinsin 2cos( )/2 sin()/2 cos cos2cos( )/2 cos( )

15、/2 cos cos2sin( )/2 sin()/2 积化和差公式三角函数的积化和差公式 sin cos0.5sin() sin( ) cos s in 0.5sin() sin( ) cos cos0.5cos( ) cos( ) sin sin 0.5cos( ) cos( ) 和差化积公式推导附推导：首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 同理, 若把两

16、式相减 , 就得到 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以, 把两式相加 , 我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我们就得到 ,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 同理, 两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 这样, 我们就得到了积化和差的四个公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 cosa*s

17、inb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 好, 有了积化和差的四个公式以后, 我们只需一个变形, 就可以得到和差化积的四个公式 . 我们把上述四个公式中的a+b设为 x,a-b 设为 y, 那么 a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 把 a,b 分别用 x,y 表示

18、就可以得到和差化积的四个公式: sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2) sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2) cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2) cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2) 0 度 sina=0,cosa=1,tana=0 30 度sina=1/2,cosa= 3/2,tana= 3/345 度sina= 2/2,cosa= 2/2,tana=160 度sina= 3/2,cosa=1/2,tana=390 度 sina=1,cosa=0,tana不存在1

19、20 度sina= 3/2,cosa= -1/2,tana=-3150 度 sina=1/2,cosa=-3/2,tana= -3/3180 度 sina=0,cosa=-1,tana=0 270 度 sina=-1,cosa=0,tana不存在360 度 sina=0,cosa=1,tana=0 1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有2sinsinsinabcRC2、正弦定理的变形公式：2sinaR，2sinbR，2sincRC；sin2aR，sin2bR，sin2cCR；:sin:sin: sina b cC；sinsinsinsinsinsinabcabcCC3、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac4、余弦定理：在C中，有2222cosabcbc，2222cosbacac，2222coscababC5、余弦定理的推论：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abcCab6、设a、b、c是C的角、C的对边，则：若222abc，则90C；若222abc，则90C；若222abc，则90C精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -