2022年三角函数和差公式.pdf

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1、名师推荐精心整理学习必备1. 同角三角函数基本关系同角三角函数的基本关系式倒数关系 : tan cot 1 sin csc1 cos sec1 商的关系：sin /cos tan sec/csc cos/sin cot csc/sec 平方关系：sin2( )cos2( )1 1tan2( )sec2( )1cot2( )csc2( )两角和与差的三角函数公式sin（ ）sin coscossin sin（ ）sin coscossin cos（ ）coscossin sin cos（ ）coscossin sin tan（ ）（ tan tan ）/（1tan tan ）tan（ ）（ ta

2、n tan ）/（1tan tan ）倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）sin2 2sin coscos2 cos2( )sin2( )2cos2( )112sin2( )2tan tan2 1tan2( )半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）1cossin2( /2)2 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备1coscos2( /2) 2 1costan2( /2)1cos万能公

3、式万能公式2tan( /2)sin 1tan2( /2)1tan2( /2)cos 1tan2( /2)2tan( /2)tan 1tan2( /2)万能公式推导附推导：sin2 =2sin cos=2sin cos/(cos2()+sin2().*，（因为 cos2( )+sin2( )=1）再把*分式上下同除 cos2( )，可得 sin2 tan2/(1 tan2( )然后用 /2代替 即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3 3sin 4sin3( )cos3 4cos3( )3cos3tan tan3( )ta

4、n3 13tan2( )三倍角公式推导附推导：tan3 sin3 /cos3 (sin2 coscos2sin )/(cos2 cos-sin2 sin )(2sin cos2( )cos2( )sin sin3( )/(cos3()cossin2( )2sin2( )cos )上下同除以 cos3( )，得：tan3 (3tan tan3( )/(1-3tan2( )精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备sin

5、3 sin(2 )sin2 coscos2sin 2sin cos2( )(12sin2( )sin 2sin 2sin3( )sin 2sin2( )3sin 4sin3( )cos3 cos(2 ) cos2cossin2 sin (2cos2( )1)cos 2cossin2( )2cos3( )cos (2cos 2cos3( )4cos3( )3cos即sin3 3sin 4sin3( )cos3 4cos3( )3cos三倍角公式联想记忆记忆方法：谐音、联想正弦三倍角：3 元 减 4 元 3 角 （欠债了 (被减成负数 )， 所以要 “ 挣钱”(音似 “ 正弦”)）余弦三倍角： 4

6、 元 3 角 减 3 元（减完之后还有 “ 余” ）注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。和差化积公式三角函数的和差化积公式 sin sin 2sin-cos- 2 2 sin sin 2cos-sin- 2 2 cos cos 2cos -cos- 2 2 cos cos 2sin-sin- 2 2 积化和差公式三角函数的积化和差公式sin cos0.5sin （ ）sin（ ） cos sin 0.5sin （ ）sin（ ） cos cos0.5cos （ ）cos（ ） sin sin 0.5cos （ ）cos（ ） 和差化积公式推导附推导：首先,我们知道

7、 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 同理,若把两式相减 ,就得到 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 同样的 ,我们还知道c

8、os(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以,把两式相加 ,我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我们就得到 ,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 这样,我们就得到了积化和差的四个公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2

9、 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形 ,就可以得到和差化积的四个公式 . 我们把上述四个公式中的a+b 设为 x,a-b 设为 y,那么 a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把 a,b 分别用 x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式: sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2) sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2) cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2) cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -