2022年三角函数知识点及例题讲解.pdf

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1、三角函数知识点1.特殊角的三角函数值 ：304560090180 270 15 75sin2122230 1 0 1 624624cos2322211 0 1 0 624624tan331 30 0 2-32+3cot31 330 0 2+32-32. 同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：222222sincos1,1tansec,1cotcsc（2）倒数关系： sincsc=1,cossec=1,tancot=1, （3）商数关系：sincostan,cotcossin）3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sinsincoscossinsin 22sincos令222222

2、2coscoscossinsincos2cossin2cos112sintantan1+cos2tancos1tantan21cos2sin22tantan21tan令（1） 巧变角（已知角与特殊角的变换、 已知角与目标角的变换、 角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换 . 如()()，2()()，2()()，22，222等） ，(2)三角函数次数的降升 (降幂公式：21cos2cos2，21cos2sin2与升幂公式：21cos22cos，21cos22sin)。如精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -

3、- -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - - (；(3) 常值变换主要指“ 1”的变换 （221sincosxx22sectantancotxxxxtansin42等） ，.。（4）周期性 ：sinyx、cosyx的最小正周期都是2；( )sin()f xAx和( )cos()f xAx的最小正周期都是2|T。如（ 5 ） 单 调 性 ：sin2,222yxkkkZ在上 单 调 递 增 ， 在32,222kkkZ单调递减；cosyx在 2,2kkkZ 上单调递减，在2,22kkkZ 上单调递增。 特别提醒 ，别忘了kZ！(6) 、形如sin()yAx的函数：1 几个物

4、理量 ：A振幅；1fT频率（周期的倒数） ；x相位；初相；2 函数sin()yAx表达式的确定 ： A 由最值确定；由 周期 确 定 ；由 图 象 上 的 特 殊 点 确 定 ， 如( )sin()(0,0f xAxA，|)2的图象如图所示，则( )f x_ （答：15( )2sin()23f xx） ；3 函数sin()yAx图象的画法 ：“五点法”设Xx，令X0，3,222求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。4 函数sin()yAxk的图象与sinyx图象间的关系 ：函数sinyx的图象纵坐标不变，横坐标向左（0 ）或向右（0 ）平移|个

5、单位得sinyx的图象； 函 数si nyx图 象 的 纵 坐 标不 变， 横 坐标 变 为 原 来的1， 得 到 函 数sinyx的图象；函数sinyx图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数sin()yAx的图象；函数sin()yAx图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k）或向下（0k） ，得到sinyAxk 的图象。要 特别注意 ，若由sinyx 得到sinyx的图象，则向左或向右平移应平移|个单位， 如（1）函数2sin(2)14yx的图象经过怎样的变换才能得到sinyx的图象？23题 图29YX-223精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢

6、迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - - （答：2sin(2)14yx向上平移 1 个单位得2sin(2)4yx的图象，再向左平移8个单位得2sin 2yx的图象，横坐标扩大到原来的2 倍得2sinyx的图象，最后将纵坐标缩小到原来的12即得sinyx的图象） ；2.正、余弦定理：在ABC中有:正弦定理：2sinsinsinabcRABC（R为ABC外接圆半径）2sin2sin2sinaRAbRBcRCs i n2s i n2s i n2aARbBRcCR注意变形应用面积公式：111sinsinsin222ABCS

7、absCacBbcA余弦定理：2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx函数性质精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - -

8、 -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 图象定义域RR,2x xkk值域1,11,1R最值当22xkk时，max1y；当22xkk时，min1y当2xkk时，max1y；当2xkk时，min1y既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kkk上是增函数；在32,222kkk上是减函数在2,2kkk上是增函数；在2,2kkk上是减函数在,22kkk上是增函数对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴xkk对称中心,02kk无对称轴精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师

9、归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 三角函数例题讲解例 1 已知角的终边上一点P（3 ，m ），且 sin = 2 4m ，求 cos 与 tan 的值分析已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由P 的坐标可知，需求出m 的值，从而应寻求m 的方程解由题意知 r= 3m2，则 sin = mr= m3m2又sin = 2 4m ，m3m2= 2 4m m=0 ，m= 5 当 m=0 时， cos = 1 ，tan =0 ；当 m= 5 时，cos = 6 4， tan = 15 3；当

10、 m= 5 时， cos = 6 4，tan =15 3例 2 设 是第二象限角，且满足sin2|= sin2，2是哪个象限的角? 解 是第二象限角， 2k + 2 2k+32，k Zk + 42k+ 34，kZ 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 2是第一象限或第三象限角又sin2|= sin2， sin 20. 2是第三、第四象限的角由、知，2是第三象限角第 2 课同角三角函数的关系及诱导公式【讲练平台】例 1 化简sin(2

11、- )tan( + )cot(- - )cos( -)tan(3 - )分析式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化解原式 = （-sin ）tan -cot( + ) (-cos )tan( - )= (-sin )tan (-cot )(-cos )(-tan )= sincos sincos =1 例 2 若 sin cos = 18， (4，2)，求 cos sin 的值分析已知式为sin 、cos 的二次式，欲求式为sin 、cos 的一次式，为了运用条件，须将 cos sin 进行平方解(cos sin )2=cos2 +sin2 2sin cos =1

12、 14= 34 (4，2)， cos sin cos sin= 3 2变式 1 条件同例，求 cos +sin 的值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 变式 2 已知 cos sin = 3 2， 求 sin cos ，sin +cos 的值例 3 已知 tan =3 求 cos2 +sin cos 的值分析因为cos2+sin cos 是关于sin 、cos 的二次齐次式，所以可转化成tan 的式子解原式 =cos2 +sin c

13、os = cos2 +sin cos cos2 +sin2= 1+tan1+tan2= 25第 3 课两角和与两角差的三角函数（一）例 1 已知 sin sin = 13，coscos =12，求 cos( )的值 分析由于 cos( )=cos cos +sin sin 的右边是关于sin 、cos 、sin 、cos 的二次式，而已知条件是关于sin、sin 、cos 、cos 的一次式，所以将已知式两边平方解sin sin = 13，cos cos = 12，22，得 22cos( )= 1336cos( )= 7259例 2 求2cos10 -sin20 cos20 的值分析式中含有两

14、个角， 故需先化简 注意到 10 =30 20，由于 30 的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角解 10 =30 20，原式=2cos(30 -20 )-sin20 cos20 = 2(cos30 cos20 +sin30 sin20 )-sin20 cos20 = 3 cos30 cos20 =3 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 点评化异角为同角，是三角变换中常用的方法例 3 已知： sin( + )= 2sin 求证：

15、tan =3tan( + )分析已知式中含有角2+ 和 ，而欲求式中含有角 和+ ，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角解 2+ =( + )+ ， =( + ) ，sin (+ )+ = 2sin (+ ) sin( + )cos +cos( + )sin = 2sin( + )cos +2cos( + )sin 若 cos( + )0 ，cos 0，则 3tan( + )=tan 点评审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将 + 看成一个整体第 4 课两角和与两角差的三角函数（二）【讲练平台】例 1 求下列各式的值（1）tan10 tan50 +3 tan10

16、 tan50 ；(2) （3 tan12 -3 ）csc12 4cos 212 -2(1) 解原式 =tan(10 +50 )（1tan10 tan50 ） +3 tan10 tan50 =3 （2）分析式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦解原式 = （3 sin12 cos12 3）1sin12 2 cos24 =24cos212sin312cos3精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - - =48sin21)12c

17、os2312sin21(3224cos12cos12sin212cos312sin3=.3448sin)6012sin(34点评（ 1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式tanA+tanB=tan(A+B)（ 1tanAtanB），asinx+bsinx=22basin(x+ )的运用；（ 2）在三角变换中，切割化弦是常用的变换方法第 5 课三角函数的图象与性质（一）例 1 （1）函数 y=xxsin21)tan1lg(的定义域为(2) 若 、 为锐角， sin cos ，则 、 满足（C）AB C+ 2D + 2分析（1）函数的定义域为0.2sinx-10,tanx-1(*) 的解集，

18、 由于 y=tanx的最小正周期为 ，y=sinx的最小正周期为2，所以原函数的周期为2 ，应结合三角函数y=tanx和 y=sinx的图象先求出 (2，32)上满足（*）的 x 的范围，再据周期性易得所求定义域为x2k 2x 2k +6，或 2k + 56 x2k +54，kZ 分析（ 2）sin 、cos 不同名，故将不同名函数转化成同名函数，cos 转化成sin(2 )，运用 y=sinx在 0，2的单调性，便知答案为C例 4 已知函数f(x)=5sinxcosx53cos2x+235(xR) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳

19、 - - - - - - - - - -第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - - (1) 求 f(x) 的单调增区间；（2）求 f(x) 图象的对称轴、对称中心分析函数表达式较复杂，需先化简解 f(x)= 52sin2x 531+cos2x2235=5sin(2x3)（1）由 2k 2 2x 32k +2，得 k12，k +512（ kZ）为 f(x) 的单调增区间（2）令 2x3=k +2，得 x= k2 +512（kZ），则 x= k2 +512（kZ）为函数y=f(x) 图象的对称轴所在直线的方程，令2x 3=k ，得 x=k2 +6（ kZ）， y=f(x)

20、图象的对称中心为点（k2+6，0）（ kZ）第 6 课三角函数的图象与性质（二）例 2 右图为某三角函数图像的一段（1）试用 y=Asin （x+ )型函数表示其解析式；（2）求这个函数关于直线x=2 对称的函数解析式解：（ 1）T= 13 33=4 =2T= 12又 A=3 ，由图象可知所给曲线是由y=3sin x2沿 x 轴向右平移3而得到的解析式为y=3sin12(x3)x y 13333 3O 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 15 页 - - - - - - - -

21、- - (2) 设 （x，y)为 y=3sin(12x6） 关于直线x=2 对称的图像上的任意一点，则该点关于直线x=2 的对称点应为（4 x，y)，故与 y=3sin(12x6）关于直线 x=2 对称的函数解析式是y=3sin 12（4 x)6= 3sin(12x6）点评y=sin( x+ )(0)的图象由y=sin x 的图象向左平移（0）或向右平移（0）|个单位特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量求一个函数的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用例 3 已知函数y=12cos2x+ 3 2sinxcosx+1 (x R)(1) 当 y 取得最大值时，求自变量

22、x 的集合；（2）该函数图象可由y=sinx(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解 (1)y= 121+cos2x2+ 3 212sin2x +1= 12sin(2x+6)+ 54当 2x+6=2k +2，即 x=k +6，kZ 时，ymax= 74(2）由 y=sinx图象左移6个单位，再将图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），其次将图象上各点纵坐标缩短到原来的12（横坐标不变），最后把图象向上平移54个单位即可第 7 课三角函数的最值例 1 求函数 f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos2x 的最大值，并求出此时x 的值分析由于 f（x）的表达式较复杂，需进

23、行化简解y=sin2x+cos2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= 2 sin(2x+4)+2 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 当 2x+4=2k +2， 即 x=k +8(kZ)时，ymax= 2 +2 点评要熟练掌握y=asinx+bcosx类型的三角函数最值的求法，asinx+bcosx= a2+b2sin（x+ ）例 2 若 12, 12，求函数y=cos(4+ ）+sin2 的最小值分析在函

24、数表达式中，含有两个角和两个三角函数名称，若能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子，则问题可得到简化解y=cos(4+ )cos 2( +4)=cos(4+ ) 2cos2( +4)1= 2cos2( +4)+cos(4+ )+1 = 2cos2( +4)12cos( +4)+1 = 2cos( +4)142+98 12, 12， 46，312cos( +4)3 2， y最小值= 3 12例 3 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值分析由于 sinx+cosx与 sinxcosx可以相互表示，所以令sinx+cosx=t，则原三角函数的最值问题转化成y=at

25、2+bt+c在某区间上的最值问题解 令 t=sinx+cosx，则 y=t+t2+1=(t+12)2+34，且 t2 ，2 ，ymin=34，ymax=3+ 2 点评注意sinx+cosx与sinxcosx的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成y=at2+bt+c在某个区间上的最值问题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 第 8 课解斜三角形例 2 在ABC 中，已知acosA=bcosB，判断ABC 的形状分析欲判断ABC

26、 的形状，需将已知式变形式中既含有边也含有角，直接变形难以进行，若将三角函数换成边，则可进行代数变形，或将边换成三角函数，则可进行三角变换解 方法一：由余弦定理，得a（b2+c2 a22bc）=b （a2+c2 b22ac），a 2c 2a 4b 2c 2+b 4=0 (a2b2)(c 2a2b2)=0 a2b2=0 ，或 c2a2b2=0 a=b ，或 c2=a2+b2 ABC 是等腰三角形或直角三角形方法二：由acosA=bcosB，得2RsinAcosA=2RsinBcosBsin2A=sin2B 2A=2B ，或 2A= 2BA=B ，或 A+B=2 ABC 为等腰三角形或直角三角形1

27、 设锐角ABC的内角ABC， ，的对边分别为abc， ，,2 sinabA. ()求B的大小 ; ()求cossinAC的取值范围 . 【解析】 :()由2 sinabA,根据正弦定理得sin2sinsinABA,所以1sin2B, 由ABC为锐角三角形得6B. ()cossincossinACAA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - - cossin6AA13coscossin22AAA3sin3A. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - - -