2022年三角函数复习教案_整理.pdf

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1、三角函数复习教案【知识网络】学法：1注重化归思想的运用如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等2注意数形结合思想的运用如讨论函数性质等问题时，要结合函数图象思考，便易找出解题思路和问题答案第 1 课三角函数的概念考试注意：理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算掌握终边相同角的表示方法掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义了解余切、正割、余割的定义掌握三角函数的符号法则知识典例：1角的终边在第一、三象限的角平分线上，角的集合可写成2已知角的余弦线是单位长度的有向线段，那么角

2、的终边 ( ) A在 x 轴上 B在 y 轴上 C 在直线y=x 上 D 在直线y=x 上 3已知角的终边过点p( 5，12) ，则 cos ，tan = 4tan( 3)cot5cos8的符号为5若 costan 0，则是 ( )A第一象限角 B第二象限角任意角的概念弧长公式角度制与同角三角函数诱导计算与化简任意角的三角函数的已知三角函和角公式倍角公式差角公式应用应用应用应用应用应用应用精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 31 页 - - - - - - - - - - C第一、

3、二象限角 D第二、三象限角【讲练平台】例 1 已知角的终边上一点P（3 ，m ），且 sin = 2 4m ，求 cos与 tan 的值分析已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由P的坐标可知，需求出 m的值，从而应寻求m的方程解由题意知 r= 3m2，则 sin = mr = m3m2又 sin = 2 4m ，m3m2 = 2 4 mm=0 ， m= 5 当 m=0时， cos= 1 ， tan=0 ；当 m= 5 时， cos= 6 4， tan = 15 3；当 m= 5 时， cos= 6 4，tan =15 3点评已知一个角的终边上一点的坐标，求

4、其三角函数值，往往运用定义法(三角函数的定义) 解决例 2 已知集合 E= cos sin ， 0 2，F= tan sin ，求集合 EF分析对于三角不等式，可运用三角函数线解之解 E= 454， F = 2，或32 2 ，EF=2 例 3 设是第二象限角，且满足sin2|= sin2，2是哪个象限的角? 解是第二象限角，2k+ 2 2k+32， kZk+ 42k+ 34，kZ 2是第一象限或第三象限角又 sin2|= sin2， sin 20. 2是第三、第四象限的角由、知，2是第三象限角点评已知所在的象限，求2或 2等所在的象限，要运用终边相同的角的表示法来表示，否则易出错【知能集成】注

5、意运用终边相同的角的表示方法表示有关象限角等；已知角的终边上一点的坐标，求三角函数值往往运用定义法；注意运用三角函数线解决有关三角不等式【训练反馈】精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 1 已知是钝角，那么2是（）A第一象限角 B第二象限角C第一与第二象限角 D不小于直角的正角2 角的终边过点P（4k，3k）(k 0 ，则 cos的值是（）A3 5 B45 C35 D453已知点 P(sin cos， tan ) 在第一象限，则在0，

6、2内，的取值范围是 ( ) A( 2，34) ( ，54) B( 4，2) ( ，54) C( 2，34 ) (54，32) D( 4，2 ) (34， ) 4若 sinx= 35， cosx =45，则角 2x 的终边位置在 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限5若 4 6，且与23终边相同，则= 6 角终边在第三象限，则角2终边在象限7已知 tanx =tanx ，则角 x 的集合为8如果是第三象限角，则cos(sin ) sin(sin) 的符号为什么？9已知扇形AOB的周长是 6cm，该扇形中心角是1 弧度，求该扇形面积第 2 课同角三角函数的关系及诱导公式【考点指津

7、】掌握同角三角函数的基本关系式：sin 2+cos2=1，sin cos =tan ， tan cot =1，掌握正弦、余弦的诱导公式能运用化归思想（即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题）解题【知识在线】1sin2150+sin2135+2sin210 +cos2225的值是 ( ) A14 B34 C114 D942已知 sin( +)= 35，则 ( ) Acos= 45 Btan = 34 Ccos= 45 Dsin( )= 353已 tan =3，4sin 2cos5cos 3sin 的值为4化简1+2sin( -2)cos(+2) = 精品资料 - - - 欢迎下

8、载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 5已知是第三象限角，且sin4+cos4= 59，那么 sin2 等于 ( ) A22 3 B22 3 C23 D23【讲练平台】例 1 化简sin(2 - )tan( +)cot(- ) cos( - )tan(3- )分析式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化解原式 = （-sin ）tan -cot(+) (-cos)tan( - ) = (-sin)tan (-cot ) (-cos)(

9、-tan)= sin cos sin cos =1 点评将不同角化同角，不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方法例 2 若 sin cos= 18， (4，2) ，求 cos sin 的值分析已知式为sin 、 cos的二次式，欲求式为sin 、 cos的一次式，为了运用条件，须将cos sin 进行平方解 (cos sin )2=cos2+sin2 2sin cos=114 = 34 (4，2) ， cos sin cos sin = 3 2变式 1 条件同例，求 cos+sin 的值变式 2 已知 cossin = 3 2， 求 sin cos， sin +cos的值点评

10、sincos，cos+sin ， cos sin 三者关系紧密，由其中之一，可求其余之二例 3 已知 tan =3求 cos2+sin cos的值分析因为 cos2+sin cos是关于 sin 、 cos的二次齐次式，所以可转化成tan 的式子解原式 =cos2+sin cos= cos2+sin cos cos2+sin2 = 1+tan 1+tan2 = 25点评 1 关于 cos、 sin 的齐次式可转化成tan 的式子2注意 1 的作用 :1=sin 2+cos2等【知能集成】1在三角式的化简，求值等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数2注意 1 的作用：如1=

11、sin 2+cos23要注意观察式子特征，关于sin 、 cos的齐次式可转化成关于tan 的式子4运用诱导公式，可将任意角的问题转化成锐角的问题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 【训练反馈】1sin600 的值是（）A12 B12 C3 2 D3 22 sin(4+)sin （4）的化简结果为（）Acos2 B12cos2 Csin2 D12sin2 3已知 sinx+cosx=15，x 0，则 tanx 的值是（）A34 B4

12、3 C43 D34或434已知 tan =13，则1 2sin cos+cos2 = 512sin10 cos10cos101cos2170的值为6证明1+2sin cos cos2sin2 =1+ tan 1 tan 7已知2sin +cos sin 3cos=5，求 3cos2+4sin2 的值8已知锐角、满足sin +sin =sin ， cos cos=cos，求的值第 3 课两角和与两角差的三角函数（一）【考点指津】掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题【知识在线】1cos105的值为（）A6 2 4 B6

13、 2 4 C2 6 4 D6 2 42对于任何、（0，2） ，sin( +) 与 sin +sin 的大小关系是（）Asin( +)sin +sin Bsin( +) sin +sin Csin( +)=sin +sin D要以、的具体值而定3已知32，sin2 =a，则 sin +cos等于（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 31 页 - - - - - - - - - - Aa+1 Ba+1 Ca2+1 Da2+1 4已知 tan =13，tan =13，则 cot( +2

14、)= 5已知 tanx=12，则 cos2x= 【讲练平台】例 1 已知 sin sin =13，cos cos=12，求 cos( ) 的值分析由于 cos( )=cos cos+sin sin 的右边是关于sin 、 cos、sin 、 cos的二次式，而已知条件是关于sin 、 sin 、 cos、 cos的一次式，所以将已知式两边平方解sin sin =13， coscos= 12，22，得 22cos( )= 1336cos( )= 7259点评审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异例 2 求2cos10 -sin20 cos20 的值 分析式中含有两个角，故需先化简注意到1

15、0=30 20，由于 30的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角解10=3020，原式 =2cos(30 -20 )-sin20 cos20 = 2(cos30 cos20+sin30 sin20 )-sin20 cos20 = 3 cos30 cos20 =3 点评化异角为同角，是三角变换中常用的方法例 3 已知： sin( +)= 2sin 求证： tan =3tan( +) 分析已知式中含有角2+和，而欲求式中含有角和+，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角解2+=( +)+ ， =( +) ，sin ( +)+ =2sin ( +) sin( +)cos +cos( +)sin

16、 =2sin( +)cos +2cos( + )sin 若 cos( +) 0 ，cos 0，则 3tan( +)=tan 点评审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将+看成一个整体【知能集成】审题中，要善于观察已知式和欲求式的差异，注意角之间的关系；整体思想是三角变换中常用的思想精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 【训练反馈】1已知 02， sin =35，cos( +)=45，则 sin 等于（）A0 B

17、0 或2425 C2425 D0 或24252sin7 +cos15sin8 cos7 sin15 sin8 的值等于（）A2+3 B2+3 2 C 23 D23 23 ABC中，3sinA+4cosB=6 ，4sinB+3cosA=1 ，则 C的大小为（）A6 B56 C6或56 D3或234若是锐角，且sin( 6)= 13，则 cos的值是5cos7cos27cos37 = 6已知 tan =12，tan =13，且、都是锐角求证：+=457已知 cos( )=45，cos( +)= 45，且（）（2，） ， +（32，2） ，求 cos2、 cos2的值8 已知 sin( + )= 1

18、2，且 sin( + )= 13，求tan tan 第 4 课两角和与两角差的三角函数（二）【考点指津】掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能灵活运用和角、差角、倍角公式解题【知识在线】求下列各式的值1cos200cos80+cos110cos10= 212（cos15+3 sin15 ） = 3化简 1+2cos2 cos2= 4cos(20 +x)cos(25 x) cos(70 x)sin(25 x)= 511tan 11tan = 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - -

19、- - - - -第 7 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 【讲练平台】例 1 求下列各式的值（1）tan10 tan50 +3 tan10tan50 ；(2) （3 tan12 -3 ）csc12 4cos 212-2(1) 解原式 =tan(10 +50) （1tan10 tan50 ） +3 tan10 tan50 =3 （2）分析式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦解原式 = （3 sin12 cos123）1 sin12 2 cos24 =24cos212sin312cos3=48sin21)12cos2312sin21(3224cos1

20、2cos12sin212cos312sin3=.3448sin)6012sin(34点 评（ 1 ） 要 注 意 公 式 的 变 形 运 用 和 逆 向 运 用 ， 注 意 公 式tanA+tanB=tan(A+B)（ 1 tanAtanB ） ，asinx+bsinx=22basin(x+ ) 的运用；（ 2）在三角变换中，切割化弦是常用的变换方法例 2 求证1+sin4 -cos4 2 tan = 1+sin4 +cos4 1-tan2分析三角恒等式的证明可从一边开始，证得它等于另一边；也可以分别从两边开始，证得都等于同一个式子；还可以先证得另一等式，从而推出需要证明的等式由欲证的等式可知

21、，可先证等式1+sin4 -cos4 1+sin4 +cos4 =2tan 1-tan2，此式的右边等于tan2 ，而此式的左边出现了“1cos4”和“ 1+cos4”，分别运用升幂公式可出现角2， sin4 用倍角公式可出现角2，从而等式可望得证证略点评注意倍角公式cos2 =2cos2 1， cos2=12sin2的变形公式： 升幂公式 1+cos2 =2cos 2， 1cos2=2sin2，降幂公式sin2= 1-cos2 2，cos2= 1cos22的运用；三角恒等式证明的方法：从一边推得另一边；左右归一，先证其等价等于等式；分析法等例 3 已知 cos(4+x)= 35，1712x7

22、4，求sin2x sin2xtanx 1-tanx的值解 原式 = sin2x （1tanx ） 1-tanx=sin2x tan4tanx 1-tan4tanx =sin2xtan（4+x）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 31 页 - - - - - - - - - - = cos2(x+4) tan(x+4)= 2cos2(x+ ) 1tan （4+x）1712x74， 53x+42sin(4+x) = 45， tan （4+x ） =43原式 = 2875点评（1）注意两

23、角和公式的逆用；（2）注意特殊角与其三角函数值的关系，如1=tan4等；（ 3）注意化同角，将所求式中的角x 转化成已知条件中的角x+ 4【知能集成】在三角变换中，要注意三角公式的逆用和变形运用，特别要注意如下公式：tanA+tanB=tan(A+B)1tanAtanB ；asinx+bcosx=22basin(x+ )及升幂、降幂公式的运用【训练反馈】1cos75+cos15的值等于（）A6 2 B 6 2 C2 2 D2 22a=2 2（sin17 +cos17） ，b=2cos213 1，c= 2 2，则（）Acab B bca C abc D bac 3化简1+sin2 -cos2 1

24、+sin2 +cos2= 4化简 sin(2 + ) 2sin cos( +)= 5在 ABC中，已知 A、B、C成等差数列，则tanA2+tanC2+3 tanA2tanC2的值为6化简 sin2A+sin2B+2sinAsinBcos(A+B)7 化简 sin50 (1+3 tan10 ) 8 已知 sin( +)=1 ，求证： sin(2 +)+sin(2+3)=0 第 5 课三角函数的图象与性质（一）【考点指津】精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 31 页 - - - -

25、- - - - - - 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，能运用数形结合的思想解决问题，能讨论较复杂的三角函数的性质【知识在线】1若3 +2cosx 0，则 x 的范围是2下列各区间，使函数y=sin(x+ ) 的单调递增的区间是（）A2， B0，4 C， 0 D 4，23下列函数中，周期为2的偶函数是（）Ay=sin4x B y=cos22xsin22x C y=tan2x D y=cos2x4判断下列函数的奇偶性（1）y=xsinx+x2cos2x 是函数；（2）y=sin2x xcotx 是函数；（3）y=sin(72+3x) 是函数5函数 f(x)=cos(3x+) 是奇函

26、数，则的值为【讲练平台】例 1 （1）函数 y=xxsin21)tan1lg(的定义域为(2) 若、为锐角，sin cos，则、满足（C）A B C+2 D +2分析（ 1）函数的定义域为0.2sinx-10,tanx-1 (*) 的解集，由于y=tanx的最小正周期为，y=sinx的最小正周期为 2，所以原函数的周期为2，应结合三角函数y=tanx 和 y=sinx的图象先求出 ( 2，32) 上满足（ * ）的 x 的范围，再据周期性易得所求定义域为x 2k2x2k+6，或 2k + 56 x 2k+54，kZ 分析（ 2）sin 、 cos不同名，故将不同名函数转化成同名函数， cos

27、转化成sin(2 ) ，运用 y=sinx 在0，2的单调性，便知答案为C 点评 （1）讨论周期函数的问题，可先讨论一个周期内的情况，然后将其推广；（2）解三角不等式，要注意三角函数图象的运用；（3）注意运用三角函数的单调性比较三角函数值的大小例 2 判断下列函数的奇偶性：(1)y= xxxcos1cossin； (2)y=.cossin1cossin1xxxx分析 讨论函数的奇偶性， 需首先考虑函数的定义域是否关于原点对称，然后考 f( x)是否等于f(x)或 f(x) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - -

28、 - - -第 10 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 解 （1）定义域关于原点对称，分子上为奇函数的差，又因为1+cosx=2cos2x2，所以分母为偶函数，所以原函数是奇函数（2）定义域不关于原点对称（如x=2，但 x2），故不是奇函数，也不是偶函数点评将函数式化简变形，有利于判断函数的奇偶性例 3 求下列函数的最小正周期：（1）y=sin(2x 6)sin(2x+ 3) ；(2)y= .)32cos(2cos)32sin(2sinxxxx分析对形如y=Asin( x+) 、y=Acos( x+) 和 y=Atan( x+) 的函数，易求出其周期，所以需将原函数式进

29、行化简解（1）y=sin(2x 6)sin(2x+ 26)= 12sin(4x 3) ，所以最小正周期为24 = 2（2）y=23)2(sin21)2(cos2cos23)2(cos21)2(sin2sinxxxxxx=xxxx2sin232cos232cos232sin23 =).62tan(2tan331332tan2tan312tan3xxxxx是小正周期为2点评求复杂函数的周期，往往需先化简，其化简的目标是转化成y=Asin( x+) k 或 y=Acos( x+ ) k或 y=Atan( x+) k 的形式（其中A、 k 为常数，0）例 4 已知函数 f(x)=5sinxcosx53

30、cos2x+235 (x R) (1) 求 f(x) 的单调增区间；（2）求 f(x) 图象的对称轴、对称中心分析函数表达式较复杂，需先化简解 f(x)= 52sin2x 531+cos2x2235 =5sin(2x3) （1）由 2k22x32k+2，得 k12，k+512（ kZ）为 f(x) 的单调增区间精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 31 页 - - - - - - - - - - （2）令 2x3=k+2，得 x= k2+512（kZ），则 x= k2 +512（k

31、Z）为函数y=f(x) 图象的对称轴所在直线的方程，令2x3 =k ，得 x=k2+6（k Z）， y=f(x)图象的对称中心为点（k2+6，0）（ kZ）点评研究三角函数的性质，往往需先化简，以化成一个三角函数为目标；讨论y=Asin( x+ )( 0) 的单调区间，应将x+看成一个整体，设为t ，从而归结为讨论y=Asint的单调性【知能集成】讨论较复杂的三角函数的性质，往往需要将原函数式进行化简，其目标为转化成同一个角的同名三角函数问题讨论三角函数的单调性，解三角不等式，要注意数形结合思想的运用注意函数性质在解题中的运用：若一个函数为周期函数，则讨论其有关问题，可先研究在一个周期内的情形

32、，然后再进行推广；若要比较两个角的三角函数值的大小，可考虑运用三角函数的单调性加以解决【训练反馈】1函数 y=lg(2cosx1)的定义域为（）Ax 3x3 Bx 6x6Cx 2k3x2k+3，kZ D x 2k6x2k +6，kZ 2如果、（2，），且 tan cot ，那么必有（）A B C +32 D +323若 f(x)sinx是周期为的奇函数，则f(x) 可以是（）Asinx B cosx C sin2x D cos2x 4下列命题中正确的是（）A若、是第一象限角，且，且sin sin B函数 y=sinxcotx的单调递增区间是（2k2，2k+2）， kZC函数 y=1cos2x

33、sin2x的最小正周期是2D函数 y=sinxcos2 cosxsin2 的图象关于y 轴对称，则=k24，kZ5函数 y=sinx2+cosx2在（ 2， 2）内的递增区间是6y=sin6x+cos6x 的周期为7比较下列函数值的大小：（1）sin2 ，sin3 ，sin4 ；(2)cos2， sin2， tan2（42）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 8设 f(x)=sin(k5x+3) (k 0) (1) 写出 f(x)

34、 的最大值 M ，最小值 m ，以及最小正周期T；（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个M与 m 第 6 课三角函数的图象与性质（二）【考点指津】了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin( x+ ) 的图象，理解参数A 、的物理意义掌握将函数图象进行对称变换、平移变换、伸缩变换会根据图象提供的信息，求出函数解析式【知识在线】1将 y=cosx 的图象作关于x 轴的对称变换，再将所得的图象向下平移1 个单位，所得图象对应的函数是（）Ay=cosx+1 By=cosx 1 Cy=c

35、osx+1 Dy=cosx 12函数 f(x)=sin3x图象的对称中心的坐标一定是（）A (12k， 0) ， k Z B （13k，0） ， k ZC （14k， 0） ， k Z D （k， 0） ，kZ3函数 y=cos(2x+2) 的图象的一个对称轴方程为（）Ax=2 Bx=4 Cx= 8 Dx=4为了得到函数y=4sin(3x+4) ，xR的图象，只需把函数y=3sin(x+4) 的图象上所有点（）A横坐标伸长到原来的3 倍，纵坐标不变B横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变C纵坐标伸长到原来的3 倍，横坐标不变D纵坐标缩短到原来的13倍，横坐标不变5要得到y=sin(2x 3) 的

36、图象，只需将y=sin2x的图象（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 31 页 - - - - - - - - - - A向左平移3个单位 B向右平移3个单位C向左平移6个单位 D向右平移6个单位【讲练平台】例 1 函数 y=Asin （ x+)(A 0， 0，2) 的最小值为2，其图象相邻的最高点和最低点横坐标差 3，又图象过点（0，1），求这个函数的解析式分析求函数的解析式，即求A、的值A与最大、最小值有关，易知A=2，与周期有关，由图象可知，相邻最高点与最低点横坐标差3，

37、即T2=3得 T=6，所以 =13所以 y=2sin(x3+），又图象过点（0，1），所以可得关于的等式，从而可将求出，易得解析式为y=2sin(x36）解略点评 y=Asin(x+) 中的 A 可由图象的最高点、最低点的纵坐标的确定，由周期的大小确定，的确定一般采用待定系数法，即找图像上特殊点坐标代入方程求解，也可由的几何意义（图象的左右平移的情况）等确定（请看下例）例 2 右图为某三角函数图像的一段（1）试用 y=Asin （ x+) 型函数表示其解析式；（2）求这个函数关于直线x=2对称的函数解析式解：（ 1）T= 1333 =4 =2T = 12又 A=3 ，由图象可知所给曲线是由y=

38、3sin x2沿 x 轴向右平移3而得到的解析式为 y=3sin12 (x 3) (2) 设（ x，y) 为 y=3sin(12 x 6）关于直线x=2对称的图像上的任意一点，则该点关于直线x=2的对称点应为（4 x，y) ，故与 y=3sin(12 x 6）关于直线x=2对称的函数解析式是y=3sin 12（4 x) 6=3sin(12x6）点评 y=sin(x+)( 0) 的图象由 y=sin x 的图象向左平移 （ 0）或向右平移 （ 0）|个单位 特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量求一个函数的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用xy133333O精品资

39、料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 例 3 已知函数 y=12cos2x+ 3 2sinxcosx+1 (xR)(1) 当 y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数图象可由y=sinx(x R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解 (1)y= 121+cos2x2 + 3 212 sin2x +1= 12sin(2x+6)+ 54当 2x+6 =2k +2，即 x=k+6，kZ 时， ymax= 74(2 ）由 y=sinx

40、图象左移6个单位，再将图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），其次将图象上各点纵坐标缩短到原来的12（横坐标不变），最后把图象向上平移54个单位即可思考还有其他变换途径吗？若有，请叙述点评（1）回答图像的变换时，不能省略“纵坐标不变”、“横坐标不变”等术语（2）周期变换后的左右平移要注意平移单位的变化【知能集成】已知三角函数y=Asin( x+）的图象，欲求其解析式，必须搞清A、和图象的哪些因素有关；y=sin x和 y=sin( x+) 两图象间平移变换的方向和平移的单位数量极易搞错，解题时要倍加小心【训练反馈】1函数 y= 12sin(2x+ ) 的图象关于y 轴对称的充要条件是（

41、）A =2k+2 B=k+2 C =2k+ D =k+(k Z)2先将函数y=sin2x 的图象向右平移3个单位长度，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为（）Ay=sin( 2x+3 ) By=sin( 2x3)Cy=sin( 2x+ 23 ) D y=sin(2x23)3右图是周期为2的三角函数y=f(x)的图象，那么 f(x)可以写成（）Asin(1+x) B sin(1x) Csin(x 1) D sin(1x)4y=tan(12x3) 在一个周期内的图象是（）yx111精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师

42、归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 5已知函数y=2cosx(0 x2) 的图象与直线y=2 围成一个封闭的平面图形，则该封闭图形面积是6将 y=sin(3x 6)的图象向（左、右）平移个单位可得y=sin(3x+3）的图像7已知函数y=Asin( x+) ，在同一个周期内，当x=9时取得最大值12，当 x=49时取得最小值12，若 A 0，0，2，求该函数的解析表达式8已知函数y=3 sinx+cosx ，xR(1) 当 y 取得最大值时，求自变量x 的取值集合；（2）该函数的图象可由y=sinx(xR)的图象经过怎

43、样的平移和伸缩变换得到？ 9 如图：某地一天从6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin( x+)+b （1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式第 7 课三角函数的最值【考点指津】掌握基本三角函数y=sinx和 y=cosx 的最值，及取得最值的条件；掌握给定区间上三角函数的最值的求法；能运用三角恒等变形，将较复杂的三角函数的最值问题转化成一个角的一个三角函数的最值问题【知识在线】1已知（1） cos2x= ；(2)sinxcosx=2 5 ；(3)tanx+1tanx =2 ； (4)sin3x=4上述四个等式成立的是（）yyyyxxxxOOOO3336665

44、673232323534BACD61014102030时间 /hy温度 / 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 31 页 - - - - - - - - - - A （1） （2） B （ 2） （4） C （3） （4） D （1） （3）2当 xR时，函数 y=2sin(2x+12) 的最大值为，最小值为，当 x524，24时函数 y 的最大值为，最小值为 . 3函数 y=sinx 3 cosx 的最大值为，最小值为4函数 y=cos2x+sinx+1 的值域为【讲练平台】例

45、 1 求函数 f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos2x 的最大值，并求出此时x 的值分析由于 f （x）的表达式较复杂，需进行化简解 y=sin2x+cos2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= 2 sin(2x+4)+2 当 2x+4=2k+2，即 x=k+8 (k Z)时， ymax= 2 +2 点评要熟练掌握y=asinx+bcosx类型的三角函数最值的求法，asinx+bcosx= a2+b2sin （x+）例 2 若12, 12，求函数y=cos(4+） +sin2 的最小值分析在函数表达式中，含有两个角和两个三角函数名称，若能化成含有一个角和

46、一个三角函数名称的式子，则问题可得到简化解 y=cos(4+) cos2(+4) =cos(4+) 2cos2(+4) 1=2cos2( +4)+cos(4+)+1 = 2cos2( +4) 12cos( +4) +1 =2cos( +4) 142+9812, 12，46，312cos( +4) 3 2，y最小值= 3 12点评（1）三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式（即f(sinx)或 g(cosx)，是常见的转化目标；（2）形如 y=f(sinx)或 y=g(cosx) 的最值，常运用sinx ，cosx 的有界性，通过换元转化成y=at2+bt+c 在某区间上的最值问题；（

47、3）对于 y= Asin( x+) 或 y=Acos( x+) 的最值的求法，应先求出t= x+的值域，然后再由y=Asint和 y=Acost 的单调性求出最值例 3 试求函数 y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值分析由于sinx+cosx与 sinxcosx可以相互表示，所以令sinx+cosx=t，则原三角函数的最值问题转化成y=at2+bt+c 在某区间上的最值问题解 令 t=sinx+cosx，则 y=t+t2+1=(t+12)2+34，且 t 2 ，2 ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -

48、 - - - - - - - -第 17 页，共 31 页 - - - - - - - - - - ymin=34，ymax=3+ 2 点评注意 sinx+cosx与 sinxcosx的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成y=at2+bt+c 在某个区间上的最值问题【知能集成】较复杂的三角函数的最值问题，往往通过需要恒等变形，转化成形如y=f(sinx)或 y=g(cosx) 型或y= Asin(x+)+k型的三角函数的最值问题，运用三角函数的有界性、单调性求三角函数的最值用换元法解题，特别要注意sinx+tcosx与 sinxcosx的关系，令sinx+cosx=t，则 sinxco

49、sx=t212【训练反馈】1函数 y=12+sinx+cosx的最大值是（）A2 21 B2 21 C 12 2 D12 22若 2+=，则 y=cos 6sin 的最大值和最小值分别为（）A7，5 B 7，112 C 5，112 D 7， 53当 0 x2时，函数f(x)=sinx+1 cosx+1的（）A最大值为2，最小值为12 B最大值为2，最小值为0 C最大值为2，最小值不存在 D最大值不存在，最小值为0 4已知关于x 的方程 cos2xsinx+a=0 ，若 0 x2时方程有解，则a 的取值范围是（）A 1，1 B （ 1，1） C 1，0 D （，54）5要使 sin 3 cos=

50、 4m 6 4 m有意义，则m的取值范围是6若 f(x)=2sinx(0 1） ，在区间 0，3上的最大值为2 ，则 = 三、解答题7y=sinxcosx+sinx+cosx，求 x 0，3时函数 y 的最大值8已知函数f(x)= sin2xasinx+b+1 的最大值为0，最小值为4，若实数a0，求 a，b 的值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 9已知函数f(x)=2cos2x+3 sin2x+a ，若 x 0，2 ，且 f(