2022年三角函数恒等变换教案.pdf

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1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入： 大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：coscoscossinsin；coscos cossinsin这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦

2、的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式. sincoscoscoscossinsin2222EMBED sincoscossinsinsinsincoscossinsincoscossin让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）sinsincoscossintancoscoscossinsin通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan、tan的形式呢？（分式分子、分母同时除以coscos，得到tantantan1tantan精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归

3、纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 注意：,()222kkkkz以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？tantantantantantan1tantan1tantan注意：,()222kkkkz（二）例题讲解例 1、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1） 、sin72 cos42cos72 sin42； （2） 、cos20 cos70sin20 sin70； （3） 、1tan151tan15解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪

4、个相象. （1） 、1sin72 cos42cos72 sin42sin 7242sin302；（2） 、cos20 cos70sin20 sin70cos 2070cos900；（3） 、1tan15tan45tan15tan 4515tan6031tan151 tan45 tan15例 2 13cos()cos()tantan.55已知，求的值例 3、化简2 cos6sinxx解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？132 cos6 sin2 2cossin2 2 sin 30 coscos30 sin2 2 sin 3022xxxxxxx思考：2

5、2是怎么得到的？222 226，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于12和32的. 小结： 本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用. 作业：1、 已知21tan,tan,544求tan4的值 （322）2、 已 知33350,cos,sin4445413， 求sin的值二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目标以两角和正弦、余弦和正切

6、公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，sinsincoscossin；coscoscossinsin；tantantan1tantan我们由此能否得到sin2 ,cos2 , tan2的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中看成即可） ，（二）公式推导：sin2sinsincoscossin2sincos；精品资料 -

7、- - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 22cos2coscoscossinsincossin；思考：把上述关于cos2的式子能否变成只含有sin或cos形式的式子呢？22222cos2cossin1sinsin12sin；22222cos2cossincos(1 cos)2cos12tantan2 tantan2tan1tantan1tan注意：2,22kkkz（三）例题讲解例 4、已知5sin 2,13 42求sin4 ,cos4 ,tan4的值

8、解：由,42得22又因为5sin 2,13EMBED 22512cos21sin 211313于是512120sin 42sin 2cos221313169；225119cos412sin21213169；120sin4120169tan4119cos4119169例 5、已知1tan2,3求tan的值解：22tan1tan21tan3，由此得2tan6tan10解得tan25或tan25（四）小结： 本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用. 例 6、试以cos表示222sin,cos,tan222解：我们可以通过二倍角2cos2c

9、os12和2cos12sin2来做此题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 因为2cos12sin2，可以得到21cossin22；因为2cos2cos12，可以得到21coscos22又因为222sin1cos2tan21coscos2思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此

10、三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点例 7、求证：（） 、1sincossinsin2；（） 、sinsin2sincos22证明： （）因为sin和sin是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手sinsincoscossin；sinsincoscossin两式相加得2sincossinsin；即1sincossinsin2；（ ） 由 （ ） 得sinsin2sincos ；设,，那么,22把,的值代入式中得sinsin2sincos22思考：在例证明中用到哪些数学思想？证明中用到换元思想， （）式是积化和差的形式，（）式是和差化精品资料 -

11、 - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式例 8、求函数sin3 cosyxx的周期，最大值和最小值解：sin3 cosyxx这种形式我们在前面见过，13sin3cos2sincos2sin223yxxxxx，所以，所求的周期22T，最大值为，最小值为2点评：例是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数sinyAx的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用小结：

12、此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用总结：1公式的变形（1）升幂公式： 1cos2 2cos21cos2 2sin2（2）降幂公式： cos21cos2 2sin21cos2 2（3）正切公式变形： tan+tantan(+)（1tantan）tantantan()（1tantan) （4）万能公式（用 tan 表示其他三角函数值）sin22tan1+tan2cos2 1tan21+tan2tan22tan1tan22插入辅助角公式asinxbcosx= a2+b2sin(x+) (tan= ba)

13、 特殊地： sinxcosx 2 sin(x4) 3熟悉形式的变形（如何变形）1sinxcosx 1sinx 1cosx tanxcotx 1tan1tan1tan1tan若 A、B 是锐角， A+B4，则（ 1tanA）(1+tanB)=2 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - cos cos2 cos22cos2 n= sin2 n+12 n+1sin 4在三角形中的结论（如何证明）若：ABC=A+B+C2=2tanAtanBta

14、nC=tanAtanBtanC tanA2tanB2tanB2tanC2tanC2tanA21 9求值问题（1）已知角求值题如：sin555 （2）已知值求值问题常用拼角、凑角如：1）已知若 cos(4)35，sin(34)513 ，又434,04,求 sin()。2）已知 sin+sin=35,cos +cos =45,求 cos( )的值。（3）已知值求角问题必须分两步： 1）求这个角的某一三角函数值。2）确定这个角的范围。如： 已知 tan= 17,tan= 13,且 都是锐角，求证： 241. （2010全国卷 1 理）(2) 记cos( 80 )k, 那么tan100A.21kk B

15、. -21kk C. 21kk D. -21kk2. 已知02x，化简：2lg(costan12sin)lg2cos()lg(1 sin2 )22xxxxx. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 解析：原式lg(sinxcosx)lg(cosxsinx)lg(sinxcosx)203. （2010天津文）（17） （本小题满分 12 分）在ABC中，coscosACBABC。（）证明 B=C ：（）若cosA=-13，求 sin4B

16、3的值。【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力. 满分12 分. （）证明：在 ABC 中，由正弦定理及已知得sinBsinC=cosBcosC. 于是sinBcosC-cosBsinC=0 ，即 sin （B-C）=0. 因为BC，从而 B-C=0. 所以 B=C. （）解：由A+B+C= 和（）得A= -2B, 故 cos2B=-cos（-2B）=-cosA=13. 又 02B , 于是 sin2B=21cos 2B=2 23. 从而 sin4B=2sin2Bcos2B=429，cos4B=227cos 2s

17、in 29BB. 所以4 27 3sin(4)sin4coscos4sin33318BBB4. （2010湖北理） 16 （本小题满分 12 分）已知函数 f(x)=11cos()cos(),( )sin23324xx g xx（）求函数 f(x) 的最小正周期；（）求函数 h（x）=f(x) g(x) 的最大值，并求使h(x) 取得最大值的 x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 的集合。5. （2009江苏， 15）设向量(4co

18、s,sin),(sin,4cos),(cos, 4sin)abc（1）若a与2bc垂直，求tan()的值；（2）求|bc的最大值 ; （3）若tantan16，求证：ab. 分析本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。6. （2009安徽卷理）在ABC中，sin()1CA, sinB=13. （I ）求 sinA 的值；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - -

19、 - - (II)设 AC=6，求ABC的面积 . 本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。（）由2CA，且CAB，42BA，2sinsin()(cossin )42222BBBA，211sin(1 sin)23AB，又sin0A，3sin3A（）如图，由正弦定理得sinsinACBCBA36sin33 21sin3ACABCB，又sinsin()sincoscossinCABABAB32 261633333116sin63 23 2223ABCSACBCC7. （2009湖南卷文）已知向量(sin,cos2sin),(1,2).ab（）若/ /ab，求ta

20、n的值；（）若| |,0,ab求的值。解： （） 因为/ /ab，所以2sincos2sin,于是4sincos，故1tan.4（）由| |ab知，22sin(cos2sin)5,所以212sin 24sin5.从而2sin 22(1 cos2 )4，即sin2cos21，A B C 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 于是2sin(2)42. 又由0知，92444，所以5244，或7244. 因此2，或3.48. （2009天津

21、卷理）在 ABC中，BC=5，AC=3 ，sinC=2sinA(I) 求 AB的值：(II) 求 sin24A的值本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12 分。（）解：在 ABC中，根据正弦定理，ABCCABsinsin于是 AB=522sinsinBCBCAC（）解：在 ABC中，根据余弦定理，得cosA=5522222ACABBDACAB于是 sinA=55cos12A从而 sin2A=2sinAcosA=54,cos2A=cos2A-sin2A=53所以 sin(2A-4)=sin2Acos4-cos

22、2Asin4=1029. （ 2007 安 徽 ）已 知0，为( )cos 2f xx的 最 小 正周 期 ，1tan14，a(cos2)，b，且ma b求22cossin 2()cossin的值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 解：因为为( )cos 28f xx的最小正周期，故因ma b，又1costan24a b故1costan24m由于04，所以222cossin2()2cossin(22 )cossincossin22cossin 22cos(cossin)cossincossin1tan2cos2costan2(2)1tan4m1, 3 ,cos,sinmnAA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -